Вопросы к защите темы «Функции нескольких переменных»
Понятие функции нескольких переменных, ее область определения. Привести примеры функции 2-х, 3-х, п переменных. Что представляет собой область определения функции двух переменных?
Каково геометрическое изображение функции 2-х переменных?
Дайте определение линии, поверхности уровня, приведите примеры.
Предел ФНП, непрерывность ФНП.
Определение частного приращения ФНП, частных производных 1-го, 2-го, 3-го и т.д. порядков. Запишите определение частных производных первого порядка для функции .
Физический смысл частных производных 1-го порядка.
Понятие дифференцируемости ФНП, полного дифференциала, связь между этими понятиями. Частные дифференциалы, формула полного дифференциала 1-го ,2-го порядков. Запишите формулу нахождения функции.
Производная по направлению, градиент, их свойства и связь (с доказательством), физический смысл. Заполните пропуски в следующей фразе «Производная функции U = f(x,y,z) по направлению вектора s характеризует . . . . . . функции в . . . . . . . Это производная вычисляется по формуле , где» .
Установите соответствие между символами 1- 4 и тем, что характеризуют (а – г) математические объекты, обозначенные этими символами: 1. dz , 2. grad z, 3. , 4.; а) скорость изменения функции z = f(x, y) в направлении оси ОУ; б) приращение функции при малых приращениях аргументов; в) скорость изменения функции в направлении вектора; г) направление наискорейшего возрастания функции.
Линеаризация функции одной и нескольких переменных, ее геометрическая интерпретация, формула линеаризации. Касательная плоскость.
Неявная функция 1-й, 2-х, 3-х и т.д. переменных. Дифференцирование неявных функций (запишите формулы нахождения частных производных). Привести примеры для функций 1-й, 2-х, 3-х переменных.
Определение точек максимума и минимума ФНП, экстремумов ФНП.
Необходимое условие существования экстремума (с доказательством), критические точки, их связь с точками экстремума.
Достаточное условие существования экстремума ФНП, частный случай функции 2-х переменных.
Сформулируйте алгоритм нахождения экстремума функции z = f(x,y).
Условный экстремум, его геометрический смысл, способы его нахождения.
Наибольшее и наименьшее значения ФНП в замкнутой ограниченной области, условия их существования для ФНП, графический и аналитический методы их нахождения.
Метод наименьших квадратов, его суть Какая задача решается методом наименьших квадратов? Опишите принцип решения этой задачи.
Если по характеру расположения точек (хк , ук) на координатной плоскости выбран вид аналитической зависимости у = ах +b(илиу = ах2 + bх + с, или у = ах + b). Изложите метод нахождения параметров а, b (с) этой зависимости.
Задачи
Для функции z = x2 + y2 –6x +4y + 25 запишите уравнение линии уровня, проходящей через точку Р(1, –4). Постройте ее.
Постройте линию уровня функции z = x – 4y + y2 , в каждой точке которой функция принимает значение 5.
Температура стержня ОХ является функцией абсциссы х этой точки и времени t: = f(x, t). Каков физический смысл частных производных и?
Записать площадь S прямоугольника как функцию его основания b и высоты h. Найти и, указать их смысл.
Температура Т точки остывающего стержня является функцией двух переменных: расстояния x точки от начала стержня и момента времени t: . Вычислите и укажите физический смыслв точке Р(1,2) .
Найдите смешанные производные второго порядка функции .
Функции и(х, у, z) = и 3х4 – 4у3z + 4z2xy – 4z3x + 1 =0 в окрестности точки (1, 1, 1) заменить приближенно равными им линейными функциями.
Укажите, в каком направлении следует двигаться от точки , чтобы функциявозрастала быстрее всего. Постройте этот вектор.
В каком направлении должна двигаться точка М(х, у, z) при переходе через точку М0(2, 0, 1), чтобы функция убывала с наибольшей скоростью?
Найти производную функции и = х2 –3хуz + 5 в точке М(1, 2, –1) в направлении, составляющем равные углы со всеми осями координат.
Скорость распределения материи в пространстве переменных r, s, t задается формулой . В каком направлении плотность в точке М(–1, 3, 2) меняется быстрее всего? Чему равна наибольшая скорость изменения плотности?
Как изменилась диагональ прямоугольника, если одна его сторона а = 20см уменьшилась на 2% своей длины , а вторая сторона b = 30см увеличилась на 3% . (не пользуясь МК)
Заполните пропуски в таблице, если ,r = :
Условия на
Наличие и вид
Экстремума
r
…
…
точка экстремума
…
любой знак
нет экстремума
> 0
…
точка минимума
Найдите экстремум функциипри условии.
Найти экстремум функции при условии.
Сформулируйте необходимые условия существования экстремума функции. Являются ли эти условия достаточными? Если нет, сформулируйте и проверьте выполнение достаточных условий существования экстремума функциив точке
Графически найдите наибольшее значение функции в области, заданной системой неравенств.
Графически найдите наибольшее и наименьшее значения функции F = x2 – y в области G , изображенной на рис.1.
Исследовать на экстремум функцию z = xy при условии х2 + у2 = 2а2.
Найти экстремум функцию .
Пусть в качестве эмпирической зависимости выбрана формула . Изложите метод нахождения ее неизвестных параметров.