2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

2.1. Общие понятия и определения.

Уравнение вида

,

где - независимая переменная,- искомая функция, а функцияопределена и непрерывна в некоторой областии зависит от, называется обыкновенным дифференциальным уравнением- го порядка.

Д.у. -го порядка, разрешенное относительно старшей производной имеет вид

,

где функция непрерывна в некоторой областиизменения своих аргументов.

Ограничимся рассмотрением д.у. второго порядка, т.е. уравнениями вида

(2.1)

и

(2.2)

Решением уравнения на интервале называется функция, удовлетворяющая условиям:

1) дважды непрерывно дифференцируема на;

2) при любом;

3) обращает (2.2) в тождество:

при любом .

Задачей Коши для уравнения (2.2) называется задача нахождения решения уравнения , удовлетворяющего начальным условиям

, (2.3)

где точка принадлежит областив которой задана.

Теорема Коши. Пусть в каждой точке области функцияи ее частные производные поинепрерывны, тогда для любой точкизадача Коши для уравнения (2.2) имеет единственное решение

Функция (2.4),

где - произвольные постоянные, называется общим решением уравнения (2.2) в области, если

а) функция имеет непрерывные частные производные подо второго порядка включительно;

б) для любой точки системаединственным образом разрешима относительно постоянных;

в) функция является решением д.у. (2.2) при любых допустимых значениях произвольных постоянных.

Если общее решение (2.4) в области задано неявно соотношением

(2.5),

то (2.5) называется общим интегралом уравнения (2.2) в области .

2.2. Уравнения, допускающие понижение порядка.

Рассмотрим частные случаи уравнения (2.2), допускающие понижение порядка.

1) Уравнение вида .

Решение этого уравнения находится - кратным интегрированием.

Пример 1. Решить д.у. .

Решение: Интегрируя, получаем

,

.

Общее решение д.у.: .

Ответ: .

2) Д.у., не содержащее явно искомой функции , т.е. уравнение вида

Порядок такого уравнения можно понизить, вводя новую неизвестную функцию , тогда. Получаем уравнение первого порядка. Решив его, получаем второе уравнение первого порядка.

Пример 2. Найти общее решение д.у. .

Решение: Обозначив , тогдаи. Получили однородное уравнение первого порядка. Полагая, имеем. Еслитои. Другие решения получаем приразделяя переменные и интегрируя, имеем

где . Тогда.

Далее ,

- общее решение.

Ответ: .

3) Д.у., не содержащие явно независимой переменной, т.е. уравнение вида .

Уравнения этого типа допускают понижение порядка, если положить , где– новая искомая функция нового переменного. По правилу дифференцирования сложной функции получим

.

Порядок уравнения понижается на единицу, т.е. приходим к уравнению первого порядка: .

Если - решение этого уравнения, то для нахождениярешаем второе уравнение первого порядка с разделяющимися переменными

.

Пример 3. Найти общее решение д.у. .

Решение: Т.к. в уравнении отсутствует независимая переменная , то, полагая,, получаем

.

Разделив переменные и интегрируя

, ,

, ,

, получаем общее решение д.у.:

.

Ответ: .