УМКД Сопротивление материалов, 150405.65 / 03-РГР _расчет балки на ступенчатом основании_

3

ВВЕДЕНИЕ

При проектировании реальных конструкций необходимо стремиться к тому, чтобы в отдельных элементах ее напряжения были близкими к допускаемым во всех точках. Чтобы обеспечить это необходимо элементы делать переменного сечения по длине. Из технологических соображений такие элементы проектируют часто ступенчато меняющими свои размеры (валы, рессоры). При действии переменных нагрузок на валы, рессоры возникают переменные деформации, которые могут вызвать большие колебания указанных конструкций, приводящие к резонансу.

Чтобы избежать этого, необходимо уметь правильно назначать частоту свободных колебаний данной упругой системы. При определении частоты свободных колебаний валов и балок переменного сечения чаще всего используют энергетические и графические методы определения деформаций. Энергетические методы (способы Кастильяно, Мора, Верещагина) приводят к большому объему вычислительной работы. Графический способ требует высокой точности графического исполнения с целью получения хороших результатов.

Чтобы избежать этих сложностей в [1], рекомендуется аналитический способ составления уравнения изогнутой оси ступенчатой балки, в основу которого положена идея сохранения упругой линии балки переменного сечения при замене ее эквивалентной балкой постоянного сечения с моментом инерции I0 = K I1 и изменением действующей на нее нагрузки и

реакций в опорных связях в ki = I0 раз.

Ii

Предлагаемые методические указания могут помочь студентам освоить методику проектирования элементов конструкции переменного по длине сечения при выполнении расчетно-графического задания, предусмотренного учебным планом , при дипломном проектировании.

Необходимость написания данных методических указаний вызвана тем, что в имеющихся учебниках и учебных пособиях по сопротивлению материалов в таком изложении практически вопрос не освещен (кроме цитируемого ниже источника).

Для лучшего освоения этого материала в работе приводится пример расчета ступенчатой балки, загруженной наиболее распространенными видами нагрузок, и даны соответствующие правила контроля правильности расчета.

4

1 Расчет ступенчатой балки

При расчете балки или вала обычно размеры их поперечных сечений подбирают из условия прочности по допускаемым напряжениям. В этом случае расчетные напряжения будут равны допускаемым напряжениям только в том сечении, где действует наибольший изгибающий момент.

В других же сечениях балки или вала расчетные напряжения будут значительно отличаться от наибольших напряжений, что приводит к излишнему расходу материала. Поэтому на практике вместо балки (или вала) постоянного сечения используют балки (валы) переменного ступенчатого сечения. Иногда ступенчатый переход от сечения к сечению вызван конструктивными особенностями данного элемента конструкции (валы, листовые рессоры).

Рассмотрим образование и расчет ступенчатой балки на примерах. Пример 1. Балка (рисунок 1) загружена согласно схеме. Необходимо

подобрать размеры этой балки, выделив три ее ступени, из условия прочности по допускаемым напряжениям.

Порядок расчета.

1.1 Определение опорных реакций.

Взяв сумму моментов всех сил относительно опор (т. А и В), найдем реакции

mB = 0

RA 10a – 2P 9a – 3P 6a – P 4a = 0.

mA = 0

– 2Pa – 3P 4a – P 6a + RB 10a = 0.

Решив эти уравнения, найдем

RA = 4P; RB = 2P.

Найденные значения реакций проверяются из условия

y= 0

RA – 2P – 3P – P + RB = 0. Подставив значения реакций RA и RВ, получим 0 = 0.

7

Отсюда найдем b

b = 3 750 7,95 см. 1,5

Принимаем b = 8 см. Тогда h = 24 см. Найдем осевой момент инерции Ix = I2.

Для левой ступени найдем размеры из условия прочности балки в сечении А-А, где изгибающий момент равен 6Ра = 6 2 0,6 = 7,2 тм.

Момент сопротивления Wx будет

Wх = 7,2 105 450 cм3. 1600

Ширину сечения на этом участке примем b = 8 см. Найдем h.

Для правой ступени найдем размеры из условия прочности балки в сечении В-В, где изгибающий момент равен 9Ра= 9 2 0,6=10,8 тм.

Момент сопротивления Wx будет

Wх = 10,8 105 675 cм3. 1600

8

Ширину сечения на этом участке примем также равной 8 см. Найдем h из условия

На рисунке 1 (схема г)) изображена схема ступенчатой балки, загруженной силами в соответствии с рисунком 1 (схема а)).

На рисунке 1 (схема д)) показана ступенчатая балка, разрезанная по сечениям А-А и В-В. По разрезам приложены внутренние силовые факторы Q и М, взятые из соответствующих эпюр (схемы б) и в)).

1.4 Выбор эквивалентной балки постоянного сечения.

За эквивалентную балку можно принимать балку с любым моментом инерции. Однако, удобно за эквивалентную балку принимать балку с моментом инерции I0, значение которого находится в промежутке между полученными значениями для выделенных ступеней балки.

В данном случае за I0 примем значение I3. Найдем коэффициенты приведения.

На рисунке 1 (схема е)) приведена эквивалентная балка, разрезанная по сечениям А-А и В-В. При этом все нагрузки и силовые факторы соответственно увеличены в «К» раз и имеют теперь следующие значения.

R0A= RAK1 = 4 2 1,826 = 14,608 т;

P1 = 2PK1= 2 2 1,826 = 7,304 т;

9

M’1= M1K1 = 6 2 0,6 1,826 = 13,1472 тм;

Q’1= Q1K1 = 2 2 1,826 = 7,304 т;

M’’1= M1K2 = 6 2 0,6 0,7702 = 5,54544 тм;

Q’’1= Q1K2 = 2 2 0,7702 = 3,0808 т;

P2 = 3PK2= 3 2 0,7702 = 4,6212 т;

M’2= M2K2 = 9 2 0,6 0,7702 = 8,31816 тм;

Q’2= Q2K2 = 2 0,7702 = 1,5404 т;

M’’2= M2K3 = 9 2 0,6 1 = 10,8 тм;

Q’’2= Q2K3 = 2 1 = 2 т;

P3 = PK3= 2 1 = 2 т;

R0B= RBK3 = 2 2 1 = 4 т.

На рисунке 1 (схема ж)) изображена эквивалентная балка без разрезов, загруженная внутри участков силами согласно схеме е), а по разрезам равнодействующими от силовых факторов Q и М, действующих в данных разрезах. Значения этих равнодействующих определены как разности от значений слева и справа, а направления даны по большему из значений.

Окончательно эквивалентная балка будет загружена такими силами (схема ж)).

R0A= 14,608 т;

P1 = 7,304 т;

M1= M’1- M’’1 = 13,1472 –5,54544 = 7,60176тм;

Q1= Q’1- Q’’1 = 7,304 – 3,0808 = 4,2232 тм;

P2 = 4,6212 т;

M2= M’’2 - M’2 = 10,8 – 8,31816 = 2,48184 тм;

10

Q2= Q’’2 - Q’2 = 2 – 1,5404 = 0,4596 тм;

P3 = 2 т;

R0B = 4 т.

После выполнения указанных выше действий упругая линия каждой части балки с моментом инерции I0 будет тождественна с упругой линией соответствующего участка образованной ступенчатой балки.

Для контроля правильности проведенных выше расчетов по определению сил, действующих на эквивалентную балку (схема ж)) необходимо сделать проверку выполнения условий равновесия

mA = 0; mB = 0; Y = 0.

Если эти условия выполнены, то можно проводить дальнейшие рас-

четы.

2 Определение прогибов и углов поворота сечений ступенчатой балки С этой целью на рисунке 1, ж) изобразим систему координат, по от-

ношению к которой будем определять деформации балки.

Составим дифференциальное уравнение изогнутой оси балки для последнего участка

Проинтегрировав (1) один раз, найдем уравнение углов поворота сечений балки.