2012_Topology / met-srsTopology-2012

расположенную на поверхности земного шара на 10 км южнее, чем ln. Тогда очевидно, что A = g1 g2 · · · g0, где g0 — одноточечное множество — южный полюс. Множество A не замкнуто. Для этого множества предельными точками являются все точки окружности l0 отстоящей на 10 км южнее северного полюса, эта окружность не входит в множество A.

Задача 3.

На R2 введена топология конечных дополнений. В получившемся топологическом пространстве X найти внутренность, границу и внешние точки для а) круга x2 + y2 < 1; б) точки {0}.

Решение задачи 3.

а) Окрестность каждой точки круга — это R2, из которого выколото конечное число точек. Такой же вид имеют и окрестности любой точки дополнения круга. Очевидно,всякая такая окрестность пересекается как с кругом, так и с его дополнением, и значит любая точка X является граничной для круга. Внешних и внутренних точек нет.

б) Границей точки {0} является она сама, поскольку любая содержащая ее окрестность содержит и точки, отличные от {0}. Остальные точки X являются внутренними, поскольку лежат в дополнении R2 \{0} вместе со своей окрестностью (в качестве которой можно выбрать само дополнение R2 \ {0}). Внешних для {0} точек нет.

Задача 4.

Что можно сказать о непрерывности отображения f : (R, τ) → R, если известно, что f : R → R непрерывно и τ сильнее стандартной топологии на R?

Решение задачи 4.

Поскольку f : R → R — непрерывно, для любого открытого множества U из стандартной топологии на R прообраз f−1(U) открыт в стандартной топологии.

Поскольку τ сильнее стандартной топологии на R, любое множество, открытое в стандартной топологии, открыто и в τ. Следовательно, f : (R, τ) → R —

непрерывное отображение.

Задача 5.

Пусть T1 = (X1, τ1), T2 = (X2, τ2) — два топологических пространства, а g

— отображение X1 в X2. Тогда g называется открытым, если из того, что A τ1 g(A) τ2, и замкнутым, если из того, что A′ X \τ1 g(A′) X \τ2. Существует ли непрерывное отображение T1 в T2, не являющееся ни открытым, ни замкнутым?

Решение задачи 5.

Ответ: Да.

Пусть функция g(x) = ex cos x задана на R1, где определена обычная топология. Легко видеть, что g отображает R1 в R1 непрерывно, однако образ открытого множества (−∞; 0) не является открытым; множество g({−nπ : n = 1, 2, . . . })

не является замкнутым.

Задача 6.

Доказать, что шар B ={x Rn : x < 1} гомеоморфен пространству Rn.

Решение задачи 6.

Требуемый гомеоморфизм f : Bn → Rn осуществляет, например, отображение

f: x = (x1, . . . , xn) → p · (x1, . . . , xn), где p = tg (π/2 · x ) .

Всамом деле, f инъективно: f сохраняет направления, поэтому если x′ ̸= x′′, но x′ = x′′ , то f(x′) ̸= f(x′′). Но f также сюрьективно: f принимает все

направления, а при выбранном направлении q, т.е. вектора единичной длины

пробегают все значения с направлением q.

Задача 7.

Какие множества прямой могут быть непрерывными образами множества M

точек плоскости, у которых по крайней мере одна из координат рациональная?

Решение задачи 7.

Множество M связно, поэтому любой непрерывный образ этого множества связен. На прямой всякое связное множество имеет вид (α, β), (α, β], [α, β), либо [α, β], где −∞ ≤ α ≤ β ≤ +∞. Покажем, что каждое из этих множеств есть непрерывный образ M. Отображение f : M −→ R, f(x) = ρ(x, a0) (расстояние от a0 до x), где a0 = (π, π) переводит M в (0, +∞), а так как все интервалы прямой гомеоморфны друг другу, то каждый интервал есть образ M. Рассматривая композицию отображения M на всю прямую R и отображения x −→ |x|, получим непрерывное отображение M на [0; +∞), так что любой полуинтервал

— образ M. Композиция отображения M на R и отображения f(x) = sin x отображает M на [-1;1], так что любой отрезок — образ M. Наконец, отображение f, переводящее каждую точку M в константу d, непрерывно, так что каждая точка (т.е. множество [α, α]) — образ M.

Задача 8.

Верно ли, что образ несвязного пространства при непрерывном отображении является пространством несвязным?

Решение задачи 8.

Ответ: неверно.

Рассмотрим пространство X = (−1/2, 0) (3/2, 2] с топологией, индуцированной стандартной топологией на R и определим отображение из X в интервал

(−1, 1) по правилу:

2y, если −1/2 < y < 0;

f(y) =

4 − 2y, если 3/2 < y 6 2.

Это отображение взаимно однозначно, и, очевидно, непрерывно.

§4. Пример контрольной работы для промежуточного контроля

№1.

Вариант 1: Что можно сказать о непрерывности отображения f : R →

(R, τ), f : x → 0, если топология τ на R не сравнима со стандартной (метрической)топологией на R?

Вариант 2: Что можно сказать о непрерывности отображения f : R → (R, τ), f : x → 0, если топология τ на R сильнее, чем стандартная (метрическая)топология

на R?

Вариант 3: Что можно сказать о непрерывности отображения f : R → (R, τ), f : x → 0, если топология τ на R слабее, чем стандартная (метрическая)топология

на R?

№2. Пусть X = ({a, b, c, d}, τ1), Y = ({p, q, r, m}, τ2) — множества из четырех точек с заданными на них топологиями, f : X → Y — непрерывное отображение. Привести пример f, τ1, τ2 так, чтобы

Вариант 1: отображение f было открытым и замкнутым;

Вариант 2: отображение f было не открытым и замкнутым;

Вариант 3: отображение f было открытым и не замкнутым.

№3.

Вариант 1: Сформулируйте утверждение об открытости и замкнутости непрерывного отображения f, если f — биекция. Приведите примеры к своему утверждению.

Вариант 2: Приведите пример открытого, не замкнутого, не непрерывного отображения.

Вариант 3: Приведите пример не открытого, замкнутого, не непрерывного

отображения.

№4.

Докажите, что τi, i = 1, 2, 3 — топология на R.

Вариант 1: τ1 = R (−∞, 0) {Uα = R \ {aα1 , . . . , aαp }}, ai > 0.

Вариант 2: τ2 = (−∞, 0) (−∞, 0] {0} [0, ∞) (0, ∞) R \ {0} .

Вариант 3: τ3 = R {Uα = R \ {aα1 , . . . , aαp }}.

Какие из этих топологий не могут быть порождены никакой метрикой? Приведите несколько примеров замкнутых множеств в τi. Приведите свой пример топологии на R.

№5.

Самый простой пример разрывной функции на R в матанализе — это функция f(x) = signx (принимает значения 1, при x > 0, −1 при x < 0 и 0 при x = 0). Рассмотрим отображение signx : X = (R, τ) → Y , где Y = {−1, 0, 1} с

топологией, индуцированной при помощи стандартной (метрической) топологии на R. Нарисуйте график. В какой из топологий τi из предыдущего задания это отображение непрерывно? Придумайте аналогичный пример.

№6.

Докажите, что отображение полуотрезка (0, 2π] в окружность x2 + y2 = 1 по правилу x = cos t, y = sin t не является гомеоморфизмом. (Указание: используйте утверждение о непрерывном отображении связных множеств).

№7.

Приведите свой пример непрерывного, но не изометричного отображения метрических пространств. Приведите свой пример изометричного отображения метрических пространств. Является ли это отображение непрерывным?

№8.

Привести пример счетного нигде не плотного в R множества. Будет ли это множество нигде не плотным, всюду плотным в X = (R, τi), если

Вариант 1: i = 1; Вариант 2: i = 2; Вариант 3: i = 3.

№9.

Может ли фактор-пространство хаусдорфова пространства быть нехаусдорфовым? (Рассмотрите пару параллельных прямых в R2, склейте их по открытому лучу).

№10.

Докажите, что подмножество рациональных чисел Q R не связно. Сохранится ли свойство несвязности, если на R ввести топологию τi:

Вариант 1: i = 1; Вариант 2: i = 2; Вариант 3: i = 3.

Учебное издание

ТОПОЛОГИЯ

О.В. Знаменская

Подготовлено к изданию РИО БИК СФУ Компьютерная верстка: О.В. Знаменской

Подписано в печать 31.08.2012 г. Формат 60x84/16. Бумага офсетная. Печать плоская.

Усл. печ. л. 1,5. Уч.-изд. л. 1 Тираж 50 экз. Заказ № ????.

Редакционно-издательский отдел Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 79 Тел/факс (391) 201-21-49. E-mail rio@sfu-kras.ru http://rio.sfu-kras.ru

Отпечатано Полиграфическим центром Библиотечно-издательского комплекса Сибирского федерального университета 660041, г. Красноярск, пр. Свободный, 82а