Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

2012_Topology / L-KoGom

.pdf
Скачиваний:
52
Добавлен:
04.06.2015
Размер:
15.19 Mб
Скачать

И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих

Лекции по курсу

КРАТНОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ.

КОГОМОЛОГИИ

Красноярск

2007

Оглавление

Часть I. Когомологии Де Рама и интегрирование

 

дифференциальных форм на многообразиях

7

Тема 1. Вещественные и комплексные многообразия

8

Лекция 1. Понятие многообразия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Предисловие (8). Топологические пространства. Свой-

 

ство хаусдорфовости (10). Определение топологического

 

многообразия (14). Гладкие многообразия (16). Комплекс-

 

ные многообразия (20)

 

Лекция 2. Классические примеры многообразий . . . . . . . . . . . .

22

Многообразия уровня (22). Вещественная проективная

 

плоскость (25). Вещественное и комплексное проектив-

 

ное пространство (28). Проективная прямая CP1 как

 

сфера Римана (31). Римановы поверхности (32). Топо-

 

логическое произведение многообразий (34)

 

Лекция 3. Разбиение единицы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

Формулировка теоремы о разбиении единицы (35). Функ-

 

ция шапочки и вспомогательные утверждения (36). До-

 

казательство теоремы 1 (39). Теорема Сарда (41)

 

Лекция 4. Отображения многообразий, их дифференциалы и каса-

 

тельные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

Отображение многообразий (44). Три определения каса-

 

тельного вектора (45). Дифференциал отображения (49).

 

Касательное расслоение и векторные поля (50)

 

Лекция 5. Вложения многообразий и их триангулируемость . . . . .

52

Определения иммерсии и субмерсии многообразий (52).

Компактные многообразия (53). Вложение многообразий в евклидово пространство (55). Триангулируемость компактных многообразий (58)

Тема 2. Дифференциальные формы на многообразиях

 

59

Лекция 6. Понятие дифференциальной формы . . . . . . . . . .

. .

59

Наводящие соображения (59). Определение и канониче-

 

ский вид дифференциальной формы (62). Сложение

и

 

внешнее умножение дифференциальных форм (66)

 

 

Лекция 7. Дифференциал формы . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. .

68

Дифференциал формы (68). Свойства дифференциала

 

(69). Корректность определения дифференциала (70)

 

 

Тема 3. Интегрирование дифференциальных форм

73

Лекция 8. Ориентируемость многообразий . . . . . . . . . . . . . . .

73

определение ориентируемого многообразия (73). Ори-

 

ентируемость комплексных аналитических многообра-

 

зий (75). Ориентируемость на языке дифференциальных

 

форм (77)

 

Лекция 9. Интеграл дифференциальной формы по ориентируемому

 

многообразию . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

Определение интеграла дифференциальной формы (79).

 

Многообразие с краем (82)

 

Лекция 10. Теорема Стокса . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85

Формула Стокса (85). Важные следствия из формулы

 

Стокса (88)

 

Тема 4. Когомологии де Рама как многомерная теория неопре-

 

деленного интеграла

90

Лекция 11. Когомологии де Рама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

90

Когомологии де Рама многообразия X (90). Примеры (93)

 

Лекция 12. Теорема Пуанкаре. Гомотопическая инвариантность

групп когомологий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

Теорема Пуанкаре (96). Совпадение групп когомологий у гомотопически эквивалентных многообразий (98)

Лекция 13. Примеры гомотопически эквивалентных многообразий . 100

Гомотопическая эквивалентность звездной области и точки (100). Гомотопическая эквивалентность Rn и Sn−1

(101). Гомотопическая эквивалентность сферы и комплексной квадрики (102)

Лекция 14. Когомологии сферы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

Еще один способ вычисления когомологий окружности S1

(105). Когомологии сферы Sn (107). Когомологии комплексной квадрики (111)

Лекция 15. Когомологическая последовательность Майера-Вьеториса112

Когомологическая последовательность Майера-

Вьеториса (112). Принцип Майера-Вьеториса (114)

Часть II. Другие типы когомологий. Некоторые ме-

 

тоды вычисления кратных интегралов

118

Тема 5. Когомологии Чеха и теоремы де Рама

119

Лекция 16. Когомологии Чеха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

Когомологии Чеха со значениями в R (119). Коцепи со зна-

чениями в пространстве дифференциальных форм (120)

Лекция 17. Доказательство теоремы де Рама . .

. . . . . . . . . . . 124

Двойной комплекс Чеха–де Рама (124).

Доказательство

теоремы де Рама (125)

 

Лекция 18. "Абстрактные" когомологии симплициальных комплексов129

Абстрактные когомологии симплициальных комплексов

(129). Усиленная теорема де Рама (131)

Лекция 19. Интегралы по цепям, теорема двойственности де Рама . 135

Интегралы по дифференцируемым сингулярным цепям (135). Теорема двойственности де Рама (137). Общие сведения из теории линейных пространств (138). Доказательство первой части теоремы двойственности (141)

Тема 6. Когомологии Чеха со значениями в пучке и вычисление

некоторых интегралов

144

Лекция 20. Пучки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

Происхождение: задача Миттаг-Леффлера (144). Пучки (145). Отображение пучков (146)

Лекция 21. Когомологии пучков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

Коцепи (150). Хорошие покрытия. Теорема Лере (152).

Основная когомологическая последовательсность (152).

Тонкие пучки (155)

Лекция 22. Пучки голоморфных форм на комплексных многообразиях156

Теорема Дольбо (156). Примеры вычислений когомологий

(158)

Лекция 23. Применение теории когомологий к вычислению тополо-

гических зарядов в теории инстантонов полей Янга-Милса . . . 162

Вычисление объема CP2 в метрике Фубини-Штуди (162).

О преобразовании интегралов по компактным аналитическим многообразиям к вычетам (164)

Тема 7. Метод разделяющих циклов в теории локальных вычетов 168

Лекция 24. Локальные вычеты и их основные свойства .

. . . . . . 168

Многомерных вычетов много даже в одной

точке!

(168). Локальный вычет, ассоциированный с голоморф-

ным отображением (169). Выражение локального вычета через след (172). Формула замены переменных (173)

Лекция 25. Метод разделяющих циклов в задачах вычисления соб-

ственных интегралов от мероморфных форм . . . . . . . . . . . 175

Циклы, разделяющие n дивизоров в n-мерном многообра-

зии (175). Критерий разделяющих циклов (177). Разде-

ляющие циклы в полиэдрах (179). Теорема о вычетах в

полиэдре (182)

Лекция 26. Метод разделяющих циклов в задачах вычисления

несобственных интегралов (многомерная версия леммы Жор-

дана) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183

Интегралы по остовам неограниченных полиэдров (183).

Процедура замыкания остова интегрирования (184).

Многомерная версия леммы Жордана (185)

Лекция 27. Применение многомерной версии леммы Жордана к вы-

числению интегралов Меллина-Барнса . . . . .

. . . . . . . . . 189

Определение интеграла Меллина–Барнса

(189). Пред-

ставление интеграла Меллина–Барнса через сумму вычетов (190)

Лекция 28. Многомерные преобразования Меллина и их обращения 194

Определение преобразований Меллина (194). Классы MΘU ,

WUΘ и формулировки теорем обращения (195). Доказательство второй формулы обращения (197). Доказательство первой формулы обращения (201)

Лекция 29. Формула Меллина для решения общего алгебраического

уравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205

Общее алгебраическое уравнение и его линеаризация (205). Преобразование Меллина для решения y(x) (206).

Представление y(x) в виде интеграла Меллина-Барнса (208)

Лекция 30. Аналитическое продолжение общей алгебраической

функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Ряд Тейлора для общей алгебраической функции (209).

Ряды Пюизо для y(x) (212)

Литература

216

Часть I

Когомологии Де Рама и интегрирование дифференциальных форм на многообразиях

Тема 1. Вещественные и комплексные многообразия

Лекция 1 ´

Понятие многообразия

Определение многообразия, классы топологических, гладких, аналитических многообразий. Простейшие примеры многообразий. Топологические пространства, не являющиеся многообразиями. Комплексные многообразия.

1. Предисловие

Понятие многообразия является одним из основных понятий в геометрии, оно возникает во многих разделах математики, физики и механики. Это понятие применимо практически во всех ситуациях, когда рассматриваемые объекты могут быть параметризованы наборами действительных чисел. Точками многообразий при этом могут быть объекты любой природы — прямые, сферы, матрицы, состояния механической системы и пр.

Исследования многообразий начались во второй половине IX века. Эти объекты естественно возникли при изучении дифференциальной геометрии и теории групп Ли. Понятие многомерного многообразия было впервые сформулировано Б. Риманом в лекции "О гипотезах, лежащих в основании геометрии" (1854). В 1913 г. Г. Вейль ввел понятие абстрактной римановой поверхности, т.е. одномерного комплексного многообразия. Первые строгие определения были даны в 30-х годах XX века.

Любое многообразие X можно мыслить как множество точек, локально устроенное подобно евклидову пространству Rn, тогда как глобальная структура этого множества может отличаться от структуры евклидова пространства.

Кратное интегрирование. Когомологии

9

Какие же методы пригодны для определения и изучения объектов такого рода? Как правило, предъявить их глобальную параметризацию невозможно. Однако в окрестности каждой точки эти объекты параметризуются евклидовыми координатами, поэтому напрашивается идея покрыть X координатными окрестностями (или картами) и "собрать" само многообразие из этих карт, подобно тому, как поверхность земли может быть представлена набором карт географического атласа. Чтобы использовать отдельные карты для изучения структуры многообразия в целом, необходимо знать, как переходить от одной карты к другой, т.е. как "склеиваются" карты по их общей части. На языке координат точки это означает, что нужно уметь выражать координаты точки в одной карте через координаты в другой (если, конечно, точка принадлежит обеим картам).

Сфера локально

устроена как область в R2

Атлас географических карт

Функции, выражающие зависимость одних локальных координат точек от других, называются соотношениями соседства. Можно накладывать на соотношения соседства дополнительные ограничения, например, требовать, чтобы все они задавались дифференцируемыми или даже аналитическими функциями. Тем самым мы ограничимся изучением только хороших классов многообразий — гладких или аналитических.

10

И.А. Антипова, О.В. Знаменская, А.К. Цих

2. Топологические пространства. Свойство хаусдорфовости

Мы хотим придать строгий смысл понятию многообразия X, мысля его объектом, локально устроенным как Rn. Напомним, что выражение "X локально устроено как евклидово пространство" для нас означает, что окрестность любой точки X можно непрерывной деформацией преобразовать к Rn. Таким образом, чтобы прийти к строгому определению, необходимо формализовать понятие окрестности точки множества, а также понятие непрерывной деформации. Строгим языком для описания этих понятий является язык топологии, а именно, понятия топологического пространства, непрерывного отображения и гомеоморфизма.

Пусть X — произвольное непустое множество.

Определение 1.1. Топологическим пространством называется произвольное непустое множество X, в котором выделено некоторое семейство подмножеств τ (называемых открытыми), удовлетворяющее следующим требованиям:

1)X, τ;

2)объединение любой совокупности множеств из τ снова есть элемент τ;

3)пересечение конечного числа множеств из τ снова есть элемент τ.

Окрестностью точки топологического пространства будем называть любое открытое множество, содержащее эту точку.

В эталонном для нас пространстве Rn топология определяется с помощью метрики (расстояния)

1/2

x − y = (x1 − y1)2 + · · · + (xn − yn)2 .

Такая метрика называется евклидовой. В ней простейшие открытые множества — это открытые шары

Br(a) = {x Rn : x − a < r}.

Соседние файлы в папке 2012_Topology