2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим частные случаи уравнения (2.2), допускающие понижение порядка.

1) Уравнение вида.

Решение этого уравнения находится - кратным интегрированием.

Пример 1. Решить д.у. .

Решение: Интегрируя, получаем

,

.

Общее решение д.у.: .

Ответ: .

2) Д.у., не содержащее явно искомой функции , т.е. уравнение вида

Порядок такого уравнения можно понизить, вводя новую неизвестную функцию , тогда. Получаем уравнение первого порядка. Решив его, получаем второе уравнение первого порядка.

Пример 2. Найти общее решение д.у. .

Решение: Обозначив , тогдаи. Получили однородное уравнение первого порядка. Полагая, имеем. Еслитои. Другие решения получаем приразделяя переменные и интегрируя, имеем

где . Тогда.

Далее ,

- общее решение.

Ответ: .

3) Д.у., не содержащие явно независимой переменной, т.е. уравнение вида .

Уравнения этого типа допускают понижение порядка, если положить , где– новая искомая функция нового переменного. По правилу дифференцирования сложной функции получим

.

Порядок уравнения понижается на единицу, т.е. приходим к уравнению первого порядка: .

Если - решение этого уравнения, то для нахождениярешаем второе уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

.

Пример 3. Найти общее решение д.у. .

Решение: Т.к. в уравнении отсутствует независимая переменная , то, полагая,, получаем

.

Разделив переменные и интегрируя

, ,

, ,

, получаем общее решение д.у.:

.

Ответ: .

2.3. Линейные дифференциальные уравнения второго порядка.

Линейным д.у. второго порядка называется уравнение вида

(2.6.)

где функции заданы на интервале.

При дляполучаем

(2.7)

Это линейное однородное уравнение второго порядка, соответствующее неоднородному уравнению (2.6).

Если - частные решения уравнения (2.7), то любая их линейная комбинация, где, является решением (2.7).

Определение. Две функции линейно независимы в интервале, если их отношение не является постоянной величиной, т.е.

Определение. Любая система из двух линейно независимых решений уравнения (2.7) называется фундаментальной системой решений (Ф.С.Р.) Пусть– фундаментальная система решений, тогда общее решение имеет структуру

(2.8)

гдеи- произвольные постоянные.

2.4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами

Рассмотрим уравнение(2.9)

где .

Найдем решение д.у. (2.9) в виде , получаем. Т.к., то для нахождения решения выпишем квадратное уравнение, которое называется характеристическим для уравнения (2.9)

.

Пусть , т.е.– действительные и различные, тогда частные решения,будут составлять Ф.С.Р., и общее решение находим по формуле (2.8):

.

Если , т.е., то,составляют Ф.С.Р. и общее решение имеет вид

.

Если корни уравнения (2.9) являются комплексно сопряженными,и частные решения имеют вид

, .

Общее решение записывается по формуле (2.8):

.

Пример 1. Найти общее решение д.у. .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем Ф.С.Р.

уравнения: ,.

Тогда общее решение: .

Ответ:.

Пример 2. Найти общее решение д.у. .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем Ф.С.Р

уравнения: ,.

Тогда общее решение .

Ответ: .

Пример 3. Найти общее решение д.у. .

Решение: Составим характеристическое уравнение и найдем Ф.С.Р

уравнения: ,.

Тогда общее решение .

Ответ: .