- •«Национальный исследовательский ядерный университет «мифи»
- •Элементарные свойства рядов
- •Признаки сходимости
- •Числовые ряды с положительными членами
- •1Й признак сравнения
- •II признак сравнения (предельный)
- •Признак сходимости Даламбера
- •Радикальный признак Коши.
- •Интегральный признак Коши.
- •Знакочередующиеся числовые ряды
Министерство образования и науки российской федерации
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский ядерный университет «мифи»
Волгодонский инженерно-технический институт - филиал НИЯУ МИФИ
Конспект лекций
по теме:
«Числовые ряды»
Волгодонск
Числовые ряды
Определение: Рассмотрим бесконечную числовую последовательность:
числовым рядом называется выражение , где– общий член ряда.
Пример:
-знакоположительный ряд
-знакочередующийся ряд
Последовательность , где;;-последовательность частичных сумм ряда.
Каждая частичная сумма содержит конечное число слагаемых.
Числовой ряд называетсясходящимся, если существует конечный
, то ряд называется расходящимся и суммы S не имеют.
1)Рассмотрим ряд из членов геометрической прогрессии.
, где n – частичная сумма ряда - суммаn первых членов геометрической прогрессии.
Рассмотрим 3 случая:
1) геометрическая прогрессия убывающая.
сходится и имеет сумму
2)
3)
= не существует – ряд расходится.
Вывод: ряд из членов геометрической прогрессии сходится если и расходится
Элементарные свойства рядов
1) Если (1) сходится и имеет суммуS, то (2) тоже сходится, и имеет суммуCS, где С-const.
Доказательство: Пусть ,n– ая частичная сумма 1 ряда.
, n–ая частичная сумма 2 ряда.
Т.к 1 ряд сходится, то .
Рассмотрим (2) ряд сходится.
Конец доказательства.
2) Если (1) сходится с суммойS1, и (2) сходится с суммойS2.
тоже сходится с суммой .
Доказательство:
Обозначим -n – частичная сумма 1 ряда.
- n – частичная сумма 2 ряда.
Рассмотрим n-ую частичную сумму ряда
и сумма .
Конец доказательства.
3) Любой ряд может быть представлен в виде:
, где -n – частичная сумма
- n – остаток ряда.
n – остаток ряда тоже является рядом.
Если , то и его остатоктоже сходится.
Доказательство: доказательство этого факта следует из того, что сумма ряда и сумма его остатка отличаются друг от друга на конечное число cлагаемых.
Конец доказательства.
Следствие: на сходимость ряда не влияет отбрасывание или приписывание в начало ряда конечного числа членов, например: 1+3+9+27+…
Дописывание
: 1/9+1/3+1+3+9+27+.. отбрасывание:
1+3+5+7+9+11
4) Если сходится с суммойS.
Общий вывод: на практике необязательно выяснять сходимость ряда по определению (вычисляя сумму S). Достаточно просто знать сходится этот ряд или расходится, поэтому, основное место в теории рядов занимают теоремы – признаки сходимости, которые позволяют исследовать ряд на сходимость, не вычисляя его суммы.
Признаки сходимости
Необходимый признак сходимости:
Если сходится, то общий член
Доказательство: Пусть -n – частичная сумма.
- число.
При ,тожеи-n-1 – частичная сумма.
Она имеет предел .
Т.к
конец доказательства.
Необходимый признак сходимости неудобен на практике, т.к по поведению общего члена Un на бесконечности нельзя судить о сходимости ряда.
На практике удобно пользоваться достаточным признаком расходимости ряда:
Если не стремится к 0 при
Примеры:
1)
2)
Числовые ряды с положительными членами
Рассмотрим знакоположительный числовой ряд , где.Последовательность частичных сумм такого ряда будет всегда возрастающей:
На 1 курсе была доказана теорема о том, что: монотонно возрастающая последовательность, ограниченная сверху имеет конечный предел.
- число.
Для знакоположительного ряда достаточно доказать, что, последовательность частичных сумм ограничена сверху числом (возрастание и так есть).