Реализация функций формулами
можно комбинировать булевы переменные с помощью булевых операций, получая булевы выражения, которые называются формулами.
Всякой формуле однозначно соответствует некоторая функция, при этом говорят, что формула реализует функцию.
ПРИМЕР:
Построить таблицу истинности для формулы .
x1 |
x2 | ||
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Таким образом, формула реализует функцию(тождественная единица).
ПРИМЕР:
Построить таблицу истинности для формулы .
x1 |
x2 | |||
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
Таким образом, формулареализует функцию(дизъюнкция).
Равносильные формулы
Формулы называются равносильными, если реализуют одну и ту же функцию.
Формула называется тождественно-истинной или тавтологией, если она реализует тождественную единицу.
Формула называется тождественно-ложной, если она реализует тождественный ноль.
Законы булевой алгебры
Законами булевой алгебры называются следующие равносильности:
1. Идемпотентность
.
2. Коммутативность
.
3. Ассоциативность
.
4. Дистрибутивность
.
5. Закон поглощения
.
6. Закон склеивания
.
7. Закон нуля
.
8. Закон единицы
.
9. Закон дополнения
.
10. Инволютивность
.
11. Законы де Моргана
.
Тема 3.5. СДНФ и СКНФ
Определим степень следующим образом:
, т.е. ,.
Выражение вида
называется полной совершенной элементарной конъюнкцией.
Можно дать другое определение: полной совершенной элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных функции или их отрицаний, причем никакая из переменных не входит вместе с отрицанием этой переменной.
Выражение вида
называется полной совершенной элементарной дизъюнкцией.
Можно дать другое определение: полной совершенной элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция переменных функции или их отрицаний, причем никакая из переменных не входит вместе с отрицанием этой переменной.
Совершенной нормальной конъюнктивной формой (СКНФ) функции называется конъюнкция полных совершенных элементарных дизъюнкций.
Совершенной нормальной дизъюнктивной формой (СДНФ) функции называется дизъюнкция полных совершенных элементарных конъюнкций.
ПРИМЕР:
На этом примере покажем связь между таблицей истинности и функцией и ее совершенными нормальными формами:
х1 |
х2 | |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
СДНФ:
СКНФ:
.
При нахождении СДНФ пользуемся правилом: каждый набор аргументов определяет элементарную конъюнкцию, в которой значению 0 соответствует инверсия переменной, а значению 1 – сама переменная. СДНФ функции образуют те элементарные конъюнкции, которые соответствуют наборам аргументов, дающим 1.
х1 |
х2 |
элементарные конъюнкции | |
0 |
0 |
1 | |
0 |
1 |
1 | |
1 |
0 |
0 | |
1 |
1 |
1 |
При нахождении СКНФ пользуемся правилом: каждый набор аргументов определяет элементарную дизъюнкцию, в которой значению 1 соответствует инверсия переменной, а значению 0 – сама переменная. СКНФ функции образуют те элементарные конъюнкции, которые соответствуют наборам аргументов, дающим 0.
х1 |
х2 |
элементарные дизъюнкции | |
0 |
0 |
1 | |
0 |
1 |
1 | |
1 |
0 |
0 | |
1 |
1 |
1 |
Релейно-контактные схемы (РКС)
Релейно-контактная схема представляет собой устройство из проводников и контактов, связывающих полюса источника тока. Контакты могут быть размыкающими и замыкающими. Каждый контакт подключен к некоторому реле. Когда реле находится под током, все подключенные к нему замыкающие контакты замкнуты, а размыкающие - разомкнуты.
Каждому реле можно поставить в соответствие значение 1, если оно находится под током, и 0, если нет. Все замыкающие контакты,
подключенные к реле х, будем обозначать x1, ... xn, а размыкающие –
Всей схеме также можно поставить одно из двух значений 1, если схема проводит ток, и 0, если не проводит. Это значение есть функция переменных, т.е. логическая функция. Эту функцию называют функцией проводимости электрической цепи.
Всякая формула алгебры высказываний может быть реализована некоторой релейно-контактной схемой, имеющей соответствующую функцию проводимости. И, наоборот, для некоторой схемы можно указать ее функцию проводимости, логическую функцию, а затем построить для нее некоторую формулу алгебры высказываний. При этом основные логические связки моделируются следующими элементарными схемами:
т.е. дизъюнкция моделируется параллельным соединением проводников, конъюнкция - последовательным.
называется функцией проводимости данной релейно-контактной схемы.
Пример 1:
Построить функцию проводимости следующей схемы:
(Рис.1)
Функция проводимости для такой схемы задается, очевидно, следующей таблицей:
По данной логической функции построим формулу - СКНФ:
Упростим это выражение
Построим более простую схему, имеющую ту же функцию проводимости, что и исходная:
(Рис.2)
Чтобы упростить релейно-контактную схему, не обязательно строить ее функцию проводимости. Можно написать соответствующую данной схеме формулу и упростить. Затем построить схему электрической цепи, моделирующую эту упрощенную формулу. Так, для электрической цепи, приведенной в данном примере
Пример 2:
Построить наиболее простую релейно-контактную схему по заданной функции проводимости f(x,y,z): f(0,1,0)=f(1,1,0)=f(1,1,1)=0.
Строим СКНФ:
т.к. эти сомножители обращаются в "0" на указанных наборах функции: (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1).
Далее упрощаем формулу S:
(Рис.3)
Пример 3:
Упростить схему:
(Рис.4)
Решение:
составляем по схеме высказывание и упрощаем его:
Упрощенная схема имеет три переключателя вместо девяти
в исходной:
(Рис.5)
Пример 4:
Имеется одна лампочка в лестничном пролете двухэтажного дома.
Постройте схему так, чтобы на каждом этаже своим выключателем можно было бы включать и выключать лампочку, независимо от положения другого выключателя.
Решение:
Функция проводимости такой схемы должны обладать тем свойством, что её значение меняется всякий раз, когда меняется одного её аргумента. Следовательно, например:
Используя СДН-формулу, отсюда получаем: )
Пояснение: (x’=x1, y’=y1).
Пример 5:
Комитет состоит из пяти человек. Решение выносится большинством голосов. Если председатель «против», то решение не принимается.
Построить такую схему, чтобы, голосуя «за», каждый из пяти человек нажимал бы на кнопку, и в случае принятия решения, зажигалась бы сигнальная лампочка.
Решение: функция проводимости будет принимать значение 1, только в следующих случаях(x-председатель):
x |
y |
z |
w |
e |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Составим СДНФ и упростим:
Список Литературы:
Новиков П.С.
Элементы математической логики. - М: Наука, 1973. 328с.
Стенюшкина В.А.
Математическая логика и теория алгоритмов: Учебное пособие.
Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 106 с.