- •Математика
- •Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Тема 1. Функции одной переменной, свойства и графики
- •1. Определение функций одной переменной
- •3. Элементарные функции
- •4. Основные свойства функций Возрастающие и убывающие функции
- •Взаимно обратные функции
- •Четные и нечетные функции
- •5. Преобразования графиков функций
- •Контрольные вопросы
- •Тема 2. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Введение
- •1. Предел функции в точке и на бесконечности
- •2. Основные свойства пределов
- •3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •4. Раскрытие неопределенностей ,
- •5. Первый и второй замечательные пределы
- •6. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •7. Непрерывность функции, точки разрыва
- •8. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3. Производные и дифференциалы. Экстремумы функции одной переменной
- •1. Определение производной
- •2. Геометрический и экономический смысл производной
- •2.1. Геометрический смысл производной и уравнение касательной
- •2.2. Экономический смысл производной
- •3. Основные правила дифференцирования
- •4. Таблица основных формул дифференцирования
- •5. Производные высших порядков
- •6. Вычисление пределов с помощью производных
- •А) ; б).
- •7. Дифференциал функции
- •Геометрический смысл дифференциала функции
- •8. Свойства дифференциала функции
- •9.2. Приближенное вычисление приращения функции
- •10. Дифференциалы высших порядков
- •11. Монотонность функции
- •12. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции
- •3. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке
- •Контрольные вопросы
2.2. Экономический смысл производной
Пусть - объем производимой продукции в зависимости от объемазатраченного ресурса. Относительное приращениеявляетсясредней производительностью ресурса. Производнаяназываетсяпредельным продуктом илипроизводительностьюресурса.
Она характеризует изменение выпуска продукции, вызванное увеличением затрат данного ресурса на 1 усл. ед.
Пример. Функция выпуска имеет вид , где- объем продукции,- время. Найти предельную производительность ресурса для затрат ресурса равных 3 усл. ед.
Решение
;
- это изменение выпуска продукции , вызванное увеличением затрат данного ресурсана 1 усл. ед. от величины.
3. Основные правила дифференцирования
Если - постоянная,и- дифференцируемые в точкефункции, то их алгебраическая суммапроизведениеи частноетакже дифференцируемы в этой точке, причем справедливы следующиеосновные правила дифференцирования:
;
; ;
Постоянный множитель выносится за знак производной: ;
; где .
Производная сложной функции.Пусть- сложная функция, т.е. промежуточный аргументявляется функцией от.
Производная сложной функции равна произведению производной функции по промежуточному аргументуна производную от промежуточного аргумента по независимой переменной.
.
Пример. Найти производную функции.
Запишем , тогда- степенная функция,- тригонометрическая функция. Для сложной функциипроизводная равна.
4. Таблица основных формул дифференцирования
Элементарная функция - независимая переменная |
Сложная функция - дифференцируемая функция |
1. Постоянная функция | |
2. Степенная функция | |
| |
3. Показательная функция | |
Экспонента |
Экспонента |
4. Логарифмическая функция | |
5. Тригонометрические функции | |
6. Обратные тригонометрические функции | |
5. Производные высших порядков
Для функции ее производнаятоже является функцией.
Производной второго порядка называется производная от производной и обозначается,.
Если первая производная есть скорость некоторого процесса, то вторая производная характеризует ускорение того же процесса.
Производной - ого порядка называется производная от производнойго порядка:.
Пример 1.
.
Функция называется n раз дифференцируемой в точке , если в этой точке существуют все производные до n-го порядка включительно, т.е. , ,, …,.
Пример 2. Найти значение для функции.
Сначала найдем производную , а затем вычислим ее значение в точке.
; ;
; .
6. Вычисление пределов с помощью производных
Производные часто применяют для раскрытия неопределенностей вида или.
Правило Лопиталя
Пусть функции иимеют производные в окрестности точки, причем в точкезначение производной.
Если или, то предел отношения функций равен пределу отношения их производных:
.
Если предел отношения производных снова представляет собой неопределенность видаили, то применяют правило вторично.
Пример 3. Используя правило Лопиталя, найти пределы: