Реализация функций формулами

можно комбинировать булевы переменные с помощью булевых опе­раций, получая булевы выражения, которые называются формулами.

Всякой формуле однозначно соответствует некоторая функция, при этом говорят, что формула реализует функцию.

ПРИМЕР:

Построить таблицу истинности для формулы  .

x1	x2
0	0	0	1
0	1	0	1
1	0	0	1
1	1	1	1

 

Таким образом, формула  реализует функцию(тождественная единица).

ПРИМЕР:

Построить таблицу истинности для формулы  .

x1	x2
0	0	0	0	0
0	1	0	0	1
1	0	0	1	1
1	1	1	0	1

 

Таким образом, формулареализует функцию(дизъюнкция).

Равносильные формулы

Формулы называются равносильными, если реализуют одну и ту же функцию.

Формула называется тождественно-истинной или тавтологией, если она реализует тождественную единицу.

Формула называется тождественно-ложной, если она реализует тождественный ноль.

Законы булевой алгебры

Законами булевой алгебры называются следующие равносильности:

1. Идемпотентность

   .

2.          Коммутативность  

   .

3.          Ассоциативность  

 .

4.          Дистрибутивность 

  .

5.          Закон поглощения  

    .

6.          Закон склеивания  

     .

7.          Закон нуля              

      .

8.          Закон единицы        

       .

9.          Закон дополнения

     .

10.      Инволютивность

 .

11.      Законы де Моргана 

   .

 

Тема 3.5. СДНФ и СКНФ

Определим степень следующим образом:

 , т.е. ,.

Выражение вида

 

 называется полной совершенной элементарной конъюнкцией.

Можно дать другое определение: полной совершенной элементарной конъюнкцией называется конъюнкция переменных функции или их отрицаний, причем никакая из переменных не входит вместе с отрицанием этой переменной.

Выражение вида

 

называется полной совершенной элементарной дизъюнкцией.

Можно дать другое определение: полной совершенной элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция  переменных функции или их отрицаний, причем никакая из переменных не входит вместе с отрицанием этой переменной.

Совершенной нормальной конъюнктивной формой (СКНФ) функции  называется конъюнкция полных совершенных элементарных дизъюнкций.

Совершенной нормальной дизъюнктивной формой (СДНФ) функции  называется дизъюнкция  полных совершенных элементарных конъюнкций.

ПРИМЕР: 

На этом примере покажем связь между таблицей истинности и функцией и ее совершенными нормальными формами:

х1	х2
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

 

 

 

 

СДНФ:

СКНФ:

 .

 

При нахождении СДНФ пользуемся правилом:  каждый набор аргументов определяет элементарную конъюнкцию, в которой значению 0 соответствует инверсия переменной, а значению 1 – сама переменная. СДНФ функции образуют те элементарные конъюнкции, которые соответствуют наборам аргументов, дающим 1.

 

х1	х2		элементарные конъюнкции
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

 

При нахождении СКНФ пользуемся правилом:   каждый набор аргументов определяет элементарную дизъюнкцию, в которой значению 1 соответствует инверсия переменной, а значению 0 – сама переменная. СКНФ функции образуют те элементарные конъюнкции, которые соответствуют наборам аргументов, дающим 0.

 

х1	х2		элементарные дизъюнкции
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Релейно-контактные схемы (РКС)

Релейно-контактная схема представляет собой устройство из проводников и контактов, связывающих полюса источника тока. Контакты могут быть размыкающими и замыкающими. Каждый контакт подключен к некоторому реле. Когда реле находится под током, все подключенные к нему замыкающие контакты замкнуты, а размыкающие - разомкнуты.

Каждому реле можно поставить в соответствие значение 1, если оно находится под током, и 0, если нет. Все замыкающие контакты,

подключенные к реле х, будем обозначать x₁, ... x_n, а размыкающие –

Всей схеме также можно поставить одно из двух значений 1, если схема проводит ток, и 0, если не проводит. Это значение есть функция переменных, т.е. логическая функция. Эту функцию называют функцией проводимости электрической цепи.

Всякая формула алгебры высказываний может быть реализована некоторой релейно-контактной схемой, имеющей соответствующую функцию проводимости. И, наоборот, для некоторой схемы можно указать ее функцию проводимости, логическую функцию, а затем построить для нее некоторую формулу алгебры высказываний. При этом основные логические связки моделируются следующими элементарными схемами:

т.е. дизъюнкция моделируется параллельным соединением проводников, конъюнкция - последовательным.

называется функцией проводимости данной релейно-контактной схемы.

Пример 1:

Построить функцию проводимости следующей схемы:

(Рис.1)

Функция проводимости для такой схемы задается, очевидно, следующей таблицей:

По данной логической функции построим формулу - СКНФ:

Упростим это выражение

Построим более простую схему, имеющую ту же функцию проводимости, что и исходная:

(Рис.2)

Чтобы упростить релейно-контактную схему, не обязательно строить ее функцию проводимости. Можно написать соответствующую данной схеме формулу и упростить. Затем построить схему электрической цепи, моделирующую эту упрощенную формулу. Так, для электрической цепи, приведенной в данном примере

Пример 2:

Построить наиболее простую релейно-контактную схему по заданной функции проводимости f(x,y,z): f(0,1,0)=f(1,1,0)=f(1,1,1)=0.

Строим СКНФ:

т.к. эти сомножители обращаются в "0" на указанных наборах функции: (0,1,0), (1,1,0), (1,1,1).

Далее упрощаем формулу S:

(Рис.3)

Пример 3:

Упростить схему:

(Рис.4)

Решение:

составляем по схеме высказывание и упрощаем его:

Упрощенная схема имеет три переключателя вместо девяти

в исходной:

(Рис.5)

Пример 4:

Имеется одна лампочка в лестничном пролете двухэтажного дома.

Постройте схему так, чтобы на каждом этаже своим выключателем можно было бы включать и выключать лампочку, независимо от положения другого выключателя.

Решение:

Функция проводимости такой схемы должны обладать тем свойством, что её значение меняется всякий раз, когда меняется одного её аргумента. Следовательно, например:

Используя СДН-формулу, отсюда получаем: )

Пояснение: (x’=x1, y’=y1).

Пример 5:

Комитет состоит из пяти человек. Решение выносится большинством голосов. Если председатель «против», то решение не принимается.

Построить такую схему, чтобы, голосуя «за», каждый из пяти человек нажимал бы на кнопку, и в случае принятия решения, зажигалась бы сигнальная лампочка.

Решение: функция проводимости будет принимать значение 1, только в следующих случаях(x-председатель):

x	y	z	w	e
1	0	0	1	1
1	0	1	0	1
1	0	1	1	0
1	0	1	1	1
1	1	0	0	1
1	1	0	1	0
1	1	0	1	1
1	1	1	0	0
1	1	1	0	1
1	1	1	1	0
1	1	1	1	1

Составим СДНФ и упростим:

Список Литературы:

1. Новиков П.С.

Элементы математической логики. - М: Наука, 1973. 328с.

2. Стенюшкина В.А.

Математическая логика и теория алгоритмов: Учебное пособие.

Оренбург: ГОУ ОГУ, 2004. – 106 с.