4. Аналитическая геометрия

38. Как вы понимаете слова «составить уравнение геометрического объекта »?

39. Дайте определение углового коэффициента прямой на плоскости. Какие вы знаете виды уравнения прямой с угловым коэффициентом? Существуют ли аналогичные уравнения прямой в пространстве? Почему?

40. При каких значениях р прямая (р + 2)х + (р² - 9)у + 1 = 0 будет: параллельна оси ОХ; параллельна оси ОУ; проходить через начало координат?

41. При каких значениях р прямые х - 2у + р = 0 и х - ру - 2 =0 пересекаются?

42. При каких значениях р прямые а) 2х + ру + 4 = 0 и 4х -5у + 5 = 0 параллельны; б) 4х - ру + 2 =0 и х + ру - 2 = 0 перпендикулярны; в) рх - у - р =0 и 4х - ру -4 = 0 совпадают?

43. Является ли уравнение х+у= 0 уравнением прямой на плоскости? Почему? Какой геометрический образ имеет это уравнение? Сделайте чертеж.

44. Какой геометрический образ на плоскости имеет уравнение2х-1= 0? Сделайте чертеж.

45. При каких значениях а прямая проходит через начало координат?

46. Всегда ли угол между прямыми на плоскости равен углу между двумя векторами , перпендикулярными к этим прямым? Ответ обоснуйте.

47. Какой геометрический образ имеет уравнение 2х -у +4+ z-1=0? Сделайте чертеж.

48. Какие возможны случаи расположения трех прямых на плоскости? Сформулируйте соответствующие условия.

49. Какие возможны случаи расположения трех плоскостей в пространстве? Сформулируйте соответствующие условия.

50. Приведите геометрическое истолкование системы m линейных уравнений с двумя переменными, если а) система совместна и определенна; б) система совместна и неопределенна; в) система не совместна.

51. Приведите геометрическое истолкование системы m линейных уравнений с тремя переменными, если а) система совместна и определенна; б) система совместна и неопределенна; в) система не совместна.

52. Сформулируйте условие изображенного на рисунке расположения трех прямых на плоскости

53. Запишите условия, при которых прямая принадлежит плоскости Аx + Dy + Cz + D = 0.

54. Каким геометрическим свойством обладают точки плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению а) 2х² + у² + 4у = 0, б) х² - у² -4х + 8 = 0. Проиллюстрируйте на чертеже.

55. Каким геометрическим свойством обладают точки плоскости, координаты которых удовлетворяют уравнению а) у² = 4(х - 1), б) х² = -2у - 8 . Проиллюстрируйте на чертеже.

56. При каких значениях п прямая х = п пересекает кривые а) ;б)?

57. Каким общим геометрическим свойством обладают кривые второго порядка? Проиллюстрируйте на чертеже.

58. Сформулируйте оптическое свойство параболы, эллипса. Докажите.

5. Комплексные числа. Многочлены.

53. Может ли сумма квадратов двух комплексных чисел быть отрицательной?

54. Может ли квадратное уравнение с действительными коэффициентами иметь корни 1+i и 1-2i?

55. Дайте геометрическое описание множества точек, удовлетворяющих условию а) z> 1– Re z; б) z = z; в) z – i=z + 2.

56. При каких условиях модуль суммы двух комплексных чисел равен разности модулей слагаемых?

57. При каких условиях модуль суммы двух комплексных чисел равен сумме модулей слагаемых?

58. Представить в тригонометрической форме комплексное число: а), б)

59. Определить коэффициент а так, чтобы многочлен х⁵ – ах² – ах + 1 имел число (-1) корнем не ниже второй степени.

60. Многочлен разложить на множители первой и второй степени с действительными коэффициентами, если известен один его кореньz = -1 +i.