Дискретка_экзамен

Темы к экзамену по курсу

«Дискретная математика», семестр 2

Модуль 1. Множества и отношения

• Множества и операции над ними. Понятие множества. Способы задания множеств. Основные операции над множествами (объединение, пересечение, разность, дополнение, симметрическая разность). Свойства операций над множествами (коммутативность, дистрибутивность, ассоциативность, законы де Моргана). Декартово произведение множеств. Диаграммы Венна.

• Мощность множества. Биекция, инъекция, сюръекция. Понятие равномощности.

Конечные и бесконечные множества. Счетные множества (счетность множества рациональных чисел). Континуальные множества (несчетность отрезка [a,b], континуальность множества действительных чисел). Понятие мощности.

• Бинарные отношения. Понятие бинарного отношения. Понятие отношения эквивалентности. Теорема о разбиении множества на классы. Фактор-множество. График и граф бинарного отношения. Свойства бинарных отношений. Отношение порядка.

Модуль 2. Комбинаторика

• Основные типы комбинаторных объектов. Сочетания. Теорема о числе сочетаний из n элементов по k элементов. Перестановки. Число перестановок из n элементов (теорема). Перестановки с повторениями. Размещения (без повторений и с повторениями). Число размещений из n элементов по k элементов. Разбиения.

• Свойства и взаимосвязь комбинаторных объектов. Бином Ньютона. Комбинаторные тождества. Числа Стирлинга и их свойства. Принцип включения-исключения (теорема). Задача о “шляпах”.

• Перестановки и подстановки. Понятие подстановки. Теорема о числе подстановок из n элементов. Операция суперпозиции, ее свойства. Понятие инверсии. Четность перестановок и подстановок. Понятие транспозиции. Лексикографическое упорядочение перестановок.

Модуль 3. Теория графов

• Основные понятия. Граф, порядок графа. Отношения смежности и инцидентности на множестве вершин и ребер графа. Некоторые виды графов (пустой, полный, двудольный, помеченный, ориентированный, мультиграф, псевдограф). Изоморфизм графов. Подграф (остовный, порожденный).

• Матрицы, ассоциированные с графами. Матрица смежности, матрица Кирхгофа, матрица инцидентности.

• Операции над графами. Удаление вершины, удаление ребра, добавление ребра, стягивание ребра, слияние вершин, расщепление вершины, объединение графов, пересечение графов, произведение графов.

• Раскраска графов. Правильная раскраска графа. Хроматическое число. Алгоритм нахождения минимальной раскраски. Хроматический полином графа. Свойства

хроматического полинома (теоремы с доказательством).

• Деревья. Связный граф, связная компонента графа. Остов графа. Матричная теорема Кирхгофа. Остов минимального веса (алгоритм Прима). Ориентированные и бинарные деревья.

• Планарность. Плоский граф, планарный граф. Укладка графа на плоскость (алгоритм).

• Обходы графов. Эйлеровы графы. Алгоритм нахождения эйлерова цикла.

Гамильтоновы графы.

• Задача о кратчайшем пути. Постановка задачи. Алгоритм Дейкстры.

• Потоки в сетях. Понятие сети. Задача о максимальном потоке в сети. Алгоритм нахождения максимального потока.

• Задача о назначениях. Постановка задачи. Паросочетания. Алгоритм решения задачи о назначениях.

!!!! ВСЕ ПОНЯТИЯ, ТЕОРЕМЫ И АЛГОРИТМЫ ДОЛЖНЫ ИЛЛЮСТРИРОВАТЬСЯ ПРИМЕРАМИ.