Интегральный признак Коши.

Дан ряд с положительными членами , что() и функцияf(x) – положительная и убывающая, связанная с рядом равенством f(n)= . Тогда несобственный интегралисходится и расходится одновременно.

Доказательство:

f(n)=U_n

_n

S ступенчатой фигуры над рядом (f(x))

- n частичная сумма ряда.

S ступенчатой фигуры под графиком функции f(x)

- n+1 частичная сумма ряда.

очевидно неравенство

Пусть несобственный интеграл сходится

Из левой части <числа- ограничена сверху числом-сходится.

Пусть расходится из правой части (*)неограниченрядрасходится.

Конец доказательства.

Докажем, с помощью интегрального признака Коши, что обобщенно-гармонический ряд:

свяжем с эти рядом несобственный интеграл

(доказано в несобственном интеграле) исходный несобственный интегралсходится или расходится одновременно.

Примеры:

1)

2)

Знакочередующиеся числовые ряды

Ряд вида , гдеU_n>0 называется знакочередующимся числовым рядом. U_n – общий член. Положительный и отрицательный член ряда чередуются по знакам через один.

Для знакочередующихся числовых рядов справедлива теорема Лейбница – достаточное условие сходимости такого ряда.

Теорема Лейбница: Дан знакочередующийся числовой ряд - члены которого:

1) Убывают ()

2) , т.е

ряд сходится и его сумма S удовлетворяет неравенству 0<S< U₁

Доказательство:

Рассмотрим четную частичную сумму ряда:

>0

перепишем по другому

Последовательность четных частичных сумм возрастает и ограничена сверху U₁, поэтому существует (по теореме о предельном переходе в неравенствах: 0<S< U₁)

Рассмотрим нечетную частичную сумму ряда

перейдём к

Конец доказательства.

Следствие: т.к , где-n-ый остаток ряда, т.е. с помощью теоремы Лейбница появляется возможность оценить погрешность (остаток ) возникающую при замене суммы ряда его частичной суммой.

Т.к n остаток ряда - тоже является рядом из чередующихся чисел, то

Определение: Числовые ряды, в которых члены произвольны по знакам называется знакопеременными рядами. Знакочередующийся ряд является частным случаем знакопеременного ряда. Для знакопеременных рядов очень трудно установить сходимость, но можно рассмотреть ряд из модулей (отбросить знаки). Такой ряд будет знакоположительным.

Для знакопеременного ряда справедлива следующая теорема:

Пусть - знакопеременный числовой ряд. Ряд из- соответствующий ему ряд из модулей.

Если сходитсято итоже сходится.

Доказательство: обозначим- сумма положительных слагаемых

сумма отрицательных слагаемых.

n частичная сумма ряда из модулей.

Т.к ряд сходящийся, тои

Рассмотрим n частичную сумму ряда

- сходится.

Определение: Дан знакопеременный числовой ряд Если ряд из модулей-сходится, то знакопеременный ряд называетсяабсолютно сходящимся. Если -расходится, а рядвсе таки сходится, то знакопеременный ряд называетсяусловно сходящимся.

При исследовании знакопеременного ряда на абсолютную сходимость нужно проверить следующие условия:

1), если не стремится, то ряд расходится и исследование окончено.

2)На абсолютную сходимость

заменим рядом из модулей. К ряду из модулей можно применять I и II признаки сравнения, признаки Даламбера, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши.

Если ряд из модулей сходится, то исходный ряд сходится абсолютно. Исследование можно закончить.

3) На условную сходимость по теореме Лейбница: и

Примеры:

1)

2)

3)