Алгебра комплексных чисел.

Подготовительный вариант

1. Представьте в алгебраической форме число

.

2. Пусть . Вычислите, где.

3. Найдите множество чисел .

4. Решите на множестве комплексных чисел уравнение .

5. Решите систему уравнений

6. Вычислите:

а)

б)

в)

Вариант 1

1. Представьте в алгебраической форме число

.

2. Пусть . Вычислите, где.

3. Найдите множество чисел .

4. Решите на множестве комплексных чисел уравнение .

5. Решите систему уравнений

6. Вычислите:

а)

б)

Вариант 2

1. Представьте в алгебраической форме число

.

2. Пусть . Вычислите, где.

3. Найдите множество чисел .

4. Решите на множестве комплексных чисел уравнение .

5. Решите систему уравнений

6. Вычислите:

а)

б)

КМ-11-10

Геометрическая интерпретация комплексных чисел.

Подготовительный вариант

1. Отметьте на комплексной плоскости данное число, укажите его модуль и аргумент:

а) -1 + i; б) -1 +i;

в) -8 + 15i; г) -256.

2. Изобразите на комплексной плоскости все такие числа z, для которых квадрат мнимой части равен их действительной части.

3. Изобразите на комплексной плоскости все такие числа z, что |iz+ 12 + 5i| = 4. В каких пределах изменяется модуль этих чисел?

4. Среди чисел zтаких, что |iz+ 5| = |z- 3 + 2i|, найдите числоz, удовлетворяющее условию:

а) Re z= -3; б) arg z=;

в) его модуль наименьший.

Вариант 1

1. Отметьте на комплексной плоскости данное число, укажите его модуль и аргумент:

а) 1 -i; б) -+i;

в) -3-4i; г) -100i.

2. Изобразите на комплексной плоскости все такие числа z, для которых квадрат действительной части равен их мнимой части.

3. Изобразите на комплексной плоскости все такие числа z, что |z+ 3 - 4i| = 2. В каких пределах изменяется модуль этих чисел?

4. Среди чисел zтаких, что |iz- 3| = |z- 2 -i|, найдите числоz, удовлетворяющее условию:

5. а) Re z= 2; б) argz=;

в) его модуль наименьший.

Вариант 2

2. Отметьте на комплексной плоскости данное число, укажите его модуль и аргумент:

а) -1 - i; б) 1 -i;

в) -12 + 5i; г) 102i.

2. Изобразите на комплексной плоскости все такие числа z, для которых.

3. Изобразите на комплексной плоскости все такие числа z, что |iz- 3 - 4i| = 1. В каких пределах изменяется модуль этих чисел?

4. Среди чисел zтаких, что |z+ 3| = |z+ 2 -i|, найдите числоz, удовлетворяющее условию:

а) мнимая часть равна 4; б) arg z= -;

в) его модуль наименьший.

КМ-11-11

Тригонометрическая форма комплексного числа.

Подготовительный вариант

1. Запишите данное число в тригонометрической форме:

а) б)

в) .

2. Решите уравнение z⁷=128i и запишите ответ в тригонометрической форме.

3. Выразите cos 6α и sin 6α через тригонометрические функции угла α.

4. Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа, пятая степень которых является действительным числом.

5. Числа zкомплексной плоскости соответствуют точкам сторон треугольника с вершинами (0;0); (-3;0); (0;- 4). Изобразите на комплексной плоскости все числаz₁, удовлетворяющие условиюz₁ = -iz – 5– i.

Вариант 1

1. Запишите данное число в тригонометрической форме:

а) б)

в) .

2. Решите уравнение z⁵= -i и запишите ответ в тригонометрической форме.

3. Выразите cos 5α и sin 5α через тригонометрические функции угла α.

4. Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа, куб которых является действительным числом.

5. Числа zкомплексной плоскости соответствуют точкам сторон треугольника с вершинами (0;0); (2;0); (0;3). Изобразите на комплексной плоскости все числаz₁, удовлетворяющие условиюz₁ = 2iz + 4– i.

Вариант 2

1. Запишите данное число в тригонометрической форме:

а) б)

в) .

2. Решите уравнение z⁹= 512 и запишите ответ в тригонометрической форме.

3. Выразите cos 4α и sin 4α через тригонометрические функции угла α.

4. Изобразите на комплексной плоскости все комплексные числа, четвертая степень которых является действительным числом.

5. Числа zкомплексной плоскости соответствуют точкам сторон треугольника с вершинами (0;0); (-1;0); (0;2). Изобразите на комплексной плоскости все числаz₁, удовлетворяющие условиюz₁ = -3iz - 2+ i.

КМ-11-12