Введение

К основным операциям (+, – , ,), которые рассматриваются в элементарной математике, в математическом анализе применяют еще одну –операцию перехода к пределу, чем и определяют условную границу между «элементарной» и «высшей» математикой.

Понятие предела является основным инструментом исследования переменной величины. Все фундаментальные понятия математического анализа (непрерывность функции, производная, интеграл и др.), а также понятие скорость, ускорение и др. основаны на понятии предела переменной величины.

Два типа пределов играют основополагающую роль как в самой математике, так и в приложениях – это производная и интеграл. С XVII века определение этих понятий и связь между ними позволили выделить в математике раздел «Математический анализ», основой которого является интегральное и дифференциальное исчисление для действительных функций одной действительной переменной.

1. Предел функции в точке и на бесконечности

Пусть - функция с областью определения, причем- некоторое число.

• Число называетсяпределом функции пристремящемся к, если в области определения функции для любой последовательности значений аргумента, сходящейся к числу, соответствующая последовательность значений функциисходится к числу.

Предел функции в точке обозначается.

Таким образом, число называетсяпределом функции в точке , если значения функции неограниченно приближаются к числу, при всех значениях, достаточно близких к.

В некоторых случаях рассматривают односторонние пределы функции:

• если (то есть справа, оставаясь больше), значения функции неограниченно приближаются к числу, то числоназываютправосторонним пределом функции в точке и обозначают

;

• если (то есть слева, оставаясь меньше), значения функции неограниченно приближаются к числу, то числоназываютлевосторонним пределом функции в точке и обозначают

.

Определение этих пределов отличается от определения предела функции тем, что дополнительно требуется (илисоответственно).

Какова связь между пределом функции и односторонними пределами?

Теорема (критерий существования предела)

Функция имеет в точке предел, равный, тогда и только тогда, когда:

1) существуют левосторонний и правосторонний пределы в точке ;

2) односторонние пределы равны между собой и равны числу , т.е.

.

Если область определения функциисодержит сколь угодно большие по абсолютной величине положительные (отрицательные) значения, то в этом случае можно рассматривать предел функции на бесконечности.

• Число называется пределом функции при ,если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента соответствующая последовательность значений функции сходится к числу:.

Таким образом, число называется пределом функции при , если значения функции неограниченно приближаются к числу(то есть), когда аргумент, изменяясь, принимает значения, сколь угодно большие по абсолютной величине.

• Предел функции приравен, если для любой сходящейся к последовательности значений аргументасоответствующая последовательность значений функции неограниченно возрастает:.

Другими словами, при значения функции становятся бесконечно большими по абсолютной величине.

Пример. .