2012_Topology / met-srsTopology-2012

УДК 517.91 ББК ? 22.161.61(Я73)

З??

Рецензенты: д-р.физ.-мат. наук, профессор А.К. Цих, СФУ д-р.физ.-мат. наук, профессор А.М. Кытманов, СФУ

Составитель: О.В. Знаменская З?? Топология: метод. указания по выполнению самостоятельной работы/ сост.

О.В. Знаменская. – Красноярск: Сиб. федер. ун-т, 2012. — 24 с.

Издание обеспечивает самостоятельную работу студентов по дисциплине «Топология» для студентов специальности 010101.65 «Математика» и направления 010100.62 «Математика». В нем содержатся задачи и упражнения для самостоятельной работы, изложено решение некоторых наиболее трудных задач, а также приведены образцы контрольно-измерительных материалов для текущего и итогового контроля.

УДК 517.91 ББК ? 22.161.61(Я73)

c Сибирский федеральный университет, 2012

Оглавление

Часть 1. Общие сведения

Самостоятельное изучение дисциплины «Топология» для студентов специальности 010101.65 – «Математика» составляет 17 часов из общего числа (78 часов), выделенных на дисциплину в учебном плане. Поскольку аудиторную работу составляют только лекционные занятия, самостоятельная работа в рамках изучения данной дисциплины преимущественно направлена на выполнение упражнений и решение задач.

Таблица 1. Виды и объем учебной работы

Для самостоятельного изучения теоретических вопросов курса рекомендуется использовать источники из приведенного ниже списка литературы.

§1. Содержание лекций

Тема 1. Топологическое пространство. Примеры

топологических пространств

Определение топологического пространства. Теорема о том, что всякое метрическое пространство является топологическим. Определение метрической топологии.

Примеры топологических пространств. Дискретная и тривиальная топологии; метрическая (естественная) топология на числовой прямой и Rn; топология конечных дополнений.

Отношение частичного порядка на множестве топологий, определенных на

X. Предложение: пусть ρ, ρ1 — две метрики на множестве X, τ, τ1 — метрические топологии на X, определяемые соответственно метриками ρ, ρ1. Если

существует такое положительное число a, что ρ(x, y) 6 aρ1(x, y) x, y X, то

τ слабее, чем τ1.

Отделимость топологических пространств. Хаусдорфовы и колмогоровы топологические пространства. Утверждение о том, что топологическое пространство с метрической топологией хаусдорфово.

Примеры: топологическое пространство, топология в котором не может быть порождена никакой мерикой; колмогоровское, но не хаусдорфово пространство; не колмогоровское и не хаусдорфово пространство.

Индуцированная топология. Примеры пространств с индуцированной топологией.

Тема 2. База топологии, фундаментальная система

окрестностей точки

Два определения базы топологии. Примеры: база естественной (метрической) топологии на числовой прямой; база топологии в произвольном метрическом пространстве, в дискретном топологическом пространстве. Предложение о базе топологии в подпространстве с индуцированной топологией. Критерий базы. Теорема о конструировании базы топологии из покрытия X.

Определение предбазы. Определения окрестности множества и точки в топлогическом пространстве.

Определение фундаментальной системы окрестностей. Предложение о связи между понятиями фундаментальной системы окрестностей и базы топологии.

Тема 3. Операции над подмножествами топологических

пространств

Определения внутренней точки множества, внутренности множества. Свойства внутренности множества в топологических пространствах.

Определение граничных точек и границы множества.

Определение точки прикосновения множества. Замыкание множества. Свойства операции замыкания.

Определение предельной точки множества (для произвольных топологических пространств). Определение предельной точки множества (для пространств с метрической топологией). Предложение об эквивалентности определений предельной точки множества для пространств с метрической топологией. Пример топологического пространства, для которого определения не эквивалентны.

Определение изолированной точки множества. Предложение о том, что всякая точка прикосновения есть либо предельная, либо изолированная точка множества. Примеры подмножеств R, состоящих целиком из изолированых, предельных точек.

Определение замкнутого подмножества в топологическом пространстве. Свойства замкнутых подмножеств. Связь замкнутого множества и операции замыкания. Теорема о структуре открытых и замкнутых множеств на числовой прямой.

Тема 4. Сепарабельность, две аксиомы счетности, их связь

Определение всюду плотного подмножества в топологическом пространстве. Определение нигде не плотного подмножество в топологическом пространстве. Примеры: всюду плотное и нигде не плотное подмножество на числовой прямой; всюду плотное подмножество в пространстве C[a, b].

Определение сепарабельного топологическоого пространства. Примеры сепарабельных пространств: R, C[ab], Rn, n > 1. Утверждение о том, что пространство m ограниченных последовательностей не сепарабельно.

Вторая аксиома счетности в топологических пространствах. Пример: R —

пространство со второй аксиомой счетности. Теорема о связи сепарабельности и второй аксиомы счетности в топологических и метрических пространствах. Пример, когда для произвольных топологических пространств понятия сепарабельности и второй аксиомы счетности не совпадают.

Топологическое пространство с первой аксиомой счетности. Предложение о том, что всякое метрическое пространство удовлетворяет первой аксиоме счетности. Утверждение об аксиомах счетности.

Определение сходящейся последовательности в топологических пространствах. Определение сходящейся последовательности в метрических пространствах. Теорема о связи сходимости и замыкания в топологических пространствах с первой аксиомой счетности. Пример к теореме.

Тема 5. Непрерывные отображения топологических

пространств

Три определения непрерывности в точке, определение непрерывного отображения. Критерий непрерывности. Примеры непрерывных отображений, свойства непрерывных отображений, гомеоморфизм, три задачи о непрерывных отображениях.

Тема 6. Индуцированная и коиндуцированная топология

Произведение двух топологических пространств, n топологических пространств. Топология произведения, ее база. Топологическое произведение бесконечного числа пространств, топология Тихонова, ее база. Примеры.

Определение фактор-пространства, фактор-топология. Теорема об отображении. Примеры фактор-пространств (окружность, тор, лист Мебиуса, цилиндр, проективная плоскость).

Дизъюнктное объединение множеств, топологическя сумма постранств. Теорема о том, что τ — сильнейшая среди тех, в которых непрерывны отображения вложения. Примеры.

Определение индуцированной топологии, предбаза индуцированной топлогии. Примеры. Определение коиндуцированной топологии, база, примеры.

Тема 7. Связность и компактность топологических

пространств

Эквивалентные определения связных пространств. Примеры. Свойства связ-

ных пространств (5 теорем о связности). Связная компонента, пример. Ли-

нейная связность и ее связь со связностью, пример связного, но не линейно связного пространства.

Понятие и свойства компактных пространств. Компактность произведения компактных пространств. Критерий компактности подмножеств в Rn, n < ∞. Компактность метрических пространств. Некомпактность замкнутого шара в l2.

§2. Информационное сопровождение дисциплины

Основная литература

1.Александров П.С. Введение в теорию множеств и общую топологию. Серия: Физико-математическое наследие: математика (история математики). М.: ЛКИ, ISBN 978-5-382-00418-1, 2008 — 368 С.

2.Федорчук В.В., Филиппов В.В. Общая топология. Основные конструкции. М.: ФИЗМАТЛИТ. Серия: Классический университетский учебник, ISBN 5-9221-0618-X, 2006 — 336 С.

3.Мищенко А.С. Курс дифференциальной геометрии и топологии/ А.С. Мищенко, А.Т. Фоменко – М.: Факториал Пресс, 2000, 448 С.

4.Мищенко А.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии и топологии/ А.С. Мищенко, Ю.П. Соловьев, А.Т. Фоменко – М.: Факториал Пресс, 2004, 412 С.

Дополнительная литература

1.Борисович Ю.Г., Близняков Н.М. и др. Введение в топологию. М.: Высшая школа, 1980. 295 с.

2.Гелбаум Б. Контрпримеры в анализе (Counterexamples in Analysis)/ Б. Гелбаум, Дж. Олмстед. Пер. Борис Голубов. – Изд-во: ЛКИ. Серия: Физико-математическое наследие: математика, 2010 – 252 С.

3.Дубровин Б.А. Современная геометрия. Методы теории гомологий/ Б.А. Дубровин, С.П. Новиков, А.Т. Фоменко – M.: URSS, 2001, 288 С.

4.Косневски Ч. Начальный курс алгебраической топологии. М.: Мир, 1983. 302 с.

5.Новиков С.П. Элементы дифференциальной геометрии и топологии/ С.П. Новиков, А.Т. Фоменко – M.: «Наука», 1987, 432 С.

6.Понтрягин Л.С. Основы комбинаторной топологии. М.: Наука, 1976.

7.Стинрод Н. Первые понятия топологии. Геометрия отображений отрезков, кривых, окружностей и кругов (First Concepts of Topology: The Geometry of Mappings of Segments, Curves, Circles and Disks)/ Н. Стинрод, У. Чинн. Пер. И. Вайнштейн – Изд-во: ЛКИ. Серия: Науку - всем! Шедевры научно-популярной литературы, 2008 – 224 С.

Информационные интернет–ресурсы

1.Дифференциальная геометрия и топология [Электронный ресурс]: электрон. учеб.-метод. комплекс дисциплины/ О.В. Знаменская [и др.]; Сиб. федерал. ун-т. — Версия 1.0. - Электрон. дан. (PDF ; 5Мб). — Красноярск: ИПК СФУ, 2007. - on-line. - (Электронная библиотека СФУ. Учебно-методические комплексы дисциплин в авторской редакции; № 162007). — Загл. с титул. экрана. — Режим доступа: из читальных залов НБ СФУ. — Б. ц.

2.Математическая энциклопедия http://mathworld.wolfram.com.

3.Математический сайт http://www.math.ru/.

4.Интернет-библиотека http://ilib.mirror1.mccme.ru/.

Часть 2. Материалы для самостоятельной работы

§1. Упражнения

1.Доказать, что "шаровая" и "прямоугольная" метрики в Rn определяют одинаковые топологии.

2.Доказать, что (A ∩ B)◦ = A◦ ∩ B◦. Верно ли, что (A B)◦ = A◦ B◦?

3.Доказать, что A B = A B. Верно ли, что A ∩ B = A ∩ B?

4.Доказать, что X \ A◦ = X \ A, X \ A = (X \ A)◦.

5.Доказать, что если (X1, ρ1) и (X2, ρ2) — метрические пространства, то

ρ ((x1, x2), (y1, y2)) := max{ρ1(x1, y1), ρ2(x2, y2)}

является метрикой на произведении X1 × X2, причем топология τρ, определяемая метрикой ρ совпадает с топологией произведения.

6.Покажите, что фактор-пространство X \ R хаусдорфова пространства X

может быть нехаусдорфовым.

7.Доказать, что R2 и Rn не гомеоморфны при n > 1.

8. Доказать, что X × Y связно тогда и только тогда, когда X и Y связны.

9.Доказать, что компактное метрическое пространство всегда сепарабельно.

§2. Задачи для самостоятельной работы

Задание топологии на множестве

1.Когда тривиальная и дискретная топологии совпадают? Различны?

2.(а) Постройте все возможные топологии на множестве из двух, трех, четырех, пяти точек.