Diffgeomm / diffgeom-sbornik-zadach

УДК 513.731

Задачи по дифференциальной геометрии и топологии.

Предназначается для студентов 3 курса факультета математики и информатики, обучающихся по специальностям 010100 – математика; 010300

– математика и компьютерные науки; 010500 – прикладная математика и информатика.

c СФУ, 2007

1.Топологические пространства

1.1. Задание топологии на множестве

1.Когда тривиальная и дискретная топологии совпадают? Различны?

2.(а) Постройте все возможные топологии на множестве из двух, трех, четырех, пяти точек.

(б) Сколько различных топологий можно ввести в множестве из n точек?

3.Пусть X — множество натуральных чисел N и пусть заданы системы его подмножеств:

τt = { } {N};

τd = { } {N} {все подмножества N};

τ1 = { } {N} {все подмножества чётных чисел};

τ2 = { } {N} {все подмножества N, дополнения которых конечны};

τ3 = { } {On : n ≥ 1}, где On = {n, n + 1, n + 2, . . . }. Проверить, что все они задают топологию на N.

4. Пусть X = R (множество действительных чисел). В каждом из случаев (a),(b),(c) покажите , что τ — топология на X.

(a)τ = { } {R} {(−∞, x) : x R};

(b)τ = { } {R} {всевозможные объединения ограниченных открытых интервалов};

(c)U τ в том и только том случае, если U — подмножество R и для

любого s U найдется такое t > s, что [s, t) U, где [s, t) = {x R : s ≤ x < t}.

(Топологию в (b) называют стандартной топологией прямой).

5. Покажите, что ни одна из следующих совокупностей подмножеств R

не является топологией:

τ1 = { } {R} {−∞, x] : x R};

τ2 = { } {R} {(a, b) : a, b R, a < b};

τ3 : U τ в том и только том случае, если U — подмножество R и для

всех s U найдется t ≥ s, что [s, t) U, где [s, t) = {x R : s ≤ x < t}.

6.Будет ли являться топологическим пространством пространство (R, τ), где τ = { } {R} {все подмножества множества целых чисел};

7.Ввести топологию, отличную от топологий τt, τd на множестве:

(a)Концентрических окружностей;

(b)Прямых, проходящих через начало координат.

8.Пусть X = Q (множество рациональных чисел), τ = { } {Q} {всевозможные объединения ограниченных открытых интервалов}. Такое пространство называется "рациональная прямая". Показать, что любой открытый интервал на рациональной прямой является открытым множеством.

9.Пусть X — упорядоченное множество. Показать, что множество интервалов [x, →) (соответственно (←, x]), задаёт некоторую топологию в X; будем называть её правой (соответственно левой) топологией. Для правой топологии всякое пересечение открытых множеств есть открытое множество.

1.2. База топологии. Сравнение топологий

10.Какая система множеств является базой стандартной топологии в

Rn ?

11.Показать, что множество всех одноточечных множеств является базисом дискретной топологии.

12.Пусть B1 и B2 — две базы в X, а τ1 и τ2 — определяемые ими топологии. Докажите, что τ1 τ2 в том и только том случае, если для любого U1 B1 и любой точки x U1 существует такое U2 B2, что

x U2 U1.

13. Сравнить топологии. Есть ли среди указанных топологий несрав-

нимые?

τt = { } {N};

τd = { } {N} {все подмножества N};

τ1 = { } {N} {все подмножества чётных чисел};

τ2 = { } {N} {все подмножества N, дополнения которых конечны };

6 О.В. Знаменская, В.В. Работин

τ3 = { } {On : n ≥ 1}, где On = {n, n + 1, n + 2, . . . }.

14. Сравнить топологии. Есть ли среди указанных топологий несрав-

нимые?

τ= { } {R} {(−∞, x) : x R};

τ= { } {R} {всевозможные объединения

ограниченных открытых интервалов };

U τ в том и только том случае, если U — подмножество R и для любого s U найдется такое t > s, что [t, s) U, где [s, t) = {x R : s ≤ x < t}.

15.Задаёт ли база топологии (X, τ) топологию во множестве X ?

1.3. Отделимость

16.Проверить хаусдорфовость всех топологий в множестве из двух

точек.

17.Показать, что упорядоченное множество, наделённое правой топологией, есть хаусдорфово пространство (см. №9).

18.Пусть X — хаусдорфово пространство, в котором всякое пересечение открытых множеств есть открытое множество. Показать, что x {x′}

есть отношение порядка между x и x′ в X и что если записывать его в виде x ≤ x′, то заданная топология в X, будет совпадать с правой топологией, определённой этим соотношением.

19. Вывести из №18., что если X — хаусдорфово пространство, то всякое непустое конечное множество в X имеет по крайней мере одну изолированную точку. Если X не имеет изолированных точек, то всякое непустое открытое множество в X бесконечно.

1.4. Открытые и замкнутые множества

20.Доказать следующие свойства замкнутых множеств в топологическом пространстве:

(1) , X замкнуты;

(2) объединение любых двух замкнутых множеств замкнуто;

(3) пересечение любой совокупности замкнутых множеств замкнуто;

21.Пусть X некоторое множество и D —совокупность множеств, удовлетворяющих условию (1-3) из №20. Покажите, что U = {X \ V : V D}

—топология на X.

22.

(a)Покажите, что если топологическое пространство состоит из конечного числа точек, каждая из которых замкнута, то оно имеет дискретную топологию.

(b)Доказать, что в (X, τd) любое подмножество одновременно открыто и замкнуто.

23. Покажите, что в топологическом пространстве (R, τ), где

U τ в том и только том случае, если U — подмножество R и для любого s U найдется такое t > s, что [t, s) U, где [s, t) = {x R : s ≤ x < t}

каждое из множеств [s,t) открыто и замкнуто.

24. Пусть X = R со стандартной топологией. Покажите, что

(a)объединение произвольного семейства замкнутых множеств в X не обязательно замкнуто;

(b)пересечение бесконечного числа открытых множеств не обязательно открыто.

25.Доказать, что [a, b] Q замкнутое множество в топологии рациональной прямой.

26.Показать, что множество всех целых чисел Z на Q замкнуто в топологии рациональной прямой.

27.Пусть X = N. Объявим базой топологии множество B = { } {N} {a = 2n}

(a)Привести пример замкнутого множества в (X, τβ); множества, которое является не открытым, не замкнутым.

(b)Открытыми или замкнутыми являются множества:

{3}; {n, n + 1, n + 2}; {2n + 1}; {a = 8k}

28. Привести примеры открытых, замкнутых, не открытых, не замкнутых множеств в топологических пространствах

τt = { } {N};

τd = { } {N} {все подмножества N};

τ1 = { } {N} {все подмножества чётных чисел};

τ2 = { } {N} {все подмножества N,дополнения которых конечны };

τ3 = { } {On : n ≥ 1}, где On = {n, n + 1, n + 2, . . . }.

τ= { } {R} {(−∞, x) : x R};

τ= { } {R} {всевозможные объединения

ограниченных открытых интервалов };

U τ в том и только том случае, если U — подмножество R и для любого s U найдется такое t > s, что [t, s) U, где [s, t) = {x R : s ≤ x < t}.

стопологией на множестве концентрических окружностей;

стопологией на множестве прямых, проходящих через начало коорди-

нат.

X — упорядоченное множество. Множество интервалов [x, −→) (соответственно (←−, x]), задаёт в X правую (соответственно левую) топологию.

все возможные топологии на множестве из двух, трех, четырех, пяти точек

29. Пусть (X, τ) = R2 со стандартной топологией. Являются ли следующие подмножества открытыми или замкнутыми:

(a) множество всех комплексных z : |z| < 1;

(b)множество всех комплексных z : |z| ≤ 1;

(c)некоторое конечное множество;

(d)множество Z;

(e){n1 ; n = 1, 2, 3 . . . };

(f)множество любых комплексных чисел;

(g)интервал (a,b).

1.5. Окрестность точки. Внутренние, внешние, граничные точки

30. Введите τt, τd, стандартную топологию τ на R2.

(a) Найдите границу круга {x2 + y2 < 1} в этих топологиях.

(b) Найдите границу точки в этих топологиях.

31. Доказать, что

(a)D M открыто ∂D ∩ D = .

(b)F M замкнуто ∂F F .

32.Может ли внутренность непустого множества быть пустой?

33.Какое множество является замыканием множества {x} в топологическом пространстве с правой топологией [x, −→) ?

34.Пусть X = N. Объявим базой топологии множество B = { } {N} {a = 2n} Найти границу, внутренность, внешность {2}, {3}, {n, n+1, n+2}.

35.В какой топологии на N множество {n, n+1, n+2} имело бы граничные точки n, n+1, n+2.

2.Непрерывные отображения

36.Доказать, что отображение топологических пространств непрерывно тогда и только тогда, когда прообраз всякого замкнутого множество замкнут.

37.Доказать, что любые два интервала на вещественной прямой гомеоморфны.

38.Будет ли круг гомеоморфен окружности?

39.Гомеоморфны ли буквы Е и Т, буквы Т и К, буквы С и М?

40.На сколько классов эквивалентности разбивается множество заглавных букв русского алфавита по отношению эквивалентности “гомеоморфно”? Рассмотреть две модели букв: 1) буква — множество на плоскости, составленное из конечного числа кривых; 2) буква — замкнутое множество на плоскости с непустой внутренностью.

41.Пусть {fn} — последовательность непрерывных отображений из топологического пространства X в метрическое пространство (Y, d). Доказать, что если fn равномерно сходится к отображению f (то есть,

supx X d(fn(x), f(x)) → 0, n → ∞), то f — непрерывно.

42.Доказать, что лист Мебиуса не гомеоморфен поверхности прямого кругового цилиндра.

43.Доказать, что если композиция произвольных трёх гомотетий плоскости с центрами в трёх фиксированных точках A, B, C имеют неподвижную точку, то точки A, B, C лежат на одной прямой.

44.Пусть A — некоторое множество на прямой, все точки которого являются изолированными. Доказать, что A представляется в виде пересечения открытого и замкнутого множеств.

45.Пусть T1 = (X1, τ1), T2 = (X2, τ2) — два топологических пространства, а g — отображение X1 в X2. Тогда g называется открытым, если из того, что A τ1 g(A) τ2, и замкнутым, если из того, что

A′ X \ τ1 g(A′) X \ τ2. Существует ли непрерывное отображение T1

вT2, не являющееся ни открытым, ни замкнутым?

46.На множестве натуральных чисел N введём топологию, объявив от-