Часть 2

1. Найти экстремум функции

1. z = 4х³– 3х²+у²+ 8у.

2. z = 8х–х²+ 4у³– 3у².

3. z =х³+у³– 3ху.

4. z = 3х²–х³+ 3у²+ 4у.

5. z =х²+х³– 3у²+ 2у.

6. z = 8х³– 6ху –у³+ 2

7. z =х³– 6ху + 8у³+ 1

2. По химической технологии, изготовление некоторого продукта осуществляется в двух параллельно работающих агрегатах (см. рис.). Первый агрегат изх₁ производит Р₁единиц продукции, второй изх₂единиц сырья производит Р₂единиц продукции. Требуется выбрать нагрузкух_iкаждого агрегата так, чтобы общая производительность Р была максимальной, но при этом общая нагрузкаS(суммарный расход сырья) была равна 1. В таблице указана зависимость производительности Р_iот нагрузких_i.

№ варианта	Р1	Р2
2.1.	3х1– 2х12	2х2–х22
2.2.	4х1– 2х12	3х2–х22
2.3	2х1– 2х12	3х2– 2х22
2.4	2х1–х12	3х2–х22
2.5	3х1–х12	4х2–х22
2.6	4х1–х12	3х2– 2х22
2.7	3х1– 3х12	х2– 2х22

3. Решить графически задачу линейного программирования

1. В швейном цехе имеет 84 метра ткани. На пошив одного халата требуется 4 метра ткани, а на одну куртку – 3 метра. Сколько следует изготовить халатов и курток для получения наибольшей прибыли от реализации продукции, если халат дает прибыль 16 рублей, а куртка – 13 рублей. Известно, что халатов можно изготовить не более 15, а курток – не более 18 штук.

2. Для производства изделий А и В предприятие использует четыре вида деталей: М₁, М₂, М₃, М₄. Расход деталей каждого типа (в штуках), запасы деталей и доход от производства единицы изделий каждого типа даны в таблице. Составить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольший доход.

   Тип детали	Расход деталей на единицу изделий		Запасы деталей
   	А	В
   М1 М2 М3 М4	– 3 6 3	2 5 4 –	90 300 420 180
   Доход на единицу продукции	20 руб.	15 руб.

3. Известно, что откорм животных экономически выгоден при условии, что каждое животное получает в дневном рационе не менее 6 единиц питательного вещества А, не менее 12 единиц вещества В, не менее 4 единиц вещества С. Для откорма животных используется два вида кормов. В таблице показано, сколько единиц каждого питательного вещества содержится в 1 кг каждого вида корма, а так же цена1 кг корма. Какое количество каждого вида корма необходимо расходовать, чтобы общие затраты были минимальные?

   Питательные вещества	Корм
   	I	II
   А В С	2 2 0	1 4 4
   Цена корма	5 руб.	6 руб.

4. Имеется два продукта питания А и В, каждый из которых содержит белки, жиры и углеводы. В таблице указаны количественный состав этих продуктов в некоторых единицах, их цена максимальная норма потребления этих продуктов, а также минимальная потребность в питательных веществах. Требуется рассчитать количество обоих продуктов так, чтобы удовлетворить потребности организма в указанных веществах при минимальных денежных затратах.

   Состав	Минимальная потребность	Продукт
   		А	В
   Белки Жиры Углеводы	39 25 60	2 2 0	1 4 4
   Цена продукта		4 руб.	6 руб.
   Максимальная норма потребления продукта (не более указанного)		25 ед.	30 ед.

5. На деревообрабатывающем предприятии изготавливают тумбочки и книжные шкафы. Для этого требуется три вида сырья: древесина, фанера и стекло. Запасы сырья, количество единиц сырья, затрачиваемых на изготовление единицы продукции, а также величина прибыли от реализации продукции, приведены в таблице. Составить такой план выпуска продукции, чтобы при ее реализации получить максимум прибыли.

Виды сырья	Нормы расхода сырья на изготовление единицы продукции:		Запасы сырья
	тумбочка	Книжный шкаф
Древесина, м3 Фанера, м2 Стекло, м2	0,3 0,2 –	0,4 0,1 0,1	40 20 5
Прибыль	5 руб.	10 руб.

6. Цех выпускает трансформаторы двух видов. На один трансформатор первого вида расходуется 5 кг железа и 4 кг проволоки, а на трансформатор второго вида – 3 кг железа и 1,6 кг проволоки. Для изготовления этих трансформаторов имеется 350 кг железа и 240 кг проволоки. По плану в цехе должно быть изготовлено не менее 20 штук трансформаторов первого вида и не менее 30 штук трансформаторов второго вида. Сколько штук трансформаторов каждого вида должен производить цех, чтобы получить наибольшую прибыль, если от реализации трансформаторов первого вида цех получает чистого дохода 5 рублей, а от трансформаторов второго вида – 2 рубля?

7. В пунктах А и В расположены кирпичные заводы, в пунктах Д и С – карьеры, снабжающие их песком. Потребность заводов в песке не больше производительности карьеров. Известно, сколько песка нужно каждому из заводов и сколько его добывают в каждом карьере. Известна также стоимость перевозки 1 тонны песка из каждого карьера к заводам (все эти данные указаны на рисунке). Как спланировать снабжение заводов песком, чтобы затраты были наименьшими?

4. Найти наибольшее и наименьшее значение функции zв областиD.

1. z=х²+ 2у²– 4у,D= {х0,у х²,х+у2}.

2. z = х²+ 2у²– 1,D = {х1,у –1,х+у1}.

3. z = х²+у²– 9ху+27,D = {0х3,0у3}.

4. z = 10 + 2ху – х²,D = {0 у4 –х²}.

5. z = х²+ху+ 2 , D = {4х² – 4 у0}.

6. z=х+ху–у,D= {х²–у6, 2х+у– 90}.

7. z=3 – 2х²–у²–ху,D= {х1,у 0, ух}.

5. Решить методом наименьших квадратов.

1. Рост валового общественного продукта некоторого государства по транспорту и связи ( в ценах этого государства) представлен в таблице. Найти эмпирическую функцию роста общественного продукта по годам.

Годы	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Общ.продукт	18	19	21	22	23	25	26

5.2 Темпы роста общего объема продукции некоторой отрасли промышленности за период с 1991 по 1996 годы (в % к 1990 г.) представлены в таблице. Найти эмпирическую функцию роста объема продукции по годам.

Годы	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Объем продукции	104	113	119	122	130	137

3. Подобрать эмпирическую функцию роста численности населения в некотором городе, пользуясь данными таблицы

   Годы	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
   Число жителей (тыс. чел.)	50	68	92	110	135	152	175

4. Показатели пассажирооборота морского транспорта представлены таблицей. Найти эмпирическую зависимость пассажирооборота по годам.

   Годы	1990	1991	1992	1993	1994	1995
   Пассажирооборот	31,8	45,1	53,5	62,1	71,5	78,2

5. Рост парка ЭВМ ( в млрд.дол) в некотором государстве представлен таблицей. Найти эмпирическую функцию роста парка ЭВМ по годам.

   Годы	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
   Парк ЭВМ	10,1	15,1	19,7	25,3	31,5	37,6	42,7

6. Изучается растворимость Sазотно-натриевой соли в зависимости от температурыt. Результаты измерений представлены таблицей. Найти эмпирическую зависимость растворимости от температуры.

   to	0	4	10	15	21	29	36
   S	66,7	71	76,3	80,6	85,7	92,9	99,4

7. Производство химического волокна за период с 1990 по 1996 годы представлен таблицей. Найти эмпирическую зависимость производства волокна по годам.

Годы	1990	1991	1992	1993	1994	1995	1996
Производство волокна (тыс.тонн)	3,8	3,7	4,2	5,4	6,5	7,9	9,1