ЛАБ.РАБ / lab_9
.pdf
Лабораторная работа ¹ 9.
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ И МОМЕНТА ИМПУЛЬСА С ПОМОЩЬЮ БАЛЛИСТИЧЕСКОГО МАЯТНИКА.
I. Цель работы: ознакомление с принципом работы баллистического крутильного маятника; определение скорости полета пули, попавшей в него.
II. Описание установки.
Общий вид баллистического крутильного маятника представлен на рисунке. К кронштейну 1 прикреплены: стреляющее устройство 2, прозрачный экран с нанесенной на него угловой шкалой 3 и фотоэлектрический датчик 4. Маятник состоит из двух мисочек, наполненных пластилином 5, двух перемещаемых грузов 6, двух стержней 7 и заслонки 8.
5 |
6 |
2 |
|
7 |
|||
|
|
||
1 |
8 |
3 |
|
4 |
|||
|
|
9 |
2
Если освободить пулю от стреляющего устройства, то она вклеится в пластилин, находящийся в мисочках крутильного маятника, и вызовет отклонение последнего на некоторый угол от положения равновесия. Кинетическая энергия маятника, полученная им от пули, постепенно будет переходить в потенциальную энергию упругой деформации закручивающейся нити.
Затем начнется процесс перехода потенциальной энергии в кинетическую и т.д. Маятник будет совершать гармонические крутильные колебания, период которых значительно больше времени соударения.
Угол отклонения маятника считывают с угловой шкалы 3. Число колебаний и время определяется миллисекундомером 9.
III. Методика измерений и расчетные формулы. Систему пуля - маятник можно считать замкнутой.
Применим к ней закон сохранения момента импульса:
mvr = ( J ï + J )ω0 ,
ãäå m è v - масса и скорость пули соответственно; r- расстояние от оси вращения маятника до центра масс пули в месте ее вклеивания; J n - момент инерции пули относительно оси вращения маятника; J- момент инерции маятника при некотором расположении грузов на нем; ω0 - начальная угловая скорость маятника.
Поскольку J n |
<< J, òî |
||
v = |
Jω0 |
. |
(1) |
|
|||
mr
Из (1) следует, что для определения скорости пули необходимо найти момент инерции и начальную угловую скорость маятника, т.к. величины m è r могут быть непосредственно измерены.
Для определения ω0 воспользуемся законом сохранения механической энергии и основным законом динамики для вращательного движения.
Маятник будет совершать колебания под действием упругого момента нити, пропорционального углу поворота маятника α:
M = −kα,
|
|
|
|
3 |
|
|
|
ãäå k - коэффициент пропорциональностиr |
(модуль |
||||||
кручения). Знак "-" указывает на то, что M направлен в сторону, |
|||||||
|
|
|
|
|
r |
|
|
противоположную направлению вектора a отклонения |
|||||||
маятника. |
|
|
|
|
|
|
|
Элементарная работа против сил упругости по |
|||||||
закручиванию нити на малый угол da равна |
|
|
|||||
dA = M ×da = k ×a ×da. |
|
|
k ×a2 |
|
|
||
|
|
|
|
|
. |
|
|
После интегрирования получаем,что A = |
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Если пренебречь незначительными потерями на трение, то |
|||||||
можно записать |
J |
|
|
|
|
|
|
k ×a2 |
J ×w2 |
= |
a |
max , |
|
(2) |
|
max = |
0 |
èëè |
|
|
|||
2 |
2 |
k |
|
w0 |
|
|
|
ãäå a max - максимальный угол отклонения маятника от |
|||||||
положения равновесия. |
|
|
|
|
|
||
По закону динамики для вращательного движения |
|
||||||
M = Je èëè J × |
d 2a |
|
|
|
|
|
|
+ k ×a = 0. |
|
|
|||||
|
|
dt 2 |
|
|
|
|
|
Частным решением этого уравнения является |
|
|
|||||
|
|
æ |
|
|
k |
|
ö |
|
|
||||||
|
|
ç |
|
|
÷ |
|
|
||||||||
a = a |
|
×t |
|||||||||||||
0 ×cosç |
|
|
|
÷ , |
|
|
|||||||||
|
|
è |
|
|
J |
ø |
|
|
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. |
|||||||||||||||
Величина |
|
|
|
|
k |
в последнем выражении является циклической |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
J |
|
|
|
|
2p |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
частотой |
колебаний, |
|
которая по определению равна w = |
|
. |
||||||||||
|
|
||||||||||||||
T
Таким образом, маятник будет совершать гармонические колебания с периодом
T = 2p |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
. |
(3) |
|||
|
|||||||
|
|
|
k |
|
|
||
Подставив в формулу (3) выражение для |
|
из формулы |
|||||
J / k |
|||||||
(2), получим следующее выражение для начальной угловой скорости маятника
|
|
|
4 |
|
2p |
|
|
w0 = |
|
×a max . |
(4) |
|
|||
|
T |
|
|
Если на стержне маятника закреплены 2 груза, причем расстояние R1 от оси маятника до центра масс каждого груза значительно больше размеров груза, то момент инерции системы будет равен
J |
1 |
= J |
0 |
+ 2m R2 |
, |
(5) |
|
|
|
1 |
1 |
|
|
||
ãäå m1 - масса одного груза; J 0 - момент инерции маятника без грузов.
При изменении положения грузов момент инерции
изменится и будет равен |
|
|
(6) |
|||||||||||||||
J |
2 |
= J |
0 |
+ 2m R |
2 , |
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
ãäå R2 - новое расстояние от центра масс каждого груза до |
||||||||||||||||||
оси вращения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Исключив J 0 из формул (5) и (6), получим |
(7) |
|||||||||||||||||
J |
2 |
= J |
1 |
+ 2m ( R2 |
- R2 ). |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
|||||
Теперь воспользуемся формулой (3), переписанной в виде: |
||||||||||||||||||
T22 ×k = 4p2 J 2 . |
|
|
|
|
|
|
(8) |
|||||||||||
Подставив выражение (7) в (8), получим: |
(9) |
|||||||||||||||||
T |
2 |
×k = 4p2 ( J |
1 |
+ 2m ( R |
2 |
- R2 )). |
||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
|
|||
Коэффициент k можно выразить из формулы (3): |
|
|||||||||||||||||
k = 4p2 |
|
|
J1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
T 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подставив k в равенство (9), получим |
|
|||||||||||||||||
J |
|
|
2m ( R2 - R2 ) |
|
|
|
||||||||||||
1 |
= |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
|
, |
|
|
(10) |
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
æ |
|
T2 |
|
ö |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
ç T |
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
è 1 |
|
ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
ãäå T1 è T2 - периоды колебаний маятника для расстояний R1 |
||||||||||||||||||
è R2 соответственно. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
Аналогично можно получить формулу: |
|
|||||||||||||||||
J |
|
|
2m ( R2 - R2 ) |
|
|
|
||||||||||||
2 |
= |
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
. |
|
|
(11) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
æ |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
T1 |
ö |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
1-ç |
|
|
÷ |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
è T2 ø |
|
|
|
|
|
|
|||||
5
IV. Порядок выполнения работы.
1. Максимально приблизить грузы к оси маятника ( R1 = Rmin ), но так, чтобы R1 было существенно больше размера груза. Измерить R1 .
2.Обнулить, если это необходимо, маятник: черта на мисочке должна показывать угол a = 0.
3.Выстрелить пулю из стреляющего устройства и измерить
максимальный угол отклонения маятника a max от положения равновесия, а также расстояние от оси вращения до места
вклеивания пули r. Опыт повторить 3 - 5 раз.
4.Нажать кнопку "Сеть".
5.Отклонить рукой маятник на небольшой угол a << a max , нажать кнопку "Сброс" и отпустить маятник.
6.Измерить время t десяти колебаний: кнопку "Стоп" нажать в момент появления на счетчике периодов цифры "9".
7.Повторить измерения по п.п. 5, 6 не менее 5 раз.
8. Максимально |
отдалить |
грузы от оси колебаний |
|||
( R2 = Rmax ). Измерить R2 . |
|
|
|||
9. Повторить п.п. 2-7. |
|
|
|||
V. Таблицы результатов измерений. |
|||||
1. Данные установки: |
|
|
|||
Масса груза |
m1 = |
; |
Dm1 = |
. |
|
Масса пули |
m = |
; |
Dm = |
. |
|
2. Измерение R, r è a max (две серии опытов): |
|||||
DR1 = DR2 = |
|
|
|
|
|
( Dr )ï ðèá |
= |
|
|
|
|
( Da)ï ðèá |
= |
|
|
|
|
Расчет: ( Dr )ñë =
( Da max )ñë =
3. Измерение периода колебаний (две серии опытов). ( Dt )ï ðèá = 5×10−4 ñ
Расчет: ( Dt )ñë =
6
t T = .
n
t T = .
n
|
|
|
1-я серия опытов |
|
2-я серия опытов |
||||||
¹ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
R1 = L ± L |
|
|
R2 = L ± L |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
α1 |
|
Δα1 |
t1 |
t1 |
α 2 |
|
Δα 2 |
t2 |
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ñð. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
окончателные результаты |
α1 |
= |
L ± L |
t1 = L ± L |
α 2 = |
L ± L |
t2 = L ± L |
||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 = L ± L |
|
|
T2 = L ± L |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
VI. Обработка результатов измерений.
1.Используя формулу (4), определить угловую скорость для каждой серии опытов.
2.Рассчитать погрешность Δω0 (для каждой серии опытов)
по формуле |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
ω0 |
= |
T |
+ |
α |
+ |
|
π |
. |
|
|
|
α |
|
|
||||
|
ω0 |
T |
|
|
π |
||||
3. Записать окончательный результат в виде |
|||||||||
ω01 = L ± L |
; |
|
ω02 = L ± L . |
||||||
7
4. По формулам (10) и (11) рассчитать моменты инерции J1
è J 2 .
5. Рассчитать погрешность DJ1 = DJ 2 = DJ, используя формулу:
DJ Dm 2 ×( R ×DR + R ×DR ) 2 ×DT 2 ×(T ×DT + T ×DT )
1 = 1 + 2 2 1 1 + 1 + 2 2 1 1
J |
1 |
m |
R2 |
- R2 |
T |
T |
2 |
-T 2 |
|
1 |
2 |
1 |
1 |
|
2 |
1 |
|
|
|
6. Записать окончательный результат в виде |
|
|
|
|||
|
|
J1 = L ± L ; |
J 2 = L ± L . |
|
|
|
||
7.По формуле (1) рассчитать отдельно для каждой серии опытов скорость пули, используя данные расчета п.п. 3 и 6. Найти среднее значение vñ ð .
8.Рассчитать погрешность Dv (для каждой серии опытов)
по формуле: |
|
Dw |
Dm |
|
Dr |
||||||
|
Dv |
|
DJ |
|
|
||||||
|
|
= |
|
+ |
|
+ |
|
|
+ |
|
. |
|
v |
J |
|
m |
|
||||||
|
|
|
w |
|
r |
||||||
Найти среднее значение: vñ ð .
9. Записать окончательный результат в виде:
vñ ð = vñ ð ± Dvñ ð .
10. Сделать вывод о качестве проведенных опытов.
Контрольные вопросы.
1.Какие законы сохранения используются в данной работе? (Сформулировать их и указать условия применимости каждого).
2.Какие колебания называются гармоническими?
3.Что такое циклическая частота? период? От каких параметров колеблющейся системы они зависят?
4.Какие силы участвуют в создании гармонических колебаний крутильного маятника?
5.Как рассчитывается момент инерции системы?
6.Каким способом меняется момент инерции?
7.Объясните результаты Ваших опытов.
8.Поясните вывод формул (1),(4),(10) и (11).