2012_Topology / met-srsTopology-2012

(б)Сколько различных топологий можно ввести в множестве из n точек?

3.Пусть X — множество натуральных чисел N и пусть заданы системы его подмножеств:

τt = { , N};

τd = { , N, все подмножества N};

τ1 = { , N, все подмножества чётных чисел};

τ2 = { , N, все подмножества N, дополнения которых конечны };

τ3 = { , {On : n ≥ 1}}, где On = {n, n + 1, n + 2, . . . }. Проверить, что все они задают топологию на N.

4. Пусть X = R (множество действительных чисел). В каждом из случаев (a),(b),(c) покажите , что τ — топология на X.

(a)τ = { , R, {(−∞, x) : x R}};

(b)τ = { , R, всевозможные объединения ограниченных открытых интерва-

лов };

(c)U τ в том и только том случае, если U — подмножество R и для любого

s U найдется такое t > s, что [s, t) U, где [s, t) = {x R : s ≤ x < t}. (Топологию в (b) называют стандартной топологией прямой).

5. Покажите, что ни одна из следующих совокупностей подмножеств R не является топологией:

τ1 = { , R, {−∞, x] : x R};

τ2 = { , R, {(a, b) : a, b R, a < b}};

τ3 : U τ в том и только том случае, если U — подмножество R и для всех s U найдется такое t ≥ s, что [s, t) U, где [s, t) = {x R : s ≤ x < t}.

6. Будет ли являться топологическим пространством пространство (R, τ), где

τ = { , R, все подмножества множества целых чисел }?

7.Ввести топологию, отличную от топологий τt, τd на множестве:

(a)Концентрических окружностей;

(b)Прямых, проходящих через начало координат.

8.Пусть X = Q (множество рациональных чисел), τ = { , Q, всевозможные объединения ограниченных открытых интервалов}. Такое пространство назы-

17.Показать, что упорядоченное множество, наделённое правой топологией, есть хаусдорфово пространство (см. №9).

18.Пусть X — хаусдорфово пространство, в котором всякое пересечение открытых множеств есть открытое множество. Показать, что x {x′} есть отношение порядка между x и x′ в X и что если записывать его в виде x ≤ x′, то заданная топология в X, будет совпадать с правой топологией, определённой этим соотношением.

19.Вывести из №18., что если X — хаусдорфово пространство, то всякое непустое конечное множество в X имеет по крайней мере одну изолированную точку. Если X не имеет изолированных точек, то всякое непустое открытое множество в X бесконечно.

Открытые и замкнутые множества

20.Доказать следующие свойства замкнутых множеств в топологическом пространстве:

(1), X замкнуты;

(2)объединение любых двух замкнутых множеств замкнуто;

(3)пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто;

21.Пусть X некоторое множество и D —совокупность множеств, удовлетворяющих условию (1-3) из №20. Покажите, что U = {X \ V : V D} — топология на X.

22.(a) Покажите, что если топологическое пространство состоит из конечного числа точек, каждая из которых замкнута, то оно имеет дискретную топологию.

(b) Доказать, что в (X, τd) любое подмножество одновременно открыто и замкнуто.

23.Покажите, что в топологическом пространстве (R, τ), где

U τ в том и только том случае, если U — подмножество R и для любого s U найдется такое t > s, что [t, s) U, где [s, t) = {x R : s ≤ x < t}

каждое из множеств [s,t) открыто и замкнуто.

24. Пусть X = R со стандартной топологией. Покажите, что

(a)объединение произвольного семейства замкнутых множеств в X не обязательно замкнуто;

(b)пересечение бесконечного числа открытых множеств не обязательно от-

крыто.

25.Доказать, что [a, b] Q замкнутое множество в топологии рациональной прямой.

26.Показать, что множество всех целых чисел Z на Q замкнуто в топологии рациональной прямой.

27.Пусть X = N. Объявим базой топологии множество B = { , N, {a = 2n}}

(a)Привести пример замкнутого множества в (X, τβ); множества, которое является не открытым, не замкнутым.

(b) Открытыми или замкнутыми являются множества: {3}; {n, n + 1, n +

2}; {2n + 1}; {a = 8k}?

28. Привести примеры открытых, замкнутых, не открытых, не замкнутых множеств в топологических пространствах

τt = { , N};

τd = { , N, все подмножества N};

τ1 = { , N, все подмножества чётных чисел };

τ2 = { , N, все подмножества N, дополнения которых конечны };

τ3 = { , {On : n ≥ 1}}, где On = {n, n + 1, n + 2, . . . }.

τ= { , R, {(−∞, x) : x R}};

τ= { , R, всевозможные объединения ограниченных открытых интервалов};

U τ в том и только том случае, если U — подмножество R и для любого

s U найдется такое t > s, что [t, s) U, где [s, t) = {x R : s ≤ x < t}.

стопологией на множестве концентрических окружностей;

стопологией на множестве прямых, проходящих через начало координат.

X — упорядоченное множество. Множество интервалов [x, −→) (соответственно (←−, x]), задаёт в X правую (соответственно левую) топологию.

все возможные топологии на множестве из двух, трех, четырех, пяти точек

29. Пусть (X, τ) = R2 со стандартной топологией. Являются ли следующие подмножества открытыми или замкнутыми:

(a)множество всех комплексных z : |z| < 1;

(b)множество всех комплексных z : |z| ≤ 1;

(c)некоторое конечное множество;

(d)множество Z;

(e){n1 ; n = 1, 2, 3 . . . };

(f)множество любых комплексных чисел;

(g)интервал (a,b).

Окрестность точки. Внутренние, внешние, граничные точки

30.Введите τt, τd, стандартную топологию τ на R2.

(a)Найдите границу круга {x2 + y2 < 1} в этих топологиях.

(b)Найдите границу точки в этих топологиях.

31.Доказать, что

(a)D M открыто ∂D ∩ D = .

(b)F M замкнуто ∂F F .

32.Может ли внутренность непустого множества быть пустой?

33.Какое множество является замыканием множества {x} в топологическом пространстве с правой топологией [x, −→) ?

34.Пусть X = N. Объявим базой топологии множество B = { , N, {a = 2n}}

Найти границу, внутренность, внешность {2}, {3}, {n, n+1, n+2}.

35. В какой топологии на N множество {n, n+1, n+2} имело бы граничные точки n, n+1, n+2.

Непрерывные отображения

36.Доказать, что отображение топологических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз всякого замкнутого множество замкнут.

37.Доказать, что любые два интервала на вещественной прямой гомеоморфны.

38.Будет ли круг гомеоморфен окружности?

39.Гомеоморфны ли буквы Е и Т, буквы Т и К, буквы С и М?

40.На сколько классов эквивалентности разбивается множество заглавных букв русского алфавита по отношению эквивалентности “гомеоморфно”? Рассмотреть две модели букв: 1) буква — множество на плоскости, составленное из конечного числа кривых; 2) буква — замкнутое множество на плоскости с непустой внутренностью.

41.Пусть {fn} — последовательность непрерывных отображений из топологического пространства X в метрическое пространство (Y, d). Доказать, что если

fn равномерно сходится к отображению f (то есть, supx X d(fn(x), f(x)) → 0, n → ∞), то f — непрерывно.

42.Доказать, что лист Мебиуса не гомеоморфен поверхности прямого кругового цилиндра.

43.Доказать, что если композиция произвольных трёх гомотетий плоскости с центрами в трёх фиксированных точках A, B, C имеют неподвижную точку, то точки A, B, C лежат на одной прямой.

44.Пусть A — некоторое множество на прямой, все точки которого являются изолированными. Доказать, что A представляется в виде пересечения открытого и замкнутого множеств.

45.Пусть T1 = (X1, τ1), T2 = (X2, τ2) — два топологических пространства, а

g — отображение X1 в X2. Тогда g называется открытым, если из того, что A τ1 g(A) τ2, и замкнутым, если из того, что A′ X \τ1 g(A′) X \τ2. Существует ли непрерывное отображение T1 в T2, не являющееся ни открытым, ни замкнутым?

46.На множестве натуральных чисел N введём топологию, объявив открытыми множествами N, и множества, дополнения до которых конечны. Описать все непрерывные действительные функции на этом топологическом пространстве.

47.Какие множества прямой могут быть непрерывными образами множества

M точек плоскости, у которых по крайней мере одна из координат рациональ-

ная?

48.Найти все непрерывные действительные функции, определённые на всей прямой, переводящие любое открытое множество в замкнутое.

49.Будем считать Землю идеально гладким шаром. Рассмотрим множество A

всех точек x на поверхности Земли, которые обладают свойством: если из x

пройти 10 км на север, затем 10 км на запад, и, наконец, 10 км на юг, то окажешься снова в точке x. Является ли множество A замкнутым?

Компактные пространства

50.Доказать, что компактное пространство с дискретной топологией конечно.

51.Доказать, что пространство X компактно тогда и только тогда, когда каждое покрытие пространства X элементами некоторой базы содержит конечное подпокрытие.

52.Доказать, что пространство X компактно тогда и только тогда, когда любая система замкнутых в X множеств, таких, что пересечение любого их конечного числа не пусто, имеет непустое пересечение.

53.Доказать, что пространство X компактно тогда и только тогда, когда любая центрированная система произвольных в X множеств имеет точку прикосновения. (Семейство множеств называется центрированным, если пересечение любого конечного числа этих множеств не пусто.)

54.Доказать, что любое замкнутое подпространство компактного пространства компактно.

55.Доказать, что в каждом бесконечном компактном пространстве существует счетное незамкнутое множество.

56.Доказать, что любое компактное подпространство хаусдорфова пространства X является замкнутым в X множеством.

57.Доказать, что незамкнутое подпространство хаусдорфова пространства не является компактным пространством.

58.Доказать, что пересечение любого семейства замкнутых компактных множеств является замкнутым и компактным множеством.

59.Привести пример топологического пространства, в котором пересечение некоторых двух компактных множеств не является компактным множеством.

60.Привести пример топологического пространства, в котором замыкание некоторого компактного множества не компактно.

61. Пусть Y = {Aα : α M}, где каждое Aα — компактное подмножество в некотором хаусдорфовом пространстве и пересечение любого конечного семей-

62.Доказать, что замкнутое подпространство компакта само является компактом.

63.Доказать, что всякий компакт замкнут в объемлющим его метрическом пространстве.

64.Привести пример замкнутого ограниченного

некомпактного подмножства в l2.

65. Привести пример замкнутого ограниченного, некомпактного подмножества в C[0, 1].

Связность

66.Привести пример связного не локально связного хаусдорфова компактного пространства.

67.Пусть X — связное хаусдорфово пространство, A и B — непустые непересекающиеся замкнутые в нем множества. Доказать, что существует компонента множества X \ (A B), замыкание которой пересекается с A и B.

68.Доказать, что топологическое произведение любого семейства связных пространств связно.

69.Привести пример топологического пространства, содержащего одноточечные компоненты связности.

70.Доказать, что если A и B — замкнутые множества, объединение и пересечение которых являются связными множествами, то и множества A, B —

связные. Верно ли это утверждение для незамкнутых множеств A и B?

71.Доказать, что замыкание связного множества связно.

Непрерывные отображения и свойства топологических

пространств

72.Доказать, что образ базы при непрерывном отображении может не быть базой.

73.Доказать, что в Rn круговой цилиндр конечной высоты без оснований, однополостной гиперболоид, открытое кольцо и сфера без двух точек гомеоморфны друг другу.

74. Доказать, что любые два открытые выпуклые подмножества в Rn гомеоморфны в индуцированной топологии. Справедливо ли это утверждение для любых замкнутых выпуклых подмножеств?

75.Указать негомеоморфные топологические пространства, каждое из которых гомеоморфно подпространству другого.

76.Доказать, что полное метрическое пространство может быть гомеоморфно неполному метрическому пространству.

77.Указать негомеоморфные топологические пространства, каждое из которых взаимно-однозначно и непрерывно отображается на другое.

78.Доказать, что проектирование топологического произведения X × Y на любой сомножитель является непрерывным открытым (не обязательно замкнутым) отображением.

79.Является ли образ несвязного пространства при непрерывном отображении несвязным пространством?

80.Доказать, что взаимно-однозначное непрерывное отображение f компактного пространства X на хаусдорфово пространство Y является гомеоморфизмом. Можно ли отказаться от требования хаусдорфовости пространства Y ?

81.Пусть X — топологическое пространство, а Y — компактное пространство. Доказать, что отображение pr : X × Y → X замкнуто.

82.Доказать, что всякая непрерывная функция на топологическом произведении любого семейства компактных хаусдорфовых пространств зависит от счетного числа координат.

83.Доказать, что метризуемое пространство X компактно тогда и только тогда, когда всякая метрика на X, согласованная с его топологией, ограничена.

84.Доказать, что метрическое пространство, являющееся непрерывным образом компакта, само является компактом.

85.Доказать, что непрерывное отображение одного компакта на другой равномерно непрерывно.

86.Доказать, что непрерывная функция на компакте равномерно непрерывна.

§3. Решение некоторых задач

Задача 1.

Пусть A — некоторое множество на прямой, все точки которого являются изолированными. Доказать, что A представляется в виде пересечения открытого и замкнутого множеств.

Решение задачи 1.

Пусть M — множество предельных точек множества A. Легко проверить, что

M — замкнуто. Так как все точки A изолированные, то A ∩ M = . Поэтому

A = (A M) ∩ (R \ M), где A M — замыкание множества A; R \ M —

дополнение M до прямой R — открыто.

Задача 2.

Будем считать Землю идеально гладким шаром. Рассмотрим множество A всех точек x на поверхности Земли, которые обладают свойством: если из x пройти

10 км на север, затем 10 км на запад, и, наконец, 10 км на юг, то окажешься снова в точке x. Является ли множество A замкнутым?

Решение задачи 2.

Ответ: нет.

Обозначим через ln окружность радиуса rn = 210πn км (n = 1, 2, . . . ), расположенную в северном полушарии на поверхности Земли с центром на земной оси. Длина этой окружности равна 10n км. Обозначим через gn окружность,