3. Элементарные функции

Основными элементарными функциями называются следующие, аналитическим способом заданные функции:

1. степенная функция ; где- действительное число;

2. показательная функция , где ;

3. логарифмическая функция , где основание логарифма;

4. тригонометрические функции ,, , ;

5. обратные тригонометрические функции , ,.

Введем понятие функции от функции.

Если переменная является функцией от(), а переменнаяв свою очередь зависит от переменной(), тотакже зависит от, т.е.. Это –сложная функция (то есть функция от функции).

Пример 6.

а) ,. Тогда.

б) ,. Тогда.

Операция «функция от функции» может производиться не один, а любое число раз. Например, функция получается в результате следующих операций (определения следующих функций):

, ,,

то есть .

Дадим понятие элементарной функции.

• Функция называется элементарной, если ее аналитическое выражение (формула) составлено из основных элементарных функций и постоянных при помощи четырех арифметических действий сложения, вычитания, умножения, деления и взятия функции от функции, примененных конечное число раз.

Пример 7. Элементарные функции:

, .

4. Основные свойства функций Возрастающие и убывающие функции

• Функция называется возрастающей на интервале , если большим значениям аргумента соответствуют большие значения функции:

.

и называется убывающей на интервале , если большим значениям аргумента соответствуют меньшие значения функции:

.

Например, функция - возрастающая на всей числовой оси, а функция- убывающая на промежутках.

Взаимно обратные функции

Для функциональной зависимости между переменными величинами ивыбор одной из них в качестве независимой переменной может быть сделан по нашему усмотрению. Однакокак функция отвыражается, вообще говоря, иначе, чемкак функция от. Такие две функции называютсявзаимно обратными.

Функция, в которой переменные поменялись своими ролями, называется обратной по отношению к первоначальной функции. А первоначальная функция является обратной по отношению к полученной обратной, так что эти две функции естественно назвать взаимно обратными.

Пример 8. Пусть . Выразим эту зависимость как. Это – иная запись предыдущего равенства. Считая здесьнезависимой переменной, а- функцией, поменяем эти переменные местами:. Функциииявляются взаимно обратными.

y

А

А₁ x

Так как ипоменялись ролями, то это равносильно изменению обозначений осей координат. Графики взаимно обратных функций симметричны относительно биссектрисы первого и третьего координатных углов. ТочкаА₁ пересечения графика прямой функции с осью абсцисс переходит в точку А пересечения обратной функции с осью ординат и наоборот.

Если прямая функция возрастает (убывает), то и обратная функция возрастает (убывает).

Четные и нечетные функции

• Функцияназываетсячетной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для противоположных значений аргумента изначения функции равны:. График четной функции симметричен относительно оси ОУ.

Например, функции ,,являются четными.

График четной функции симметричен относительно оси ординат.

• Функция называется нечетной, если область ее определения симметрична относительно нуля и для противоположных значений аргументаизначения функции есть противоположные числа:. График нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Примерами нечетной функции являются ,,.

Область определения четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат. Если это условие не выполнено, то функция не является четной и не является нечетной.

Функция не является ни четной, ни нечетной, если оба условия ине выполняются. Например, функции,.