Линейные дифференциальные уравнения высших порядков

Уравнение вида: называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка, гдеa₀,а₁,…а_n-функции переменной х или константы, причём a₀,а₁,…а_n и f(x) считаются непрерывными.

Если a₀=1(если то на него можно разделить)уравнение примет вид:

Если уравнение неоднородное.

уравнение однородное.

Линейные однородные дифференциальные уравнения порядка n

Уравнение вида: называются линейными однородными дифференциальными уравнениями порядкаn.

Для этих уравнений справедливы следующие теоремы:

Теорема 1: Если - решение , то сумма - тоже решение

Доказательство: подставим сумму в

Т.к производная любого порядка от суммы равна суме производных, то можно перегруппироватся , раскрыв скобки:

т.к y₁ и y₂ – решение.

0=0(верно)сумма тоже решение.

теорема доказана.

Теорема 2: Если y₀-решение , то - тоже решение.

Доказательство: Подставим в уравнение

т.к С выносится за знак производной, то

т.к решение, 0=0(верно)Сy₀-тоже решение.

теорема доказана.

Следствие из Т1 и Т2: если - решения (*)линейеая комбинация-тоже решение (*).

Линейно независимые и линейно зависимые системы функций. Определитель Вронского и его свойства

Определение: Система функций - называется линейно независимой , если линейная комбинациякоэффициенты.

Определение: Систему функций - называют линейно зависимой, еслии есть коэффициенты.

Возьмём систему двух линейно зависимых функцийт.кили- условие линейной независимости двух функций.

Примеры:

1)линейно независимы

2)линейно зависимы

3)линейно зависимы

Определение: Дана система функций - функций переменной х.

Определитель -определитель Вронского для системы функций.

Для системы двух функций определитель Вронского выглядит следующим образом:

Свойства определителя Вронского:

1. Если - линейно зависимы на [a;b]на этом отрезке.

2. Если - линейно независимые, решения дифференциального уравненияпри любых значениях х в области, где определены функции а₁…а_n

Теорема: Об общем решении линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка.

Если y₁ и y₂ – линейно независимые решения линейного однородного дифференциального уравнения 2 порядка, то

общее решение имеет вид:

Доказательство: - решение по следствию из Т1 и Т2.

Если даны начальные условия то идолжны находится однозначно.

- начальные условия.

Составим систему для нахождения и. Для этого подставим начальные условия в общее решение.

определитель этой системы: - определитель Вронского, вычисленный в точке х₀

т.к илинейно независимы(по 2⁰)

т.к определитель системы не равен 0, то система имеет единственное решение и инаходятся из системы однозначно.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядка n

(*)

Можно показать что уравнение имеет n линейно независимых решений

Определение: n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения порядкаn называется фундаментальной системой решения.

Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения порядкаn , т.е (*) – линейная комбинация фундаментальной системы решений:

, где - фундаментальная система решения.

Линейные однородные дифференциальные уравнения 2 порядка с постоянными коэффициентами

Это уравнения вида:, гдеp и g – числа(*)

Определение: Уравнение - называетсяхарактеристическим уравнением дифференциального уравнения (*) – обычное квадратное уравнение, решение которого зависит от D, возможны следующие случаи:

1)D>0 - два действительных различных решения.

2)D=0- один действительный корень кратности 2.

3)D<0- два комплексно сопряжённых корня.

Для каждого из этих случаев укажем фундаментальную систему решений, составленную из 2 функций и.

Будем показывать что:

1) и- ЛНЗ

2) и- решение (*)

Рассмотрим 1 случай D>0 - 2 действительных различных корня.

Характеристическое уравнение:

В качестве ФСР возьмём:

а) покажем ЛНЗ

б) покажем, что - решение (*), подставим

+p+g=0

верное равенстворешение (*)

аналогично показывается для y₂.

Вывод: - ФСР (*)общее решение

Рассмотрим 2случай: D=0- 1 действительный корень кратности 2.

В качестве ФСР возьмём:

ЛНЗ: ЛНЗ есть.

-решение уравнения (см. 1 случай). Покажем что - решение.

подставим в ДУ

-решение.

Вывод: ФСР

Пример:

3 случай: D<0- 2 комплексно сопряжённых корня.

подставим в характ. уравнение

комплексное число равно 0, когда действительная и мнимая часть равны 0.

- будем использовать.

Покажем, что - образуют ФСР.

А)ЛНЗ:

Б)-решение ДУ

верное равенство- решение ДУ.

Аналогично показывается, что тоже решение.

Вывод:ФСР:

Общее решение:

Пример:

Если заданы н.у.

- то сначала находят общее решение , его производную:, а потом в эту систему подставляют н.у и находяти.

Пример:

Н.у: