Diffgeomm / diffgeom-sbornik-zadach

17. Указания и ответы

((R − r) cos t + d cos(R/r − 1)t, (R − r) sin t − d sin(R/r − 1)t).

97. a) y2 = ±2x + c. б) y = ce±x/a. в) Окружности радиуса a с центрами на оси OX.

поверхность вращения, то вначале параметризовать ее, а затем подобрав должным образом коэффициенты получить общие формулы.

111. r = (a ch t, b sh t), r = (a ch u cos v, b sh u, a ch u sin v).

112. r = (a ch u, b sh u cos v, a sh u sin v), r = (u, v, ua22 ± vb22 ).

113. −a sin t(x−a cos t)+a cos t(y −a sin t)+b(z −bt) = 0, b sin t(x−a cos t)− b cos t(y − a sin t) + a(z − bt) = 0, −a cos t(x − a cos t) − a sin t(y − a sin t) = 0.

114. r = (au cos v, bu sin v, cu), r = (a cos u, b sin u, v).

116. r = ρ(u) + ev. 117. r = ρ(u) + ρ′(u)v.

118. (u cos v, u sin v, av).

119. r = ρ(s) + ρ′′(s)t.

120. F (w(p)) = (− sin(x) cos(y),

− sin(x) sin(y), cos(x)) — касательный вектор к меридиану единичной сферы в точке F (p) = (cos x cos y, cos x sin y, sin x).

123. ds2 = (f′(u)2 + g′(u)2)du2 + f(u)2dv2.

124. Если окружность имеет параметризацию r = (b + a cos u, 0, a sin u), то ds2 = a2du2 + (b + a cos u)2dv2.

125. a) Пусть u — широта, v — долгота и R — радиус сферы, тогда

ds2 = R2(du2 + cos2 udv2); б) v = tg α ln tg(u/2 + π/4) + c; в) ∆l = cosRα∆u. 126. Эллипсоид: r = (a cos u, b sin u cos v, b sin u sin v), ds2 = (a2 sin2 u +

b2 cos2 u)du2 + b2 sin2 udv2.

127. Пусть a > 0, b > 0 и c > 0, тогда r(u, t) = (pac cos u+t, pcb sin u+2t, 3t),

pp

ds2 = abc (a cos2 u + b sin2 u)du2 + 2(2 c/b cos u − c/a sin u)du dt + 14dt2.

1 − a2

129. arccos 1 + a2 .

130. Указание. При вычислении углов полезно иметь в виду следующее простое утверждение: если метрики ds21 и ds22 конформно эквивалентны, то есть, ds21 = f(u, v)ds22, то углы между касательными векторами в этих метриках одинаковы. A = arctg a2 → 0 при a → ∞; B = arctg (a + 1) → π2

на окружности радиуса r равна π sh 2r.

135. Среди параллелей геодезическими будут параллели, проходящие над

критическими точками функции, график которой задает меридиан поверхности вращения (ее аргумент — на оси вращения).

136. l = 2πR sin Rr .

137. Окружности, радиусы которых равны радиусу сферы.

138. Указание: Показать, что время T спуска по наклонной горе, форма

142. k1 = 1/a в направлении вектора (1, 0), k2 = −1/a в направлении вектора (0, 1).

143. Параллели и меридианы.

145. k1 = 0, k2 = κ/(vk), где κ — кручение кривой, а k — кривизна.

146. Прямолинейные образующие и их ортогональные траектории, которые являются плоскими сечениями.

147. Уравнения асимптотических линий

Z Z

pp

f′′(x) dx = ± f′′(y) dy,

поверхность Шерка получается при f(x) = −a1 ln | cos(ax + b)| + c.

148. Если ось вращения — ось Oz и ρ(u) = (f(u), g(u), h(u)), то r(u, v) =

pp

( f2 + g2 cos v, f2 + g2 sin v, h(u) + kv).

149. Касательный вектор к прямолинейной образующей и касательный

155. Если r = ((a cos u)+b) cos v, (a cos u+b) sin v, a sin u) — параметрическое уравнение тора, то точки эллиптического типа заполняют область {−π/2 < u < π/2}, точки гиперболического типа — область {π/2 < u < 3π/2}, точки параболического типа находятся на окружностях {u = ±π/2}.

156. Пусть r = (f(u) cos v, f(u) sin v, u) — уравнение поверхности враще-

в единичном круге и поместить центр круга в начало координат.

163. {hij} — не тензорное поле.

164. c1111 = x2(y − x) = d1111, c1211 = x(y − x), d1211 = x · x2 ̸= c1211 и т.д.

−4(y1)7(y2)2 − 6(y1)6(y2)3 + 4(y1)3(y2)6 − 2(y1)5(y2)3+ +4(y1)2(y2)6 − 4(y1)4(y2)4 + (y1)9 − (y2)9 + (y1)8y2− −3y1(y2)8 + 2y1(y2)7 + 2(y1)7y2)/((y2)2 + (y1)2)6.

Похожим образом выглядят и остальные 7 компонент.

Замечание. Вычисления проводились в среде Maple с помощью процедуры

newcs := proc (l, m, n, a, f, x, y) local b, g, sol, ss;

g := [g[1], g[2]];

sol := solve({y[1] = f[1], y[2] = f[2]}, {x[1], x[2]}); ss := subs(x2 = g[2], x1 = g[1], sol);

assign(ss);

b[l, m, n] := sum(sum(sum(Diff(f[l],x[i])*Diff(g[j],y[m])* Diff(g[k],y[n])*a[i,j,k],k = 1 .. 2),j = 1 .. 2),i = 1 .. 2); b[l, m, n] := simplify(value(b[l, m, n]));

normal(subs(x1 = g[1], x2 = g[2], b[l, m, n])) end proc;

a12′′1′ = newcs(1, 2, 1, a, [x1/(x12 + x22),

x2/(x12 + x22)], [x1, x2], [y1, y2]);

170. Нет.

171. Да.

172. Например, 1T111 = 2(x1)2x2.

177. Использовать задачи 173, 174, 176, 178.

183. α + β + γ − π, где α, β, γ — углы треугольника (см. ответ к задаче

130).

193. Использовать задачу 192.

196. Воспользоваться тождеством Бьянки (см. задачу 194).

198. В круге K = −4, в полуплоскости K = −1.

Литература

[1]Сборник задач по дифференциальной геометрии / ред. А.С.Феденко.

— М.: Наука, 1979. — 272 с.

[2]Дифференциальная геометрия, топология, тензорный анализ. Сборник задач. — Киев: Вища школа, 1982. — 376 с.

[3]Мищенко А.С., Фоменко А.Т. Краткий курс дифференциальной геометрии и топологии. — М.: Физматлит, 2004. — 304 с.

[4]Тихомиров, В.М. Рассказы о максимумах и минимумах. — М.:, Наука, 1986. — 192 с.

[5]КОЛМОГОРОВ А.Н., ФОМИН С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. Гл. ред. ф.-м. л-ры. 1981., 544 с.

[6]РУДИН У. Основы математического анализа. Пер. с англ. В.П.Хавина — М.: Мир, 1966.

[7]БУРБАКИ Н. Общая топология. Основные структуры. М.: Наука. Гл. ред. ф.-м. л-ры. 1968., 272 с.

[8]КОСНЁВСКИ Ч. Начальный курс алгебраической топологии Пер. с англ. — М.: Мир, 1983. 304 с.

[9]БОРИСОВИЧ Ю.Г., БЛИЗНЯКОВ Н.М., ИЗРАИЛЕВИЧ Д.А., ФОМЕНКО

Т.Н. Введение в топологию. М.: Наука. Физматлит, 1995, 416 с.

[10]МИЛНОР ДЖ., УОЛЛЕС А. Дифференциальная топология (начальный курс). М.: Мир, 1972.

[11]САДОВНИЧИЙ В.А., ПОДКОЛЗИН А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. Пер. с англ. В.П.Хавина — М.: Наука, 1978.

[12]КУДРЯВЦЕВ Л.Д., КУТАСОВ А.Д., ЧЕХЛОВ В.И., ШАБУНИН М.И. Сбор-

ник задач по математическому анализу. Функции нескольких переменных: Учебное пособие для вузов. Под ред. Л.Д.Кудрявцева — Санкт-Петербург.: издательство "Кристалл 1994, 496 с.