36

Математика

Раздел «Математический анализ»

Модуль 1. дифференциальное исчисление функции одной переменной

Содержание

Тема 1. Функции одной переменной, свойства и графики

1. Определение функций одной переменной.

2. Способы задания функций одной переменной.

3. Элементарные функции.

4. Основные свойства функций.

5. Преобразования графиков функций

Тема 2. Предел и непрерывность функции одной переменной

1. Предел функции в точке и на бесконечности.

2. Основные свойства пределов.

3. Бесконечно малые и бесконечно большие функции.

4. Раскрытие неопределенностей ,.

5. Первый и второй замечательные пределы

6. Эквивалентные бесконечно малые функции

7. Непрерывность функции, точки разрыва

8. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Тема 3. Производные и дифференциалы. Экстремумы функции одной переменной

1. Определение производной.

2. Геометрический и экономический смысл производной.

3. Основные правила дифференцирования.

4. Таблица основных формул дифференцирования.

5. Производные высших порядков.

6. Вычисление пределов с помощью производных.

7. Дифференциал функции.

8. Свойства дифференциала функции.

9. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

10. Дифференциалы высших порядков

11. Монотонность функции.

12. Экстремумы (максимумы и минимумы) функции.

13. Наименьшее и наибольшее значения непрерывной функции на отрезке.

Модуль 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной

Тема 1. Функции одной переменной, свойства и графики

Содержание

1. Определение функций одной переменной.

2. Способы задания функций одной переменной.

3. Элементарные функции.

4. Основные свойства функций.

5. Преобразования графиков функций.

Понятие функции применяется не только в математике, но и в других областях знаний. В философии функция (лат. function – исполнение) – обязанность, круг деятельности¹.

Функцией в общественных науках обычно называют предназначение, роль какого-либо элемента в социальной системе, или, иными словами, определенного вида работу, которая требуется от него в интересах системы в целом.

В менеджменте функция означает исполнение, совершенствование, служебную обязанность, назначение, роль. В широком смысле «функция» - это устойчивый вид деятельности, то, что обязан выполнять сотрудник независимо от своего желания.

1. Определение функций одной переменной

Дадим определение функции одной переменной.

• Функцией (отображением), заданной на множестве , называется правило , по которому каждому элементумножества ставится в соответствие единственный элемент множества . Используется запись .

• Множество называетсяобластью определения функции , а множество–областью значений . Элементназываетсяаргументом, или независимой переменной, а соответствующий элемент -значением функции, или зависимой переменной.

• Если и являются числовыми множествами, то называетсячисловой функцией одной переменной.

Рис. 1 – Математическое определение функции

• Областью определения числовой функции одной переменной является числовые промежутки на действительной оси:, отрезок, интервалы,,, или их объединение.

Пример 1. , область определения.

Пример 2. ,область определения .

Пример 3. .

Решение. Так как , то ее область определения, где, а.

Тогда

.

Основными способами задания функций являются аналитический, табличный, графический. Существует и другие способы задания функций - алгоритмический, с помощью программы на ЭВМ.

• Аналитический способ задания функции – имеется формула, указывающая, какие действия нужно произвести над аргументами, чтобы получить значение функции. Аналитический способ может быть явным и неявным.

Функция задана явно, если она задана:

1. одной формулой, разрешенной относительно зависимой переменной (например, у =или), или

2. разными формулами на определенных числовых промежутках (кусочно-аналитическое задание функции): например, или

Пример 4. Вычислить значения функции при,,.

Решение.

; ;

.

Функция одной или двух переменных называется неявной, если она задана уравнением, не разрешенной относительно зависимой переменной. Например, , или .

• Табличный способ задания функции - с помощью таблицы, в которой указаны значения аргументов и соответствующие им значения зависимой переменной. Например, таблицы Брадиса.

Достоинством табличного способа является то, что по таблице можно непосредственно найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента, а недостатком – отсутствие значений функции для промежуточных значений аргумента.

Таблица функции одной переменной

			…
			…

• Графический способ задания функции.

Для функции одной переменной:

• Графиком функции называется множество точек плоскости ХОУ, координаты которых связаны соотношением. Равенствоназываетсяуравнением этого графика.

Отличительной чертой любого графика функции является то, что каждая прямая(дляиз области определения), параллельная оси ординат, пересекает график вединственной точке.

Пример 5. Функция «абсолютная величина »:

.

Функция задана с помощью двух функций на разных числовых промежутках. Поэтому график функции «склеен» из двух графиков – графика на промежуткеи графикана промежутке.