УМКД Сопротивление материалов, 150405.65 / 04-РГР _расчет балки_

2

СОПРОТИВЛЕНИЕ МАТЕРИАЛОВ: Методические указания по расчету балки на упругом основании для студентов специальности 150405.65 Машины и оборудование лесного комплекса направления 150400.62 Технологические машины и оборудование всех форм обучения. – Красноярск: СибГТУ, 2011. - 28 с.

Составитель: В.И. Матюшин

Рецензент: ст. преподаватель Лф СибГТУ Шишкова М.Г.

Рекомендован научно-методическим советом Лф СибГТУ в качестве элек-

тронного ресурса протокол № 5 от «28» октября 2011 г.

Сибирский государственный технологический университет, 2011

3

ВВЕДЕНИЕ

Проблема расчета балок, лежащих на упругом основании, возникла впервые при проектировании верхнего строения железнодорожного пути.

Дальнейшая разработка этой проблемы проводилась в связи с расчетом железобетонных фундаментов, мостов и зданий, днищ доков и гидротехнических сооружений.

В общем машиностроении теория балок на упругом основании в настоящее время используется для расчета на изгиб валов, лежащих в длинных подшипниках, и ряда других элементов конструкций.

Кроме того, расчет плотов также производится по методике балки, лежащей на упругом основании.

При изучении курса сопротивления материалов студентам специальности 150405.65 направления 151000.62. 150400.62 в учебном плане предусмотрено освоение студентами этих вопросов. С этой целью студенты выполняют расчетно-графическую работу по данной теме и, как показало время, методические указания по этой теме являются необходимыми.

При выполнении данной расчетно-графической работы требуется проделать значительный объем вычислительной работы. Для облегчения этой работы были составлены таблицы значений фундаментальных функций академика Крылова А.Н., которые ввиду их специального назначения, в настоящее время встречаются редко. В настоящих методических указаниях эти таблицы полностью приводятся.

Рассматриваемые балки лежат на сплошном основании, способном деформироваться и обладающим свойством упругости.

При расчетах балок на упругом основании используется гипотеза о том, что реакция основания на балку в произвольном поперечном сечении пропорциональна ее упругой осадке, т.е. прогибу. Также предполагается, что связи, имеющие место между основанием и балкой, двухсторонние.

Реакция на единицу площади подошвы балки принимается равной К0у, где

К0 – коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом упругой податливости основания;

у - прогиб в рассматриваемом сечении балки.

5

менения аргумента z. Функции (4) при дифференцировании обладают свойством повторяемости, которое можно изобразить в форме таблицы 1.

Таблица 1

Значения функций (4) и их производных при = 0 можно представить в форме таблицы 2.

Таблица 2

Используя таблицу 1, найдем

у = с1Y1 + с2Y2 + с3Y3 + с4Y4 ;

z= yI = (-4 с1Y4 + с2Y2 + с3Y2 + с4Y3);

Мz = - EIyII = -EI 2(-4 с1Y3 - 4с2Y4 + с3Y1 + с4Y2);

Из выражений (5), используя таблицу 2, найдем начальные параметры, полагая = 0 ( z =0 )

Тогда произвольные постоянные, входящие (5), будут выражены через начальные параметры следующим образом:

6

Если рассчитывается балка, загруженная конкретно заданной нагрузкой, то общее решение с учетом выражений (7) будет иметь такой вид:

M(z) = 4EI 2yoY3 + 4EI oY4 + MoY1 + Qо Y2 + M(z),

В выражениях (8) y(z), (z), M(z), Q(z) – добавки, которые вводятся в (8), при действии нагрузки в пролете балки. Эти добавки следует вводить в (8) согласно приводимой ниже таблице.

Таблица 3

В формулах таблицы 3: а – расстояние от начала координат до точки (начала) приложения соответствующей нагрузки.

Уравнения (8) являются универсальными, так как они составлены для последнего участка балки и, пользуясь ими, можно определить y, , Q, M в любом сечении. При этом надо иметь в виду следующее:

7

а) z - отсчитывается слева направо от начала балки. Ось «у» направлять вниз;

б) при определении y(z), (z), Q(z), M(z) в каком-либо сечении балки в универсальном уравнении (8) нужно вводить «добавки» только от тех силовых факторов, которые расположены левее рассматриваемого сечения.

2 Пример расчета балки на упругом основании

Деревянная балка длиной 9 м, лежащая на упругом основании и имеющая по концам защемление и шарнирно неподвижную опору, загружена, как показано на рисунке 1. Сечение балки прямоугольное 20х30 см.

Модуль упругости дерева Е = 1 • 105 кг/см2. Основание - плотно слежавшийся песок, [ ] = 120 кг/см2 . Требуется:

а) построить эпюры Q(z), M(z), (z), y(z);

б) определить max. Решение

1 Основные положения и уравнения расчета балки на упругом основании Данные по определению значений коэффициента упругой податливо-

сти различных оснований приводятся в таблице 1, взятой из [2] .

Таблица 4 - Ориентировочные значения коэффициентов упругой податливости оснований

10

Для определения двух неизвестных параметров используются условия крепления правого конца балки (рисунок 6).

На рисунке 6 показана заданная балка.

Левый конец балки заделан (уо = 0; о = 0), правый конец связан с шарнирно-неподвижной опорой. Поэтому для определения двух других начальных параметров Qо и Мо используем условия для правого конца ба-

лки (при z = l; M = 0; у = 0).

Подставив эти условия в соответствующие уравнения из (8), будем иметь

(9)

Для решения уравнений (9) составим таблицу функций Крылова А.Н.

Таблица 5 - Значения фундаментальных функций академика А.Н. Крылова

= 0,008633; 2 = 0,7453 10-4; 3 = 0,6434 10-6; 4 = 0,5554 10-8.

Подставим приведенные выше значения в уравнения (2) и решим систему уравнений.