Применение производной в задачах, связанных с функциями.

Подготовительный вариант

1. Найдите предел:

а) б)

в) г)

2. Исследуйте функцию и постройте ее график. (ОпределитеD(y); промежутки непрерывности,,D(), критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы, поведение в точках разрыва и в бесконечностях, асимптоты, выпуклость и точки перегиба,E(y); если возможно, то найдите корни функции).

3. Используя результаты предыдущего задания, определите:

а) для каждого значения аколичество корней уравнения

б) сколько общих точек имеет парабола у = х² и график функции.

4. Определите общее число точек графиков функций и.

Вариант 1

1. Найдите предел:

а) б)

в) г)

2. Исследуйте функцию и постройте ее график. (ОпределитеD(y); промежутки непрерывности,,D(), критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы, поведение в точках разрыва и в бесконечностях, асимптоты, выпуклость и точки перегиба,E(y); если возможно, то найдите корни функции).

3. Используя результаты предыдущего задания, определите:

а) для каждого значения аколичество корней уравнения

б) сколько общих точек имеет парабола у =( х+2)² и график функции.

4. Определите общее число точек графиков функций и.

Вариант 2

1. Найдите предел:

а) б)

в) г)

2. Исследуйте функцию и постройте ее график. (ОпределитеD(y); промежутки непрерывности,,D(), критические точки, промежутки монотонности, точки экстремума, экстремумы, поведение в точках разрыва и в бесконечностях, асимптоты, выпуклость и точки перегиба,E(y); если возможно, то найдите корни функции).

3. Используя результаты предыдущего задания, определите:

а) для каждого значения аколичество корней уравнения

б) сколько общих точек имеют графики функцийи.

4. Определите общее число точек графиков функций и.

КМ-11-7

Первообразная и интеграл.

Подготовительный вариант

1. Найдите первообразную функции f(x)наR, если

.

2. Найдите:

а) ; б)

в) г);

д) е)

3. На множестве Rзадана функцияНайдите корни той ее первообразной, график которой проходит через точкуМ (1; -6).

4. Является ли функция

первообразной для функции на промежутке: а) (-1; 0); б) (0;1)?

Вариант 1

1. Найдите первообразную функции f(x)наR, если

.

2. Найдите:

а) ; б)

в) г);

д) е)

3. На множестве Rзадана функцияНайдите корни той ее первообразной, график которой проходит через точкуМ (1; 0).

4. Является ли функция

первообразной для функции на промежутке: а) (; 1); б) (-;)?

Вариант 2

1. Найдите первообразную функции f(x)наR, если

.

2. Найдите:

а) ; б)

в) г)

д) е)

3. На множестве Rзадана функцияНайдите корни той ее первообразной, график которой проходит через точкуМ (-1; 0).

4. Является ли функция

первообразной для функции на промежутке: а) (0; 1); б) (-1;1)?

КМ-11-8

Определенный интеграл и его приложение.

Подготовительный вариант

1. Вычислите:

а) б)

в)

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) иу = 1;

б) их + у = 5;

в) у =2,5x² –x – 4 иу = -1,5x² +2x + 3;

г) , касательной к графику этой функции в его точке с абсциссойx₀= -6 и прямойу = 0;

д) графиком функции и графиком ее первообразной, проведенным через точкуК(-2;1).

3. Найдите все значения параметра а, при которых выполняется условие:

а)

б) площадь, ограниченная линиями ;х= 1;х =а;у = 0, вдвое больше, чем площадь, ограниченная линиями; х= 1;х =;у = 0.

Вариант 1

1. Вычислите:

а) б)

в)

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) иу = 5;

б) их + 2у = 5;

в) у =-x² – 6x – 5 иу = -1,5x² - 9x – 7,5;

г) , касательной к графику этой функции в его точке с абсциссойx₀= -5 и прямойу = 0;

д) графиком функции и графиком ее первообразной, проведенным через точкуК(-4;1).

3. Найдите все значения параметра а, при которых выполняется условие:

а)

б) площадь, ограниченная линиями ;х= 2;х =а;у = 0, вдвое больше, чем площадь, ограниченная линиями; х= 2;х = 3;у = 0.

Вариант 2

1. Вычислите:

а) б)

в)

2. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

а) иу = - 1;

б) и -х + 2 у = 5;

в) у =-x² + 6x – 5 иу = -1,5x² + 9x – 7,5;

г) , касательной к графику этой функции в его точке с абсциссойx₀= 5 и прямойу = 0;

д) графиком функции и графиком ее первообразной, проведенным через точкуМ(1;1).

3. Найдите все значения параметра а, при которых выполняется условие:

а)

б) площадь, ограниченная линиями ;х= 1;х =а;у = 0, вдвое меньше, чем площадь, ограниченная линиями; х= 1;х = 4;у = 0.

КМ-11-9