- •Министерство образования рф Сибирский государственный технологический
- •Пояснительная записка
- •3 Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам ……………………………..………………….19
- •3.4 Оценка качества переходного процесса …………….……………………..31
- •4.2 Расчет параметров корректирующего устройства ………………………..37
- •Анализ линейной системы автоматического регулирования
- •3 Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам
- •3.4 Оценка качества переходного процесса
- •4.1 Принципиальная схема корректирующего устройства
- •4.2 Расчет параметров корректирующего устройства
3 Синтез линейной системы автоматического регулирования по логарифмическим частотным характеристикам
3.1 Построение желаемых логарифмических характеристик
Желаемой называют асимптотическую ЛАЧХ Lж() разомкнутой системы, имеющей желаемые (требуемые) статические и динамические свойства. Желаемая ЛАЧХ (рисунок 11) состоит из трёх основных асимптот: низкочастотной, среднечастотной и высокочастотной. Кроме того, могут быть сопрягающие асимптоты, которые соединяют основные.
Построение желаемой ЛАЧХ производится на основании требований к системе. Низкочастотная часть этой характеристики обуславливает точность воспроизведения медленно изменяющихся воздействий. По её виду можно найти добротности по скорости и ускорению и статическую ошибку системы. Низкочастотный участок (рисунок 11) для астатических систем (неизменяемая часть системы L0() ) должен иметь наклон –20nдб/дек (гдеn– число интегрирующих звеньев в системе, в нашем случаеn= 1) и при= 1 ординату, равную 20lgK (для нашего случая 20lgK=23.03, где К = 14.175).
Среднечастотная асимптота ЛАЧХ разомкнутой системы и её сопряжение с низкочастотной определяют динамические свойства системы – устойчивость и показатели качества переходной характеристики.
Построение среднечастотной асимптоты желаемой ЛАЧХ начинаем с выбора частоты среза СРпо номограмме составленной В.В.Солодовником ([1], страница 272), которая определяет зависимость перерегулированияи времени регулированияtРот максимума РMAX вещественной частотной характеристики замкнутой системы, причём время регулированияtРдано в виде функции частоты срезаСР.
По заданному значению перерегулирования = 25% определяем значение РMAX = 1,18. Затем по РMAX определяем соотношение междуtРиСР:
.
с-1.
Среднечастотная асимптота желаемой ЛАЧХ проводится через точку СРс наклоном -20дб/дек. При большем наклоне трудно обеспечить необходимый запас устойчивости и допустимое перерегулирование.
Проводим прямые с ординатами +∆Lи -∆L(пунктирными линиями на рисуноке 11). Затем после построения среднечастотной асимптоты (наклон –20 дб/дек) наносим сопрягающую асимптоту с наклоном –40 дб/дек, начиная её из точки среднечастотной асимптоты с ординатой ∆L= 20 дб.
Высокочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ мало влияет на свойства системы, поэтому выбираем (наклон –40 дб/дек) её так, чтобы корректирующее устройство было возможно более простым. Это достигается при совмещении высокочастотных асимптот характеристик Lж() иL0().
Рисунок 10 - Построение желаемой ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего устройства
3.2 Определение передаточной функции желаемой ЛАЧХ
По виду желаемой ЛАЧХ Lж() составляем передаточную функцию разомкнутой скорректированной системы:
, (3.2.1)
где
. (3.2.2)
По формуле (3.2.2) определяем постоянные времени Та, Тв, Те, Тf
Та = 1.724, Тв = 0.017, Те= 4.651, Тf= 0.01
Подставив в формулу (3.1.1) коэффициенты получим
.
Проверяем избыток фазы при контрольных частотах а= 0.58 с-1,
СР= 5.9 с-1иb= 58 с-1(рисунок 11) по следующей формуле:
∆= π+, (3.1.3)
где ,
< 0.
Проверяют запас устойчивости Δφж(ωа) иΔφж(ωв) на частотахωа и ωв , граничных частотах среднечастотного диапазона. Если условие Δφ≥Δφmin(Δφmin=500=0,873 рад) выполняется, то система имеет требуемый запас по фазе, и выполненное сопряжение асимптот желаемой ЛАЧХ принимается.
,
рад,
∆(а) = 1,115 рад ,
∆(а) > ∆min.
,
∆(b) = -0,532 рад,
∆(b)<∆min.
Условие запаса устойчивости выполняется только для частоты .Тогда проверим выполнение данного условия на частоте среза.
Подставив численные значения, получим ,условие выполняется, значит, вопрос о коррекции желаемой ЛАЧХ, решаем на основе оценки качества системы.
3.3 Расчет переходного процесса по вещественной частотной
характеристике методом трапеций
Наиболее известным методом определения переходных процессов является метод построения кривой переходного процесса с помощью трапецеидальных вещественных частотных характеристик АСР.
1) Записываем передаточную функцию замкнутой системы на основе передаточной функции скорректированной разомкнутой системы
,
.
2) Вычисляем коэффициенты этой передаточной функции:
,
где ;
;
;
;
;
;
;
.
Передаточная функция скорректированной замкнутой системы с учётом найденных коэффициентов имеет следующий вид:
.
3) Выделяем вещественную частотную характеристику замкнутой системы, произведя следующую подстановку:
,
.
Записываем значения вещественной и мнимой части для полиномов числителя и знаменателя частотной передаточной функции замкнутой АСР:
,
где ;
;
;
.
Записываем значение вещественной частотной характеристики для замкнутой системы:
,
.
Задавая значения 0 < < 70 (таблица 6), строим вещественную частотную характеристику (рисунок 11).
Таблица 6 – Значения вещественной характеристики
|
0 |
0,5 |
1,5 |
2 |
2,5 |
Р() |
1 |
1,03 |
1,042 |
1,024 |
0,999 |
|
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
Р() |
0,97 |
0,906 |
0,839 |
0,776 |
0,718 |
|
8 |
9 |
10 |
15 |
20 |
Р() |
0,666 |
0,621 |
0,58 |
0,432 |
0,333 |
|
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
Р() |
0,261 |
0,205 |
0,162 |
0,129 |
0,103 |
|
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
Р() |
0,082 |
0,066 |
0,054 |
0,044 |
0,036 |
Рисунок 11 – Вещественная частотная характеристика
Рисунок 12 – Увеличенный участок ВЧХ
4) Разбиваем вещественную частотную характеристику на трапеции. Для этого кривую вещественной характеристики заменяем приближенно трапециями (рисунок 13 – 14) с учетом следующих правил:
разбивка кривой на прямолинейные участки должна с возможно меньшей погрешностью повторять ход кривой;
все трапеции и треугольники должны иметь одну сторону, расположенную на оси ординат;
сумма площадей трапеций и треугольников должна приблизительно равняться площади, ограниченной кривой вещественной частотной характеристики с учетом знаков отдельных площадок расположенных выше и ниже оси абсцисс;
более тщательно необходимо аппроксимировать начальную часть вещественной частотной характеристики. Ее конечную часть с ординатами, меньшими по абсолютному значению, чем 0.1Р( = 0).
Рисунок 13 – Разбиение ВЧХ на трапеции
Рисунок 14 – Разбиение ВЧХ на трапеции
Определяем параметры каждой трапеции (таблица 7): находим частоты oi и аi и значение высоты рi. По значениям oi и аi вычисляем коэффициенты наклона i=di/ni и округляем его до ближайшего из значений 0;0.05;0.10;…;0.95;1. Величину рi принимаем положительной, если меньшая параллельная сторона трапеции расположена выше большей, и отрицательной - в противоположном случае.
Рисунок 15 – Трапеция № 1
Рисунок 16 – Трапеции № 2, 3, 4
Трапеция №1 |
Трапеция №2 |
Трапеция №3 | |||||||||
d1 = 0,1 с-1 |
d2 = 2 с-1 |
d3 = 12 с-1 | |||||||||
n1 = 0,56 с-1 |
n2 = 12 с-1 |
n3 = 25,5 с-1 | |||||||||
P1 = -0,048 |
P2 = 0,548 |
P3 = 0,3 | |||||||||
1 = 0,2 |
2 = 0,15 |
3 = 0,5 | |||||||||
t |
H1() |
t |
h1(t) |
t |
h2() |
t |
h2(t) |
t |
h3() |
t |
h3(t) |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0,5 |
0,192 |
0,893 |
-0,009 |
0,5 |
0,184 |
0,042 |
0,101 |
0,5 |
0,240 |
0,020 |
0,072 |
1 |
0,371 |
1,786 |
-0,018 |
1 |
0,356 |
0,083 |
0,195 |
1 |
0,461 |
0,039 |
0,138 |
1,5 |
0,538 |
2,679 |
-0,026 |
1,5 |
0,516 |
0,125 |
0,283 |
1,5 |
0,665 |
0,059 |
0,200 |
2 |
0,683 |
3,571 |
-0,033 |
2 |
0,655 |
0,167 |
0,359 |
2 |
0,833 |
0,078 |
0,250 |
2,5 |
0,867 |
4,464 |
-0,042 |
2,5 |
0,833 |
0,208 |
0,456 |
2,5 |
0,967 |
0,098 |
0,290 |
3 |
0,896 |
5,357 |
-0,043 |
3 |
0,863 |
0,250 |
0,473 |
3 |
1,061 |
0,118 |
0,318 |
3,5 |
0,963 |
6,25 |
-0,046 |
3,5 |
0,928 |
0,292 |
0,509 |
3,5 |
1,115 |
0,137 |
0,335 |
4 |
1,008 |
7,143 |
-0,048 |
4 |
0,974 |
0,333 |
0,534 |
4 |
1,142 |
0,157 |
0,343 |
4,5 |
1,029 |
8,036 |
-0,049 |
4,5 |
0,997 |
0,375 |
0,546 |
4,5 |
1,138 |
0,176 |
0,341 |
5 |
1,042 |
8,929 |
-0,050 |
5 |
0,012 |
0,417 |
0,007 |
5 |
1,118 |
0,196 |
0,335 |
5,5 |
1,046 |
9,821 |
-0,050 |
5,5 |
1,019 |
0,458 |
0,558 |
5,5 |
1,092 |
0,216 |
0,328 |
6 |
1,037 |
10,714 |
-0,050 |
6 |
1,013 |
0,500 |
0,555 |
6 |
1,051 |
0,235 |
0,315 |
6,5 |
1,03 |
11,607 |
-0,049 |
6,5 |
1,009 |
0,542 |
0,553 |
6,5 |
1,018 |
0,255 |
0,305 |
7 |
1,024 |
12,5 |
-0,049 |
7 |
1,006 |
0,583 |
0,551 |
7 |
0,993 |
0,275 |
0,298 |
7,5 |
1,019 |
13,393 |
-0,049 |
7,5 |
1,006 |
0,625 |
0,551 |
7,5 |
0,974 |
0,294 |
0,292 |
8 |
1,02 |
14,286 |
-0,049 |
8 |
1,008 |
0,667 |
0,552 |
8 |
0,966 |
0,314 |
0,290 |
8,5 |
1,021 |
15,179 |
-0,049 |
8,5 |
1,01 |
0,708 |
0,553 |
8,5 |
0,966 |
0,333 |
0,290 |
9,5 |
1,029 |
16,964 |
-0,049 |
9,5 |
1,022 |
0,792 |
0,560 |
9,5 |
0,975 |
0,373 |
0,293 |
10 |
1,031 |
17,857 |
-0,049 |
10 |
1,025 |
0,833 |
0,562 |
10 |
0,982 |
0,392 |
0,295 |
10,5 |
1,033 |
18,750 |
-0,050 |
10,5 |
1,028 |
0,875 |
0,563 |
10,5 |
0,987 |
0,412 |
0,296 |
11 |
1,031 |
19,643 |
-0,049 |
11 |
1,029 |
0,917 |
0,564 |
11 |
0,993 |
0,431 |
0,298 |
11,5 |
1,028 |
20,536 |
-0,049 |
11,5 |
1,027 |
0,958 |
0,563 |
11,5 |
0,997 |
0,451 |
0,299 |
12 |
1,024 |
21,429 |
-0,049 |
12 |
1,025 |
1,000 |
0,562 |
12 |
0,997 |
0,471 |
0,299 |
13 |
1,015 |
23,214 |
-0,049 |
13 |
1,019 |
1,083 |
0,558 |
13 |
0,997 |
0,510 |
0,299 |
13,5 |
1,011 |
24,107 |
-0,049 |
13,5 |
1,017 |
1,125 |
0,557 |
13,5 |
0,998 |
0,529 |
0,299 |
14 |
1,009 |
25,000 |
-0,048 |
14 |
1,016 |
1,167 |
0,557 |
14 |
1 |
0,549 |
0,300 |
15 |
1,007 |
26,786 |
-0,048 |
15 |
1,014 |
1,250 |
0,556 |
15 |
1,005 |
0,588 |
0,302 |
16 |
1,006 |
28,571 |
-0,048 |
16 |
1,014 |
1,333 |
0,556 |
16 |
1,011 |
0,627 |
0,303 |
16,5 |
1,005 |
29,464 |
-0,048 |
16,5 |
1,014 |
1,375 |
0,556 |
16,5 |
1,011 |
0,647 |
0,303 |
17 |
1,005 |
30,357 |
-0,048 |
17 |
1,013 |
1,417 |
0,555 |
17 |
1,012 |
0,667 |
0,304 |
17,5 |
1,003 |
31,250 |
-0,048 |
17,5 |
1,012 |
1,458 |
0,555 |
17,5 |
1,009 |
0,686 |
0,303 |
18 |
1,002 |
32,143 |
-0,048 |
18 |
1,011 |
1,500 |
0,554 |
18 |
1,008 |
0,706 |
0,302 |
18,5 |
1,001 |
33,036 |
-0,048 |
18,5 |
1,009 |
1,542 |
0,553 |
18,5 |
1,006 |
0,725 |
0,302 |
19 |
0,998 |
33,929 |
-0,048 |
19 |
1,008 |
1,583 |
0,552 |
19 |
1,001 |
0,745 |
0,300 |
20 |
0,995 |
35,714 |
-0,048 |
20 |
1,005 |
1,667 |
0,551 |
20 |
0,996 |
0,784 |
0,299 |
20,5 |
0,994 |
36,607 |
-0,048 |
20,5 |
1,004 |
1,708 |
0,550 |
20,5 |
0,995 |
0,804 |
0,299 |
21 |
0,994 |
37,500 |
-0,048 |
21 |
1,003 |
1,750 |
0,550 |
21 |
0,995 |
0,824 |
0,299 |
22,5 |
0,996 |
40,179 |
-0,048 |
22,5 |
1,002 |
1,875 |
0,549 |
22,5 |
0,997 |
0,882 |
0,299 |
23 |
0,996 |
41,071 |
-0,048 |
23 |
1,002 |
1,917 |
0,549 |
23 |
0,998 |
0,902 |
0,299 |
23,5 |
0,996 |
41,964 |
-0,048 |
23,5 |
1,002 |
1,958 |
0,549 |
23,5 |
0,999 |
0,922 |
0,300 |
24 |
0,996 |
42,857 |
-0,048 |
24 |
1,001 |
2,000 |
0,549 |
24 |
1 |
0,941 |
0,300 |
24,5 |
0,996 |
43,750 |
-0,048 |
24,5 |
1 |
2,042 |
0,548 |
24,5 |
1 |
0,961 |
0,300 |
25 |
0,995 |
44,643 |
-0,048 |
25 |
1 |
2,083 |
0,548 |
25 |
1 |
0,980 |
0,300 |
25,5 |
0,995 |
45,536 |
-0,048 |
24 |
0,999 |
2,000 |
0,547 |
24 |
1 |
0,941 |
0,300 |
26 |
0,995 |
46,429 |
-0,048 |
24,5 |
0,999 |
2,042 |
0,547 |
24,5 |
1 |
0,961 |
0,300 |
Продолжение таблицы 7
Трапеция №4 | |||
d4 = 25,5 с-1 | |||
n4 = 64 с-1 | |||
P4 = 0,2 | |||
4 = 0,4 | |||
t |
h4() |
t |
h4(t) |
0 |
0 |
0,000 |
0,000 |
0,5 |
0,223 |
0,008 |
0,045 |
1 |
0,432 |
0,016 |
0,086 |
1,5 |
0,617 |
0,023 |
0,123 |
2 |
0,786 |
0,031 |
0,157 |
2,5 |
0,938 |
0,039 |
0,188 |
3 |
1,013 |
0,047 |
0,203 |
3,5 |
1,074 |
0,055 |
0,215 |
4 |
1,107 |
0,063 |
0,221 |
4,5 |
1,115 |
0,070 |
0,223 |
5 |
1,112 |
0,078 |
0,222 |
5,5 |
1,095 |
0,086 |
0,219 |
6 |
1,068 |
0,094 |
0,214 |
6,5 |
1,043 |
0,102 |
0,209 |
7 |
1,023 |
0,109 |
0,205 |
7,5 |
1,005 |
0,117 |
0,201 |
8 |
0,995 |
0,125 |
0,199 |
8,5 |
0,992 |
0,133 |
0,198 |
9 |
0,992 |
0,141 |
0,198 |
9,5 |
0,993 |
0,148 |
0,199 |
10 |
0,993 |
0,156 |
0,199 |
10,5 |
0,993 |
0,164 |
0,199 |
11 |
0,993 |
0,172 |
0,199 |
11,5 |
0,991 |
0,180 |
0,198 |
12 |
0,988 |
0,188 |
0,198 |
12,5 |
0,986 |
0,195 |
0,197 |
13 |
0,985 |
0,203 |
0,197 |
13,5 |
0,984 |
0,211 |
0,197 |
14 |
0,985 |
0,219 |
0,197 |
14,5 |
0,988 |
0,227 |
0,198 |
15 |
0,991 |
0,234 |
0,198 |
15,5 |
0,996 |
0,242 |
0,199 |
16 |
0,998 |
0,250 |
0,200 |
16,5 |
1,002 |
0,258 |
0,200 |
17 |
1,005 |
0,266 |
0,201 |
17,5 |
1,006 |
0,2734375 |
0,201 |
18 |
1,008 |
0,28125 |
0,202 |
18,5 |
1,007 |
0,2890625 |
0,201 |
20 |
1,005 |
0,3125 |
0,201 |
20,5 |
1,004 |
0,3203125 |
0,201 |
21 |
1,004 |
0,328125 |
0,201 |
22 |
1,004 |
0,34375 |
0,201 |
23 |
1,003 |
0,359375 |
0,201 |
23,5 |
1,003 |
0,3671875 |
0,201 |
24 |
1,002 |
0,375 |
0,200 |
24,5 |
1,001 |
0,3828125 |
0,200 |
25 |
1 |
0,390625 |
0,200 |
25,5 |
0,998 |
0,3984375 |
0,200 |
26 |
0,997 |
0,40625 |
0,199 |
6) По параметрам трапеции определяем составляющие переходной характеристики. Для каждой трапеции в таблице h– функций ([1], страница 222) отыскиваем столбец, соответствующий значению коэффициента наклона. Для ряда значений условного времениопределяем соответствующие им значения h(). По значениямиh() вычисляем значение действительного времени и соответствующиеhiпереходной характеристики:
; (3.1.12)
Полученные значения tиhiзаносим в таблицу 7.
7) Строим графики составляющих переходной характеристики (рисунок 17).
Рисунок 17 - Графики составляющих переходной характеристики
8) Строим график переходной характеристики (рисунок 18). Ординаты переходной характеристики определяем суммированием ординат составляющих в выбранные моменты времени.
Рисунок 18 - График переходной характеристики