- •«Национальный исследовательский ядерный университет «мифи»
- •Элементарные свойства рядов
- •Признаки сходимости
- •Числовые ряды с положительными членами
- •1Й признак сравнения
- •II признак сравнения (предельный)
- •Признак сходимости Даламбера
- •Радикальный признак Коши.
- •Интегральный признак Коши.
- •Знакочередующиеся числовые ряды
1Й признак сравнения
Дано 2 ряда с положительными членами(1) и(2) и начиная с некоторого номераN выполняется неравенство , тогда если (2)сходится то и (1) сходится. Если (1) расходится то и (2) тоже расходится, (ряд меньший сходящегося тоже сходится, ряд больший расходящегося тоже расходится).
Доказательство: Обозначим через -n – частичная сумма 1 ряда и -n – частичная сумма 2 ряда.
Т.к . Пусть 2 ряд сходится, тогда, причёмограничена сверху числом(1)сходится.
Пусть 1 ряд расходится , т.красходится.
Конец доказательство.
Замечание: при доказательстве этого признака мы считали, что неравенство выполняется с 1 номера. Этот факт не влияет на сходимость, т.к по свойству рядов отбрасываниеn – первых членов ряда на сходимость ряда не влияет.
Для сравнения необходим стандартный набор рядов, о сходимости всё известно. К таким рядам относятся:
Ряды для сравнения: | |
Ряды членов геометрической прогрессии: |
Обобщенно гармонический ряд: (строгое доказательство будет проведено после интегрального признака сходимости) |
Примеры:
1)
2)
3)
II признак сравнения (предельный)
Дано 2 ряда с положительными членами(1) и(2) и- число(1) и (2)сходятся и расходятся одновременно.
Доказательство:
- число по определению предела последовательности:
с которого
Пусть (2) сходится , тогда сходится и
Из правой частиследует, что (1) ряд меньше сходящегося рядапо 1 признаку сравнения(1) сходится
Пусть (2) расходится выберемнастолько малым, чтобыоставалось >0, для знакоположительности ряда- расходится. Из левой части (*)(1) ряд>ряда расходящегося поI признаку сравнения (1) ряд расходится.
Конец доказательства.
Примеры:
1)
2)
3)
Признак сходимости Даламбера
Дан ряд с положительными членами и
Если - сходиться
Если - расходиться
Если - вопрос о сходимости не решен.
Доказательство:
, начиная с которого
1) Пусть D<1 выберем настолько малым, чтобы
обозначим
рассмотрим правую часть
Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии , т.к. рядq<1этот рядсходится.
Т.к. исходный ряд меньше сходящегося ряда из членов меньшего ряда, то исходный ряд сходится по I признаку сравнения.
2) Пусть D>1 выберем настолько малым, чтобы>1<(D-)
из левой части >
следовательно, члены ряда растут не стремится к 0, ряд расходится по достаточному признаку расходимости.
3) D=1
Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда – расходится и- сходится.
Для D=
Для D=
При D=1 ряд может сходиться или расходиться и вопрос о сходимости ряда остается открытым.
Конец доказательства.
Примеры:
1)
2)
3)
Радикальный признак Коши.
Дан ряд с положительными членами и
Если - сходиться
Если - расходиться
Если - вопрос о сходимости не решен
Доказательство:
по определению , начиная с которого
1) Пусть С<1 выберем настолько малым, чтобы, тогда из правой части<, ряд, гдеq<1 сходится как ряд из членов геометрической прогрессии, со знаменателем <1, тогда исходный ряд сходится по I признаку сравнения, т.к его члены меньше членов сходящегося ряда.
2) Пусть С>1 выберем настолько малым, чтобы>1из левой части>;(q>1) расходится, как ряд из членов геометрической прогрессии, расходится по I признаку сравнения, т.к его члены больше членов сходящегося ряда.
3)С=1
Возьмем 2 обобщенно гармонических ряда – расходится (p=1) и -сходится (p=2>1) и покажем, что С=1.
Таким образом, при С=1 ряд может как сходится так и расходится.
Конец доказательства.
Примеры:
1)
2)
3)