ЛАБ.РАБ / Краткая теория погрешностей_старая_методичка
.pdfВолгодонский институт Южно-Российского государственного технического университета ( НПИ )
Методические указания по расчету погрешностей и обработке
результатов измерений в лабораторном практикуме по физике
Волгодонск, 2005
2
Причины возникновения погрешностей при измерениях и их виды
Численное значение любой физической величины может быть найдено посредством измерений.
Различают прямые и косвенные измерения. При прямых измерениях значение физической величины находят непосредственно по показаниям измерительных приборов. При косвенных измерениях значение физической величины вычисляется по расчетной формуле, связывающей искомую величину с непосредственно измеряемыми.
Как прямое, так и косвенное измерение любой физической величины связано с погрешностями.
Источниками этих погрешностей являются:
-несовершенство измерительной аппаратуры;
-несовершенство органов чувств экспериментатора;
-изменчивость внешних условий;
-возможное непостоянство самой измеряемой величины.
Кроме того, существуют погрешности, связанные с методикой измерений, т. е. с выбранными расчетными формулами.
Отсюда следует, что при помощи измерений нельзя найти истинное значение измеряемой физической величины µ .
В зависимости от причины возникновения погрешностей, их можно разбить на следующие виды.
1.Методические погрешности, связанные с ограниченной областью применения теории, положенной в основу того или иного эксперимента. Расчетные формулы, полученные на основе этих теоретических предпосылок, будут приближенными и верны только в рамках этой теории.
2.Приборные погрешности, связанные с несовершенством конструкции приборов. Любой прибор может давать значение измеряемой величины лишь с определенной точностью. Погрешность прибора равна либо половине его цены деления, либо рассчитывается по его классу точности, специально указанному на
приборе. Показатель класса εп определяет приведенную погрешность измерения
в процентах. Абсолютная погрешность, даваемая прибором, определяется следующим образом:
∆αприб = |
|
εп |
αпр , |
(1) |
|
100 |
|||||
|
|
|
|||
где αпр - предельное значение шкалы прибора. Например, миллиамперметр
класса 1,5 со шкалой 300 мА дает в любом месте шкалы абсолютную погрешность ∆αприб = ± 1001.5 300 = ± 4,5 мА.
3. Случайные ошибки, связанные со случайными изменениями условий опыта, возможными изменениями самой измеряемой величины, неточностью отсчетов, которую непроизвольно допускает экспериментатор из-за несовершенства органов чувств. Так, например, при взвешивании на точных весах случайные ошибки возникают за счет колебаний воздуха, мелких соринок,
3
попадающих на чашки весов, из-за колебаний температуры, из-за несовершенства глаза наблюдателя, фиксирующего условия равновесия.
4. Грубые погрешности и промахи, причинами которых могут являться неисправность средств измерений, резкое изменение условий измерений и влияющих величин, неправильные действия экспериментатора. Грубые погрешности и промахи обычно исключаются из экспериментальных данных, подлежащих обработке.
Методические и приборные погрешности относятся к классу систематических погрешностей. Увеличение числа измерений не может изменить величину систематической погрешности. Чтобы приблизить результат измерения к истинному значению физической величины, следует прибавить или отнять от измеренного значения методическую погрешность, если мы можем оценить, насколько занижен или завышен результат измерения. Приборную же погрешность ∆αприб всегда записывают с двумя знаками, а именно: ± ∆αприб .
Случайные погрешности и способ их расчета
Случайная погрешность измерения - составляющая погрешности измерения, изменяющаяся случайным образом при повторных измерениях одной и той же величины.
Случайная погрешность определяется факторами, проявляющимися нерегулярно с изменяющейся интенсивностью. Значение и знак случайной погрешности определить невозможно, так как в каждом опыте причины, вызывающие погрешность, действуют неодинаково. Случайная погрешность не может быть исключена из результата измерений. Однако проведением ряда повторных измерений и использованием для их обработки методов математической статистики определяют значение измеряемой величины со случайной погрешностью, меньшей, чем для одного измерения.
Для повышения точности измерений эксперимент повторяют несколько раз при одинаковых условиях. При большом числе измерений число результатов, завышенных за счет случайных факторов, приблизительно равно числу заниженных результатов, и случайные погрешности будут компенсироваться.
Абсолютной погрешностью измерения ∆µ называют разность между измеренным значением физической величины α и ее истинным значением µ :
∆µ = |
|
α − µ |
|
. |
(2) |
|
|
Найти абсолютную погрешность ∆µ из формулы (2) невозможно, так как истинное значение µ неизвестно.
При многократных измерениях одной и той же величины получается ряд значений: α1,α2 ,...,αi ,...,αn , по которым можно определить среднее
арифметическое значение результатов измерений:
∑n αi
αср = |
i =1 |
, |
(3) |
|
n |
||||
|
|
|
где n – число измерений.
4
Среднее арифметическое αср ближе к истинному значению µ , чем результаты отдельных измерений. В пределе при n → ∞ они совпадут, поэтому
можно оценить абсолютную погрешность так: |
|
∆µ = α −αср . |
(4) |
На основании проделанных n измерений можно найти еще одну важную величину S. Эта величина носит название среднего квадратичного разброса и определяется соотношением
∑n |
(αi −αср )2 |
. |
(5) |
S = i =1 |
n |
||
|
|
|
Средний квадратичный разброс является случайной величиной и характеризует условия, в которых производятся измерения. Чем больше воздействие случайных причин, тем больше величина S.
Знание случайных величин αср и S позволяет сделать суждение об интервале, в котором лежит истинное значение измеряемой величины µ .
Для оценки этого интервала Стьюдент ввел и изучил случайную величину σ :
σ = |
|
αср − µ |
|
. |
(6) |
|
|
|
|||
|
|
S |
|
||
И числитель, и знаменатель выражения (6) зависят от одной и той же совокупности случайных воздействий, а сама величина σ имеет определенное распределение вероятностей W, которое зависит лишь от числа опытов n, на основе которых определялись величины αср и S.
Ниже приведено распределение Стьюдента для величины σ . Таблица 1.
n |
2 |
3 |
5 |
7 |
10 |
W |
σ |
σ |
σ |
σ |
σ |
0,5 |
1,00 |
0,57 |
0,37 |
0,29 |
0,23 |
0,9 |
6,30 |
2,10 |
1,07 |
0,77 |
0,61 |
0,95 |
12,70 |
3,10 |
1,39 |
0,99 |
0,75 |
0,99 |
64,00 |
7,10 |
2,30 |
1,28 |
1,08 |
Надежностью некоторого утверждения W называют вероятность того, что
это утверждение окажется верным. |
|
|
|||
Допустим, величины αср и S найдены |
из пяти опытов. Тогда |
с |
|||
вероятностью 0,5 величина σ лежит в интервале [-0,37<σ <+0,37], а |
с |
||||
вероятностью 0,9 – в интервале [-1,07<σ <+1,07]. |
|
|
|||
На основании формулы (6) получим: |
|
|
|||
|
αср − µ |
|
=σS . |
(7) |
|
|
|
|
|||
Тогда можно записать, что истинное значение измеряемой величины |
µ |
||||
лежит в интервале |
|
|
|||
(αср −σS )< µ < (αср +σS ). |
(8) |
|
|||
5
Так как интервал, указанный неравенством (8), не является абсолютно надежным, то его называют доверительным интервалом и всегда вместе с указанием доверительного интервала пишут его надежность W.
Обычно в учебных лабораториях выбирается надежность оценки доверительного интервала W = 0,9 ÷ 0,95.
Полуширину доверительного интервала принято называть абсолютной погрешностью:
∆µ =σS . |
(9) |
Таким образом, для нахождения абсолютной погрешности измерений при данном числе измерений n и надежности W из таблицы 1 находят σ , по формуле
(5) определяют S. Произведение σS дает полуширину интервала, в котором лежит истинное значение измеряемой величины µ . Результат измерений записывают в виде:
µ =αср ± ∆µ . |
(10) |
Расчет погрешностей при косвенных измерениях
При расчете погрешности косвенно измеряемой величины А ставится задача: зная погрешности непосредственно измеряемых величин, найти погрешность косвенно измеряемой.
Введем понятие относительной погрешности ε :
ε = |
∆А |
, |
(11) |
|
А |
||||
|
|
|
||
|
ср |
|
|
где ∆А - абсолютная погрешность измерения, Аср - среднее значение измеряемой
величины.
Из соотношения (11) видно, что, зная ∆А и Аср , можно найти ε и наоборот:
зная ε и Аср , можно найти ∆А.
Формулы для расчета абсолютных погрешностей косвенных измерений можно получить по правилам дифференцирования, если заменить значок дифференциала d значком погрешности ∆ и выбрать знаки таким образом, чтобы величина абсолютной погрешности была максимальной.
Так, если косвенно измеряемая величина А является функцией от непосредственно измеряемых величин a,b,c, измеренных с абсолютными погрешностями ∆a, ∆b, ∆c , то абсолютную погрешность ∆А найдем,
продифференцировав А(a,b,c):
∆А = ∂A |
∆a + ∂A |
∆b + |
∂A ∆c . |
(12) |
∂a |
∂b |
|
∂c |
|
Например, если A = a – b, то, дифференцируя это выражение, получим |
||||
dA = da −db и ∆A = ∆a + ∆b |
(знак |
“-“ |
заменяется |
на “+”). Если A = ab , то по |
правилам дифференцирования имеем: ∆A = a∆b +b∆a .
В тех случаях, когда правая часть расчетной формулы представляет собой произведение нескольких сомножителей, удобнее поступать следующим образом.
6
Находят натуральный логарифм левой и правой части расчетной формулы, затем дифференцируют полученное соотношение и, так как d (ln A)= dAA , то сразу находят относительную погрешность косвенно измеряемой величины А.
Например, если A = ab , то d (ln A)= d (ln a)+ d (ln b) или |
dA |
= |
da |
+ |
db |
, и для |
|
A |
a |
b |
|||||
|
|
|
|
относительной погрешности имеем: ε = dAA = ∆aa + ∆bb . Абсолютная погрешность будет равна ∆A = ∆aa + ∆bb Aср .
Если в расчетной формуле |
одна и та же непосредственно измеряемая |
|||
величина встречается несколько |
раз, то знак погрешности этой величины |
|||
сохраняется тот же, что и при |
|
дифференцировании. Например, |
A = ab2 −ac . |
|
Дифференцируя, |
получим |
dA = b2 (da)+ 2ab(db)−a(dc)−c(da). |
Абсолютная |
|
погрешность равна ∆A = (b2 −c)∆a + 2ab∆b + a∆c .
Указания по обработке результатов измерений
При обработке результатов измерений необходимо руководствоваться следующими указаниями.
I. Прямые измерения.
1.Для каждой непосредственно измеряемой величины по форме, данной в каждом описании лабораторной работы, составляется таблица измеренных значений этой величины, полученных по показаниям приборов.
2.Пользуясь таблицей, делают предварительный расчет среднего арифметического значения измеряемой величины, оставляя 2 или 3 значащих цифры после запятой.
3.Исходя из заданной в учебной лаборатории надежности W (например, W=0,95), находят из таблицы Стьюдента величину σ при заданном числе измерений n.
4.Зная среднее значение измеряемой величины αср , определяют, пользуясь
таблицей измерений, разности αi −αср и подсчитывают величину среднего квадратичного разброса S по формуле (5).
5.Вычисляют произведение σS . Это и будет полуширина доверительного интервала, или абсолютная погрешность при заданной надежности.
6.Оценивают погрешность примененных для измерений приборов, определяют
∆αприб .
7. Сравнивают полученное значение σS с приборной погрешностью. Если ∆αприб
в 2-3 раза превышает вычисленную случайную σS , то результат измерений записывается с учетом только приборной погрешности в виде: α =αср ± ∆α .
8. Если обе погрешности одного порядка, то результат измерений записывают в
виде: α =αср ± 
(σS )2 +(∆αприб )2 .
7
9.Во всех случаях полученная величина абсолютной погрешности округляется до первой значащей цифры.
10.Окончательный результат измерений приводится в соответствии с полученной погрешностью: последний разряд измерения должен совпадать с последним разрядом погрешности. Предварительно произведенный примерный расчет среднего арифметического значения измеряемой величины должен быть уточнен в соответствии с рассчитанной погрешностью, т. е. в нем должно быть добавлено соответствующее количество разрядов, либо произведено округление до разряда, соответствующего разряду погрешности. Например, если подсчитанная погрешность равна 0,0023, а предварительно рассчитанное среднее арифметическое равно 3,442, тогда, округлив погрешность до величины 0,002, мы должны окончательный результат измерения записать в виде:α = (3,442 ± 0,002) ед. измер.
II. Косвенные измерения.
1.Расчет относительной и абсолютной погрешности при косвенных измерениях производится по формулам, которые можно получить, используя правила, описанные выше. Как правило, сначала подсчитывается относительная погрешность косвенно измеряемой величины, используя которую легко получить абсолютную погрешность: ∆А = ε Аср .
2.Формула для расчета относительной погрешности косвенно измеряемой величины содержит в качестве слагаемых:
- относительные погрешности непосредственно измеряемых величин; - относительные погрешности универсальных постоянных (π,е и т.д.);
-относительные погрешности величин, значения которых берутся из справочников;
-относительные погрешности величин, значения которых заданы на установках. 3. Правила расчета всех этих погрешностей отличаются друг от друга. Однако при суммировании всех этих погрешностей следует исходить из общих правил: а) Относительная погрешность непосредственно измеренных величин должна быть одного порядка с относительной погрешностью наиболее грубо измеренной величины. Если она на порядок меньше, то ею пренебрегают. Этого не нужно делать лишь в том случае, когда таких слагаемых много.
б) В значении универсальной постоянной (π,е и др.) нужно взять столько
значащих цифр, чтобы относительная погрешность этой постоянной, получающаяся в результате отбрасывания остальных значащих цифр, оказалась на порядок меньше, чем суммарная относительная погрешность непосредственно измеренной величины. Например, рассмотрим универсальную постоянную π = 3,14159…. Если суммарная относительная погрешность непосредственно измеряемых величин составляет ε = 0,01, то надо взять значение π = 3,14, тогда ∆π = 0,002 и ∆ππ = 03,002,14 ≈ 0,001, т. е. на порядок меньше, чем ε . Такие же
рассуждения следует применять для величин, значения которых берутся из справочных таблиц.
8
в) Значения величин, заданные на измерительных установках, входящие в расчетную формулу, обычно даются с таким количеством значащих цифр, в которых учтена суммарная погрешность, поэтому в качестве абсолютной погрешности для этих величин берут 5 единиц разряда, следующего за последним. Например, на установке дана некоторая величина М = 6,5. Для абсолютной погрешности этой величины следует взять значение ∆М = 0,05.
4. Получив окончательный результат суммирования относительных погрешностей величин, входящих в расчетную формулу, вычисляют абсолютную погрешность ∆А для косвенно измеренной величины А и записывают результат в виде: А = Аср ± ∆А.
Графическая обработка результатов опытов
Основной целью графической обработки результатов эксперимента является, как правило, наглядность их представления и возможность на графике сравнить экспериментальные данные с теоретической кривой.
Кроме того, часто графики используют для определения некоторых величин, а также для того, чтобы установить эмпирические соотношения между величинами.
При составлении графиков следует соблюдать некоторые правила, благодаря которым они дают правильное представление о наблюдаемых зависимостях между физическими величинами и, вместе с тем, удобны для использования.
График строится в карандаше на листе миллиметровой бумаги размером не менее 80×80 мм. Обычно для вычерчивания графиков используется прямоугольная система координат. По оси абсцисс принято откладывать независимую переменную, т. е. величину, которую задает сам экспериментатор, а по оси ординат – ту величину, которая определяется в ходе эксперимента.
Масштаб по осям выбирают исходя из следующих соображений:
-на графике должны быть показаны все экспериментальные точки, или по крайней мере большинство из них; при выборе масштаба необходимо учесть соответствие минимальных делений шкал осей значению доверительного интервала, т.е. погрешности, чтобы не было излишнего разброса экспериментальных точек или их излишней скученности (тогда не удается установить вид зависимости); график также не должен быть излишне растянутым;
-начало координат не обязательно должно совпадать с нулевым значением отображаемых величин; в начале координат может стоять любое целое число, ближайшее к наименьшему значению измеренных величин;
-масштабы должны быть простыми, обычно их выбирают прямо из рядов:
0 1 2 3 4 ….; 0 2 4 6 …; 0 5 1 0 15 20 …; 0 25 50 75 100 …
или же из этих же рядов, но с добавлением множителя, например, 10n (обычно n Z) к числам ряда, при этом множитель указывается один раз вверху на соответствующей оси в виде Y 10n, ед.измер., а числа ряда на оси указываются уже без множителя.
9
Оси графика должны содержать название или символ и единицы измерения откладываемых по ним величин. Экспериментальные точки, относящиеся к разным условиям (веществам и т.д.) одного и того же эксперимента изображают разными знаками (кружки, треугольники, квадраты и т.д.).
Обычно измеряемые величины не изменяются скачком, в этих случаях соединять экспериментальные точки ломаной кривой недопустимо. Проводится «плавная» экспериментальная кривая, такая, чтобы наибольшее число точек лежало на кривой, а разброс остальных точек (характеризующий доверительный интервал) по обе стороны от кривой был приблизительно одинаков. Пример правильного построения графика приведен на рисунке 1.
Рис.1 Пример построения графика.
Контрольные вопросы по погрешностям при физических измерениях
1.Назовите причины возникновения погрешностей.
2.Какие бывают погрешности по своей природе?
3.Что называется случайной погрешностью? систематической погрешностью?
4.Какие погрешности называются методическими? приборными?
5.Как проявляют себя погрешности разных видов?
6.Что называется доверительным интервалом?
7.Дайте определение понятия «надежности».
8.В каких случаях берут случайную погрешность, а не приборную (или наоборот)?
9.Как определяется погрешность величин, заданных на установках?
10.Что такое погрешность округления табличных величин? Приведите пример. 11.С каким числом знаков в расчете следует брать такие числа, как π, е …? 12.Запишите правильно результат следующего измерения: l = (8,6875±0,158) м. 13.Сформулируйте общее правило нахождения погрешностей при косвенных
измерениях.
14.Что такое класс точности измерительного прибора?
10
Контрольные вопросы к фронтальной лабораторной работе
1.Как определяется приборная погрешность линейки, штангенциркуля, микрометра, миллиамперметра, вольтметра?
2.Расскажите о методике измерения удельного сопротивления, используемой в данной работе.
3.Объясните вывод рабочих формул и формул для расчета погрешностей измерений.