
- •Математика
- •Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- •Тема 1. Функции одной переменной, свойства и графики
- •1. Определение функций одной переменной
- •3. Элементарные функции
- •4. Основные свойства функций Возрастающие и убывающие функции
- •Взаимно обратные функции
- •Четные и нечетные функции
- •5. Преобразования графиков функций
- •Контрольные вопросы
- •Тема 2. Предел и непрерывность функции одной переменной
- •Введение
- •1. Предел функции в точке и на бесконечности
- •2. Основные свойства пределов
- •3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции
- •4. Раскрытие неопределенностей ,
- •5. Первый и второй замечательные пределы
- •6. Эквивалентные бесконечно малые функции
- •7. Непрерывность функции, точки разрыва
- •8. Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Свойства функций, непрерывных на отрезке
- •Контрольные вопросы
- •Тема 3. Производные и дифференциалы. Экстремумы функции одной переменной
- •1. Определение производной
- •2. Геометрический и экономический смысл производной
- •2.1. Геометрический смысл производной и уравнение касательной
- •2.2. Экономический смысл производной
- •3. Основные правила дифференцирования
- •4. Таблица основных формул дифференцирования
- •5. Производные высших порядков
- •6. Вычисление пределов с помощью производных
- •А) ; б).
- •7. Дифференциал функции
- •Геометрический смысл дифференциала функции
- •8. Свойства дифференциала функции
- •9.2. Приближенное вычисление приращения функции
- •10. Дифференциалы высших порядков
- •11. Монотонность функции
- •12. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции
- •3. Наибольшее и наименьшее значения непрерывной функции на отрезке
- •Контрольные вопросы
А) ; б).
а)
Имеем неопределенность
.
Используем правило Лопиталя:
.
б)
Имеем неопределенность
.
Представим произведение функций как
отношение:
.
7. Дифференциал функции
Понятие дифференциала тесно связано с понятием производной и является одним из важнейших понятий в математике.
Пусть
- функция, дифференцируемая в каждой
точке
отрезка
.
Производная этой
функции определяется равенством
.
Отношение
при
стремится к числу
и, значит, отличается от производной
на бесконечно малую величину:
,
где
при
.
Умножая все члены
последнего равенства на
,
получим
.
Произведение
есть бесконечно малая величина первого
порядка относительно
,
так как
.
Таким образом,
приращение
функции состоит из двух слагаемых, из
которых первое слагаемое есть (при
)главная частьприращения, прямо пропорциональная
первой степени приращения
,
т.е.линейнаячасть относительно
.
Пример 4.Найдем
для функцииприращение функции:
Выделим в приращении
функции ту часть, которая линейнаяотносительноприращения аргумента,
это
.
Полученное выражение и будет называтьсядифференциалом функции:
.
Дифференциалом функции
называетсяглавная, линейнаяотносительно приращения аргумента
часть приращения
функции.
В предыдущем
примере
.
Заметим, что множитель
- это производная функции:
.
Поэтому дифференциал функции
равен произведению производной
на приращение
аргумента:
.
Подставим
в эту формулу
.
Тогда
,
то есть
-
дифференциал
независимой переменной равен ее
приращению
.
Поэтому формула дифференциала функции примет вид
.
Эта формула
показывает, что для нахождения
дифференциала функции достаточно найти
ее производную и умножить на
.
Отсюда следует,
что
- производную
можно рассматривать как отношение
дифференциала функции к дифференциалу
независимой переменной.
Пример
5. Найти дифференциал функции.
Решение..
Пример 6.Найти
дифференциал функции .
Решение.
Геометрический смысл дифференциала функции
y
касательная
А
М В
Касательная в
точке М разбивает отрезок ВNна два отрезка, один из которых АВ – этолинейная (главная) часть приращения
функции,
которая называетсядифференциалом и
обозначается
.
Из треугольника
АВМ получим
или
.
Таким образом, геометрическидифференциал
функции
в точке
,
равен приращению ординаты точки,
движущейся по касательной к кривой.
8. Свойства дифференциала функции
Правила вычисления дифференциала следуют из его определения. Дифференциал функции обладает свойствами, аналогичным свойствам производной.
1)
,
2)
,
3)
,
4)
,
5)
.
6) Дифференциал
сложной функции
имеет тот же вид
,
какой он имеет для независимой переменной
(инвариантность
формы дифференциала).
Пример 7.
Дана функция
.
Найти
.
Решение.
Представив данную
функцию как сложную
,
,
находим дифференциал
.
Свойство независимости вида дифференциала от выбора независимой переменной (инвариантность дифференциала) позволит в дальнейшем ввести операцию, обратную дифференцированию (интегрирование).
9. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
9.1. Приближенное вычисление значения функции в точке
Нужно вычислить
значение функции
в точке
.
Функция
может быть задана в виде сложной формулы.
Поэтому довольно часто прибегают к
приближенному вычислению.
Для этого:
1) подбирают близкое
к
значение
,
где достаточно просто найти значение
функции
;
2) считают, что
приращение функции
в точке
приблизительно равно дифференциалу в
этой точке:
,
то есть
,
где
;
3) отсюда
.
Пример 8.
Найти приближенно
.
Здесь
,
,
,
,
,
.
Тогда
.
Пример 9.
Найти приближенно значение функции
при
.
Решение. Примем
и
.
Для использования формулы
найдем:
,
.
Тогда приближенное
значение функции
равно
.
Посмотрим, на сколько отличается точное значение функции от найденного приближенного значения. Найдем точное значение функции:
.
Разность между
точным 39,583005 и приближенным значением
39,59 функции
в точке
есть б.м. величина 0,006995.