Задание к лабораторной работе №4

Дана электрическая схема, показанная на рисунке 36. Значения параметров схемы известны и указаны в таблице 14. Используя закон Ома рассчитать величину тока в электрической цепи, величину падения напряжения на каждом элементе схемы и построить векторные диаграммы для последовательного соединения:

а) резистора,

б) резистора и индуктивности,

в) резистора и конденсатора,

г) резистор, индуктивности и конденсатора.

Рисунок 36 Последовательная цепь переменного тока

Таблица 14 Исходные данные для лабораторной работы №3

Вариант	, В	, Гц	, Ом	, мГн	, мкФ
1	40	100	25	80	12
2	25	60	12	110	20
3	12	200	15	45	80
4	34	120	37	70	14
5	26	50	5	85	150
6	10	70	25	80	19
7	18	150	32	100	200
8	20	130	21	120	21
9	16	80	13	75	23
10	38	30	8	90	30
11	45	90	10	125	25
12	30	180	18	130	20
13	50	110	4	65	600
14	48	40	16	130	450
15	21	140	30	140	200

Порядок выполнения работы

1. В соответствии с вариантом задания, вручную рассчитайте значение протекающего тока и величины падений напряжений для каждого из случаев. Для того, чтобы исключить какой-либо элемент из схемы, его нужно шунтировать при помощи ключа.

2. Ознакомьтесь с применяемым оборудованием, соберите аналогичную электри­ческую цепь в Multisim, подключите измерительные приборы и занесите результаты измерений токов и напряжений в таблицу 15.

3. Сравните результаты моделирования схемы с данными, рассчитанными вручную.

Таблица 15 Результаты эксперимента

№	Цепь	Расчетные значения
		,А	, В	,В	,В
1	R
2	RL
3	RC
4	RLC
№	Цепь	Результаты моделирования
		,А	, В	,В	,В
1	R
2	RL
3	RC
4	RLC

4. Постройте векторную диаграмму для каждого из случаев.

5. Сделайте выводы о проделанной работе.

Пояснения к работе

Электрические цепи, в которых значения и направления ЭДС, тока и напряжения изменяются во времени, называются цепями переменного тока. Если эти изменения подчиняются синусоидальному закону, то электрическую цепь называют цепью синусоидального тока. Генераторы электрических станций устроены таким образом, что возникающая в их обмотках ЭДС изменяется именно по синусоидальному закону. Синусоидальная ЭДС в линейных цепях, где содержаться резистивные, емкостные и индуктивные элементы, возбуждает ток, изменяющийся по закону синуса.

Уравнением и графиком задаются все характеристики синусоидально изменяющейся величины: амплитуда, угловая частота, начальная фаза, период, частота и для любого момента времени мгновенное значение. Ниже даны определения этих характеристик применительно к синусоидальному току.

Мгновенное значение тока – это значение тока в рассматриваемый момент времени. Мгновенное значение определяется формулой (4) при подстановке в него конкретного значения времени.

Период Т – наименьший промежуток времени, по истечении которого мгновенные значения периодического тока повторяются.

Частота - величина обратная периоду. Она показывает число периодов переменного тока в секунду. Частота измеряется в герцах (Гц).

Амплитуда Im – наибольшее значение, которое принимает ток в течение периода.

Фаза (фазовый угол ) – угловая величина аргумента синусоидального тока, отсчитанная от ближайшей предшествующей точки перехода этого тока через ноль к положительному значению. Фаза в любой момент времени определяет стадию гармонического изменения синусоидального тока.

Начальная фаза - значение фазы синусоидального тока в начальный момент времени.

Угловая частота - это скорость изменения фазового угла. За время одно периода Т фазовый угол равномерно изменяется на,поэтому

Для упрощения анализа и расчета цепей переменного тока целесообразно использовать векторы.

Рассмотрим представление синусоидальных величин при помощи вращающихся векторов. В электротехнике с помощью векторов изображают синусоидально изменяющиеся ЭДС, напряжения и токи, но в отличие от векторов, которыми изображались силы и скорости в механике, эти векторы вращаются с постоянной угловой частотой против хода часовой стрелки.

Предположим, что ток задан уравнением

(4)

Выберем две взаимно перпендикулярные оси и из точки их пересечения проведем вектор, длина которого равна . Направление вектора выберем так, чтобы с положительным направлением горизонтальной оси вектор составлял угол, равный начальной фазе (рисунок 37).

Рисунок 37 График синусоидально изменяющейся величины

Проекция этого вектора на вертикальную ось определяет мгновенное значение тока в начальный момент времени:

.

Вектор Im вращается против хода часовой стрелки с угловой скоростью, равной угловой частоте .Его положение в любой момент времени определяется углом .

Тогда мгновенное значение тока для произвольного момента времени можно определить проекцией вращающегося вектора Im на вертикальную ось в этот момент времени. Например, для .

Мы получили такое же уравнение, каким был задан переменный ток, что свидетельствует о возможности изображения синусоидального тока вращающимся вектором.

В процессе расчета электрической цепи переменного тока определяется ряд синусоидальных величин. Все их можно изобразить на одном чертеже при помощи вращающихся векторов. При этом, совокупность векторов, изображающих на одном чертеже несколько синусоидальных величин одинаковой частоты в начальный момент времени, называется векторной диаграммой.

Например, ток и напряжение в электрической цепи выражаются уравнениями:

, .

Векторная диаграмма такой цепи показана на рисунке 38.

Рисунок 38 Векторная диаграмма тока и напряжения

Простота и наглядность векторных диаграмм – не единственное и не главное достоинство этого способа представления синусоидальных величин. Пусть требуется сложить два тока, заданных уравнениями:

,

.

Выражение суммы

оказывается громоздким, из него не видны значения амплитуды и начальной фазы результирующего тока. Очень просто сложение и вычитание синусоидальных величин осуществляется по правилам сложения и вычитания векторов. Сложим два заданных тока по правилу сложения векторов (рисунок 39).

Рисунок 39 Сложение векторов

Изобразим токи в виде векторов. Результирующий вектор найдем как диагональ параллелограмма, построенного на слагаемых векторах.

Обычно векторные диаграммы строят не для амплитудных, а для действующих значений. Как известно, синусоидальный ток, протекающий через резистор, вызывает его нагрев. Такую же тепловую энергию в этом же резисторе можно получить при некотором постоянном токе. Определенное посредством такого сравнения значение постоянного тока называется действующим значением синусоидального тока. Например, если синусоидальный ток нагревает некоторые резистивный элемент так же, как его нагрел бы постоянный ток 8А, то действующее значение синусоидального тока равно 8А.

При синусоидальном токе за один период Т в резисторе с сопротивлением R выделяется тепловая энергия:

,

где i– мгновенное значение синусоидального тока.

Согласно определению действующего значения синусоидального тока, такое же количество теплоты в том же резисторе должно выделяться при постоянном токе за тот же промежуток времени Т:

.

Следовательно

Из последнего уравнения находим действующее значение синусоидального тока:

Тогда если ,то

Аналогично определяется действующее значение синусоидального напряжения.

В общем случае электрическая цепь переменного тока может содержать резистивные, индуктивные и емкостные элементы, параметрами которых являются сопротивление ,индуктивность и емкость, соответственно. Если через резистивный элемент сопротивлением протекает переменный электрический ток величиной ,то он вызывает на этом элементе падение напряжения ,рассчитываемое по формуле закона Ома:

Если переменный ток будет протекать либо через индуктивность ,либо через емкость С, то он вызовет на каждом из этих элементов падение напряжения:

-для катушки индуктивности,

- для емкости.

Возникающие при этом ЭДС самоиндукции в катушке и напряжение на конденсаторе, как это вытекает из вышеприведенных формул, также изменяется по синусоидальному закону, так как производная синусоидальной функции есть функция синусоидальная. Таким образом, режимы работы цепи переменного тока определяется не только сопротивлением, но индуктивностью и емкостью.

Рассмотрим цепь, содержащую только резистивный элемент с активным сопротивлением .Под активным сопротивлением понимается сопротивление проводников переменному току. Мгновенное значение тока в цепи с активным сопротивлением определяется по закону Ома (рисунок 40а):

.

Рисунок 40 Резистивный элемент в цепи переменного тока

Выразив через амплитудное значение, получим

или

Разделив правую и левую части последнего уравнения на ,получим закон Ома для цепи с активным сопротивлением, выраженный через действующие значения напряжения и тока:

Для электрической цепи переменного тока, содержащей только резистивный элемент, ток и напряжение совпадают по фазе. Векторная диаграмма цепи для действующих значений тока и напряжения показана на рисунке 40б. На рисунке 40а показан график мгновенных значений тока и напряжения и их векторное представление через амплитудные значения.

Пример. На рисунке 41а изображена электрическая цепь с резистором. Используя закон Ома рассчитать величину тока в электрической цепи и построить векторную диаграмму, если R=5 Ом, f=150 Гц. Амплитудное значение напряжения, приложенного к схеме, равно 10 В, а фаза.

Решение. Напряжение, приложенное к схеме, изменяется по закону , т.е..С помощью закона Ома найдем значение силы тока

.

Т.е. формула для силы тока имеет вид: ,

где 2 А,942 рад/с.

Действующие значения напряжения и силы тока соответственно равны 7,09 В, 1,42 А. Построим векторную диаграмму, учитывая что начальная фаза синусоидального сигнала равна(рисунок 41б).

Рисунок 41 Электрическая схема с резистором и векторная диаграмма

Проверим правильность расчетов с помощью Multisim 7 (рисунок 42).

Рисунок 42 Модель схемы с использование элемента AC Power Source

Для построения схемы нужен источник переменного напряжения. В Multisim 7 есть два похожих источника переменного напряжения. Первый из них – AC Power Source, расположен на панели Виртуальных инструментов в группе Источники электрической энергии (Power Source Components) - . Второй – AC Voltage Source, расположен также на панели Виртуальных инструментов, но в группе Источники сигнала (Signal Source Components) - . Оба вида источников переменного напряжения обозначаются -, но между ними есть отличия. Расположите оба компонента в рабочем полеMultisim. Дважды щелкнув левой кнопкой мыши на изображении AC Power Source, откроем диалоговое окно (рисунок 43).

Рисунок 43 Диалоговое окно настройки элемента AC Power Source

В поле «Voltage(RMS)» следует вводить действующее, а не амплитудное значение напряжения. В нашем случае нужно ввести 7,09 В, которое вычисляется через амплитудное следующим образом: 7,09 В, гдеEm – амплитудное значение напряжения.

В поле «Frequency» следует вводить значение частоты сигнала напряжения. В нашем случае частота напряжения равна 150 Гц.

В поле «Phase» следует вводить значение начальной фазы сигнала напряжения. В нашем случае начальная фаза равна .

Закройте диалоговое окно настройки элемента AC Power Source и дважды щелкните на элементе AC Voltage Source – откроется диалоговое окно, показанное на рисунке 44.

Рисунок 44 Диалоговое окно настройки элемента AC Voltage Source

Для данного элемента в поле «Voltage [Pk]» нужно вводить амплитудное значение напряжения. В нашем случае амплитуда напряжения равна 10 В и чтобы измерительные приборы показали те же значения, что и в предыдущем случае, нужно ввести именно его (рисунок 45).

Рисунок 45 Модель схемы с использованием элемента AC Voltage Source

Подытожим: разница между элементами AC Power Source и AC Voltage Source заключается в том, что для получения двух эквивалентных схем, для AC Power Source нужно указывать действующее значение напряжения, а для AC Voltage Source – амплитудное.

После указания настроек источника переменного напряжения необходимо установить режим измерения для измерительных приборов – вольтметра и амперметра. Дважды щелкните на изображении амперметра – появится диалоговое окно (рисунок 46).

Рисунок 46 Диалоговое окно настройки амперметра

В поле «Mode» необходимо выбрать режим АС – измерение переменного тока. То же самое нужно сделать и для вольтметра.

Запустите модель схемы. Как можно заметить измерительные приборы измеряют не амплитудные, а действующие значения тока и напряжения. Это следует помнить при решении задач и выполнении лабораторных работ.

Рассмотрим цепь, содержащую только индуктивный элемент с индуктивностью . Для выяснения процессов, происходящих в цепи с индуктивностью, допустим, что ток изменяется по формуле

.

Ток вызывает в индуктивности ЭДС самоиндукции

.

Уравнение, составленное по второму закону Кирхгофа для данной цепи, имеет вид

.

Следовательно, переменный синусоидальный ток вызывает на катушке индуктивности падение напряжения, которое можно рассчитать по формуле

(5)

Из последнего выражения можно сделать вывод о том, что ток в цепи с индуктивностью и напряжение на индуктивности изменяются по синусоиде. Однако, при этом напряжение опережает по фазе ток на угол . Векторная диаграмма цепи с индуктивностью и графики мгновенных значений тока и напряжения показаны на рисунке 47.

Рисунок 47 Индуктивный элемент в цепи переменного тока

Как видно из выражения (5), напряжение и ток в цепи с индуктивностью связаны соотношением

Разделив левую и правую части последнего уравнения ,получим закон Ома для цепи переменного тока с индуктивностью, выраженный с помощью действующих значений тока и напряжения

,

где -индуктивное сопротивление, Ом.

Пример. На рисунке 48а изображена электрическая цепь с катушкой индуктивности. Используя закон Ома рассчитать величину тока в электрической цепи и построить векторную диаграмму, если L=10 мГн, f=50 Гц. Амплитудное значение напряжения, приложенного к схеме, равно 15 В, а фаза.

Решение. Напряжение, приложенное к схеме, изменяется по закону , т.е.. Найдем значение силы тока, протекающего через катушку индуктивности. Так как , то .

В нашем случае

или

..

Действующие значения напряжения и силы тока соответственно равны 10,64 В, 3,4 А. Построим векторную диаграмму для данного случая, учитывая начальный сдвиг фази то, что напряжение на индуктивности опережает ток на (рисунок 48б).

Рисунок 48 Электрическая цепь с индуктивностью

Рассмотрим цепь, содержащую только конденсатор с емкостью С.Из предыдущего материала известно, что ток, протекающий через емкость и напряжение на ней, связаны соотношением:

Тогда, если напряжение на емкости изменяется по синусоидальному закону, то величина тока определяется формулой:

Взяв производную от последнего выражения, найдем мгновенное значение тока в цепи с емкостью:

(6).

Из всего вышесказанного можно сделать вывод, что ток в емкости опережает напряжение на емкости оп фазе на .Векторная диаграмма и графики мгновенных значений тока и напряжения на емкости показаны на рисунке 49.

Рисунок 49 Емкостный элемент в цепи переменного тока

Из выражения (6) можно вывести закон Ома для цепи переменного тока, содержащей конденсатор:

Разделив левую и правую части последнего уравнения ,получим закон Ома для действующих значений тока и напряжения для цепи переменного тока с емкостью:

где -емкостное сопротивление, Ом.

Пример. На рисунке 50а изображена электрическая цепь с конденсатором. Используя закон Ома рассчитать величину тока в электрической цепи и построить векторную диаграмму, если С=200 мкФ, f=200 Гц. Амплитудное значение напряжения, приложенного к схеме, равно 5 В, а фаза.

Решение. Напряжение, приложенное к схеме, изменяется по закону , т.е.. Найдем значение силы тока, протекающего через конденсатор. Так как ,.то

или

.

Действующие значения напряжения и силы тока соответственно равны 3,55 В, 0,89 А. Построим векторную диаграмму для данного случая, учитывая начальный сдвиг фази то, что напряжение на конденсаторе отстает от тока на (рисунок 50б).

Рисунок 50 Электрическая цепь с конденсатором

Реальная катушка индуктивности любого электротехнического устройства обладает некоторым активным сопротивлением R и индуктивностью L. Для удобства анализа таких цепей катушку обычно изображают в виде последовательного соединения резистора и индуктивности (рисунок 51). Уравнение электрического равновесия для данной цепи, составленное по второму закону Кирхгофа, имеет вид:

Выразив напряжения и через ток , получим:

Несовпадение по фазе слагаемых в последнем выражении затрудняет определение амплитуды и действующего значения приложенного к цепи напряжения U. Поэтому воспользуемся векторным способом сложения синусоидальных величин.

Рисунок 51 Электрическая цепь с резистором и индуктивностью

Амплитуды составляющих общего напряжения равны

,,

а действующие значения

,

Вектор общего напряжения равен

Чтобы найти величину вектора построим векторную диаграмму (рисунок 52). За исходный вектор диаграммы примем вектор тока. Направление этого вектора совпадает с положительным направлением оси, от которой отсчитываются фазовые углы. Векторпо направлению совпадает с вектором тока,а вектор направлен перпендикулярно вектору тока.

Рисунок 52 Векторная диаграмма для цепи с L и R

Из диаграммы видно, что вектор тока отстает от вектора общего напряжения на угол>0, но <, а по величине равен гипотенузе прямоугольного треугольника, катетами которого являются векторы падения напряжения на резисторе и индуктивности. Исходя из вышесказанного имеем:

Последнее выражение можно переписать следующим образом

где -комплексное сопротивление цепи.

При токе уравнение напряжения может быть записано на основании векторной диаграммы

Пример. На рисунке 53а изображена электрическая цепь с резистором и катушкой индуктивности. Используя закон Ома рассчитать величину тока в электрической цепи, величину падения напряжения на каждом элементе схемы и построить векторную диаграмму, если L = 10 мГн, R=2 Ом, f=50 Гц. Амплитудное значение напряжения, приложенного к схеме, равно 10 В.

Решение. Напряжение, приложенное к схеме, изменяется по закону , т.е..

Реактивное сопротивление индуктивности равно

= 3,14 Ом.

Полное сопротивление цепи равно

3,72 Ом.

Амплитуда тока в цепи равна

2,69 А

Действующее значение тока определим по формуле

1,9 А.

Так как электрическая цепь представляет из себя последовательное соединение резистора и катушки индуктивности, то через них протекает один и тот же ток с действующим значением I=1,9 А. Найдем действующие значения падения напряжения на каждом элементе схемы.

= 3,8 В,

= 5,97 В,

Векторная диаграмма для действующих значений тока и напряжения имеет вид, показанный на рисунке 53б.

Рисунок 53 Электрическая цепь с резистором и индуктивностью

Проверим правильность расчетов с помощью Multisim 7 (рисунок 54):

Рисунок 54 Модель схемы с использованием элемента AC Power Source

В качестве источника переменного напряжения будем использовать элемент AC Power Source. Напомним, что для источника переменного напряжения AC Power Source указывается не амплитудное значение (в нашем случае 10 В), а действующее значение – 7,09 В.

Если бы вместо элемента AC Power Source мы использовали элемент AC Voltage Source, то электрическая схема имела бы вид (рисунок 55):

Рисунок 55 Модель схемы с использованием элемента AC Voltage Source

Рассмотрим электрическую цепь, состоящую из последовательного соединения конденсатора и резистора (рисунок 56а). В этом случае уравнение напряжений цепи имеет вид:

На рисунке 56б изображена векторная диаграмма для данной цепи. Вектор напряжения совпадает с вектором тока, а векторотстает от вектора тока на угол. Из диаграммы следует, что модуль напряжения, приложенного к цепи равен:

Рисунок 56 Электрическая цепь и векторная диаграмма для цепи с С и R

Последнее выражение можно переписать следующим образом

где -комплексное сопротивление цепи.

Из векторной диаграммы следует, что напряжение, приложенное к последовательному соединению конденсатора и резистора, отстает по фазе от тока на угол и его мгновенное значение равно

.

Пример. На рисунке 57а изображена электрическая цепь с резистором и конденсатором. Используя закон Ома рассчитать величину тока в электрической цепи, величину падения напряжения на каждом элементе схемы и построить векторную диаграмму, если С = 100 мкФ, R=10 Ом, f=200 Гц. Амплитудное значение напряжения, приложенного к схеме, равно 10 В.

Решение. Напряжение, приложенное к схеме, изменяется по закону , т.е..

Реактивное сопротивление конденсатора равно

= 7,96 Ом.

Полное сопротивление цепи равно

12,8 Ом.

Амплитуда тока в цепи равна

0,78 А

Действующее значение тока определим по формуле

0,55 А.

Так как электрическая цепь представляет из себя последовательное соединение резистора и конденсатора, то через них протекает один и тот же ток с действующим значением I=0,55 А. Найдем действующие значения падения напряжения на каждом элементе схемы.

= 5,5 В,

= 4,38 В,

Векторная диаграмма для действующих значений тока и напряжения имеет вид, показанный на рисунке 57б.

Рисунок 57 Электрическая цепь с резистором и конденсатором

Проверим правильность расчетов с помощью Multisim 7 (рисунок 58):

Рисунок 58 Модель схемы с использованием элемента AC Power Source

Рассмотрим электрическую схему, показанную на рисунке 59а.

Рисунок 59 Электрическая цепь и векторная диаграмма для цепи с L, С и R

Вектор напряжения на резисторе R совпадает с вектором тока, вектор напряжения на индуктивности опережает вектор тока на угол , вектор напряжения на емкостиотстает от вектора тока на угол. Следовательно, между векторами напряжения на индуктивности и емкости образуется угол.

Если , то векторная диаграмма будет иметь вид, показанный на рисунке 59б. Если же, то векторная диаграмма будет иметь вид, показанный на рисунке 59в.

Значение напряжения, приложенного к зажимам данной электрической цепи, определяется по формуле:

Последнее выражение можно переписать следующим образом

где -комплексное сопротивление цепи.

Если , то напряжение сети опережает по фазе ток на угол

.

Если , то напряжение сети отстает по фазе от тока на угол

.

Пример. На рисунке 60а изображена электрическая цепь с последовательно соединенным резистором, катушкой и конденсатором. Используя закон Ома рассчитать величину тока в электрической цепи, величину падения напряжения на каждом элементе схемы и построить векторные диаграммы, если С = 50 мкФ, L=20 мГн, R=10 Ом, f=150 Гц. Амплитудное значение напряжения Em, приложенного к схеме, равно 10 В.

Напряжение, приложенное к схеме, изменяется по закону , т.е..

Реактивное сопротивление индуктивности равно

= 18,84 Ом.

Реактивное сопротивление конденсатора равно

=21,23 Ом.

Полное сопротивление цепи равно

10,26 Ом.

Рисунок 60 Электрическая схема с L,R и C

Амплитуда тока в цепи равна

0,97 А

Действующее значение тока определим по формуле

0,69 А.

Так как электрическая цепь представляет из себя последовательное соединение резистора, катушки индуктивности и конденсатора, то через них протекает один и тот же ток с действующим значением I=0,69 А. Найдем действующие значения падения напряжения на каждом элементе схемы.

= 6,9 В,

= 12,99 В,

14,65 В.

Векторная диаграмма для действующих значений тока и напряжения имеет вид, показанный на рисунке 60б.

Угол сдвига фаз между током и напряжением равен

На основании полученных данных можно сделать вывод о том, что в данной электрической цепи ток опережает по фазе напряжение. Т.е. в схеме преобладает емкостная составляющая.

Проверим правильность расчетов, составив модель электрической цепи в Multisim (рисунок 61). Как видно из рисунка результаты расчета практически совпали с результатами моделирования. Погрешность измерений объясняется тем, что амперметры и вольтметры имеют некоторое внутреннее сопротивление (амперметры – 1нОм, вольтметры – 10 МОм) и, как следствие, вносят небольшие искажения. Напомним, что для того, чтобы амперметры и вольтметры показывали правильные значения тока и напряжения их нужно перевести в режим измерения переменного сигнала – АС-режим. Модель электрической схемы с использование в качестве источника переменного напряжения элемента AC Voltage Source показана на рисунке 62. Еще раз напомним, что для того, чтобы получить две полностью эквивалентные схемы, для элемента AC Power Source нужно указывать действующее значение напряжения, а для AC Voltage Source – амплитудное значение. Т.е. в нашем случае, чтобы амперметр показал ток 0,69 А, для элемента AC Power Source в поле «Voltage (RMS)» нужно вписать действующее значение переменного напряжения , равное 7,09 В, а для элементаAC Voltage Source в поле «Voltage [Pk]» - амплитудное значение 10 В.

Рисунок 61 Модель схемы с использованием элемента AC Power Source

Рисунок 62 Модель схемы с использованием элемента AC Voltage Source

Напомним еще раз, что измерительные приборы показывают действующие, а не амплитудные значения соответствующих величин.