Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский финансово-промышленный университет Синергия

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

TP_Integrirovanie_funktsii_odnoy_peremennoy

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

355.97 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Типовой расчёт Интегрирование функции одной переменной.

Образец решения типового расчёта.

			Задание 1. Найти неопределённые интегралы:
1.1.										dx								.
1.1.																		.
						3x 1
Решение.																			Применим																	способ												внесения									выражения									под				знак				дифференциала:
				dx							1										d (3x 1)											1												C .
																																			ln		3x 1
		3x 1											3											3x 1									3		ln		3x 1
		3x 1											3											3x 1									3
1.2.						2xdx											.
1.2.																	.
							x 3
Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:
		2xdx																x 3 3																										3																	dx											C .
											2																				dx 2					1											dx							2	dx 3								2x 3ln							x 3
											2																				dx 2					1											dx							2	dx 3								2x 3ln							x 3
x 3																						x 3																				x 3																	x			3
x 3																						x 3																				x 3																	x			3
1.3.												dx
1.3.								2			3x										2
								2			3x
Сведём данный интеграл к табличному:

				dx																										dx											1								d ( 3x)											1		1			ln		3x 2				C

		2 3x							2																			2								2																2				2
									2										( 2)									2		( 3x)						2					3				( 2)							2	( 3)			2				3		2 2					3x			2
																			( 2)											( 3x)											3				( 2)								( 3)							3		2 2					3x			2					.
																																																																											.
	1						ln									3x											2			C

	2 6															3x									2
	2 6															3x									2
1.4.						ln xdx													;
1.4.																			;
											x
Решение. Применяем способ подстановки:
		ln xdx												ln x t,																								t	2									ln		2		x
		ln xdx																																				t										ln				x
										dt															dx				tdt											C														C .
				x																					dx													2									2							C .
				x																																		2									2
																										x
.5.							2xdx																.

																		2
						1 2x
Решение. Применяем способ подстановки:
				2xdx																t 1 2x2												,							1				dt

																																														t C 1 2x2 C .


			1 2x2																	dt						4xdx													2		t
1.6.															dx													.

						x				2		2x													4
						x						2x													4
Решение. Введём подстановку t x 1, x t 1, dt dx . Получим:
					dx																													dt																			dt			1						t				1							x 1		C .
																																																										arctg						C					arctg
		x2 2x 4																								(t 1)2						2(t 1) 4																			t 2			3
		x2 2x 4																								(t 1)2						2(t 1) 4																			t 2			3			3					3						3						3

1.7. x arctg x dx .

Решение. Применим формулу интегрирования по частям:																							udv uv vdu . В
данном случае: u arctg x, dv x dx, du												dx			, v			x2	.	Подставляя эти выражения в
данном случае: u arctg x, dv x dx, du												1 x2			, v				.	Подставляя эти выражения в
												1 x2					2
формулу, получим:
	x2				x2				x2		1				1					x2		x		1
I		arctg x						dx		arctg x		1					dx				arctg x				arctg x C .
I	2	arctg x		2(1	x	2	)	dx	2	arctg x	2	1	1	x		2	dx			2	arctg x	2		2	arctg x C .
	2			2(1	x		)		2		2		1	x						2		2		2
1.8. x4 4
1.8. x4 4			1 3x5 dx .
			Введем подстановку t 1 3x5 ,										откуда dt 15x4 dx .									Тогда I				1	4
Решение.																										1		tdt .
Решение.																												tdt .
																									15

Находим полученный табличный интеграл и возвращаемся к прежней переменной:


									5
	1	1			1		t 4				4 4			4
I		t		dt						C		t 5	C		4	(1 3x5 )5	C .
			4
			4
	15				15			5			75			75
						4

1.9. sin 3 xdx ;
Решение. Преобразуем подынтегральную функцию:
sin3 xdx sin 2 x sin x dx (1 cos 2 x) sin x dx .		Введём		подстановку cos x t , тогда
dt sin xdx и получим: (1 t 2 )dt = t	t 3	C	cos3 x	cos x C .

3		3

1.10. cos 4 x sin3 dx .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение:

cos 4	x sin3 x dx cos 4 x sin 2 x sin x dx cos 4 x(1 cos 2 x)sin x dx (cos4 x cos6 x)sin xdx
Введём подстановку cos x t , тогда dt sin xdx . Получим:
(t 4	t 6 )dt	t 7		t 5	C	cos7 x		cos5 x	C .

	7		5		7		5

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

4dx

2.1.3 x 2 2x .

4			dx	4	1	1	1		1		x 2	4	1		1		1		3
Решение.				F (4) F (3)				dx		ln				ln		ln		ln		.
Решение.		2		F (4) F (3)				dx		ln				ln		ln		ln		.
3	x		2x	3	2 x 2		x		2		x	3	2		2		3		2
3	x		2x	3	2 x 2		x		2		x	3	2		2		3		2

2.2. sin 3x cos 2xdx .


			4											4
			4											4
Решение.				sin 3x cos 2xdx F					F
								4				4
			4											4
		5
cos								1		1			2
cos		4
2
					cos		2
					cos		2
	5					4		5 2			2		5 2



	cos 5x		4
(sin 5x sin x)dx		cos x
(sin 5x sin x)dx		cos x
	5
				4

1
2.3.	1 x 2 dx .
0
	1					x			1		1
	1
Решение.			2					2
		1 x		dx F (1)	F (0)		1 x			arcsin x	0		.
		1 x		dx F (1)	F (0)		1 x			arcsin x			.
	0					2			2			4

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

										1			dx
													dx	.
											1		2	.
										0	1	x
										0
Решение.		Точка x 1 является особой точкой, поскольку подынтегральная
функция имеет в ней бесконечный разрыв. Поэтому:
	1	dx			1		1 x	1	1							1
	1

I lim				lim		ln				lim ln					ln1		( 0)	- получили
I lim			2	lim		ln				lim ln					ln1		( 0)	- получили
		x	2		2		1 x	0	2				2			2
0	0 1			0						0
	0 1			0						0

бесконечный предел.

Таким образом, данный интеграл расходится.

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y 1x , y x, x 2 .

Решение. Площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных

трапеций, образованных прямой у x										и гиперболой y			1	на отрезке 1; 2 .
трапеций, образованных прямой у x										и гиперболой y			x	на отрезке 1; 2 .
													x
	2
	2		1	x2		2		1			1

S		(x		)dx	ln x	1	2 ln 2		0 1			ln 2 .
	1		x	2		1		2			2

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y 1 x2 , y 0, x 0 .

Решение.			Используем				формулу для нахождения объёма тел вращения:
	b
V f 2 (x)dx .
	a
	1			x	3			2
	1				3	1
V		(1 x2 )dx x							.
V		(1 x2 )dx x							.
				3		0		3
	0			3		0		3

Вариант № 1.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1.

; 1.2.

xdx

; 1.3.

; 1.4.

; 1.5.

1 7x

x ln x

1.6.

; 1.7. ln 2 x ; 1.8.

; 1.9. sin 3 2xdx

2x 4

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1.

; 2.2.

sin x cos 2xdx ; 2.3.

3 cos 2 xdx .

	xdx		;


	2 3x 2
	2 3x 2

; 1.10. cos5 x3 sin 2 xdx .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

2		dx
		dx			.


	3	(x	1)	2
0	3	(x	1)

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y x12 , y x, x 2 .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y 2

x, y 2x .

Вариант № 2.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1.

; 1.2.

xdx

; 1.3.

; 1.4.

dx ; 1.5.

2xdx

;

1 4x

1 x

1.8.

1.6.

; 1.7. x ln 2 xdx ;

; 1.9.

sin 4

2xdx ; 1.10. cos3 x3 sin 2 xdx .

2x 4

x x

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1.

; 2.2. sin 3x cos 2xdx ; 2.3.

4 sin 2 xdx .

2x 1

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

2 dx

1 x ln x .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y 2cos x, y 3cos x, x , x .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y x, y x .

Вариант № 3.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1.

; 1.2.

2xdx

; 1.3.

; 1.4.

arctgx dx

; 1.5.

3x 7

x 5

1 x

1.6.

; 1.7. x ln x ; 1.8.

; 1.9.

cos 4 2xdx

x 2

x 2x 2

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1.

; 2.2.

sin 2x cos x dx ; 2.3.

2 cos 2 xdx .

x 2

x 2 dx ;

1 2x3

; 1.10. cos x 3 sin 2 xdx .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

2		dx
		dx		.
	x	3	2	.
1	x	x
1

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y tg x, y 0, x 4 , x 4 .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y 2x, y 2, x 4 .

Вариант № 4.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1.

; 1.2.

3xdx

;

1.3.

; 1.4.

; 1.5.

xdx

;

2x 1

x ln

5 x 2

lnx dx ; 1.8.

1.6.

; 1.7. x2

; 1.9. cos3 3xdx ; 1.10. sin 5 x3 cos 2 xdx .

3x 4

x 3x 2

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2			dx		4
2.1.			dx	; 2.2.	sin x sin 2xdx ; 2.3.

	x	2	7x 12
1	x		7x 12
1
					4

22 sin 2 xdx .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

x ln xdx .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y sin x, y 1, x 0 .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y x2 , y 2x .

Вариант № 5.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1.		dx			; 1.2.		3xdx		; 1.3.			dx				; 1.4.						dx			; 1.5.	x 2 dx
	2						2x 1				4	3x		2								x ln	3	x
														2									3			2	5x	3
		3x																								2	5x
1.6.			dx			; 1.7.		xe x dx ;		1.8.						dx					; 1.9.				sin 5 xdx ; 1.10.

	x	2		4x 5											2
		2													2			2
													x				x		1
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

1			dx					3										2
2.1.			dx			; 2.2.		cos x cos 2xdx ; 2.3.												4 cos 2 xdx .

	x	2		2x 1
0	x			2x 1														0
								3

;

cos3 x sin 2 x dx .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

1		dx
		dx		.
	1	x	2	.
0	1	x
0

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y 4sin 3x, x 2 , x 2 .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y x2 , y 4x .

Вариант № 6.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

(2 ln x) dx

1.1. (3 2x)3 dx ; 1.2.

; 1.3.

xdx

; 1.4.

; 1.5.

x dx

;

2x 1

5x 1

1.6.

; 1.7.

x2 e x dx ; 1.8.

; 1.9.

tg 2 x dx ; 1.10.

cos 4 x sin 2 x dx .

4x 5

x 1

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

1/ 2		dx		e	2
2.1.		dx		; 2.2. ln x dx ; 2.3.	3 x5 dx .


	1 x		2
0	1 x		1		0

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

xdx .

0 x3 1

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y 1x , y x, x 3 .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y x3 , y x .

Вариант № 7.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. (2 x)

dx ; 1.2.

2x 2 dx

; 1.3.

2xdx

; 1.4.

(1 ln x) dx

; 1.5.

x 2 dx

;

x 1

4 x

1.6.

; 1.7. x2 cos x dx ;

1.8.

; 1.9.

tg 2 x dx ; 1.10. cos3 x sin 2 x dx .

4x 5

x 2x

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

1/ 2

2.1.

; 2.2.

x ln x dx ; 2.3.

3 x7 dx .

1 x

1/ 2

Задание 3.	Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:
	0	dx
		dx		.


		(4 x)	3
		(4 x)
Задание 4.	Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:
y x2 6x 8, x 1.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y x3 , y 4x .

Вариант № 8.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. (2 4x)4 dx

; 1.2.

3x 2 dx

; 1.3.

3xdx

; 1.4.

(1 ln 2x) dx

2x 3

1 3x

1.6.

; 1.7. x cos x dx ; 1.8.

; 1.9.

ctg 2 x dx

x 1

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1.

; 2.2. ln(x 1) dx ; 2.3.

4 x5 dx .

1 x

1/ 2

; 1.5.	x3 dx			;
	2x	8
			1

; 1.10. cos3 x sin 2 x dx .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

3	dx
	dx			.


	4x x	2
1	4x x		3

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y 3 x, y 0, x 1, x 8 .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

y x3 , y x .

Вариант № 9.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. (5 2x)

dx ; 1.2.

2x 2 dx

; 1.3.

3xdx

;

1.4.

(2 ln x) dx

; 1.5.

2x 2 dx

;

3x 4

1.6.

; 1.7. x2

sin x dx ; 1.8.

; 1.9.

tg 4 x dx ; 1.10. cos 2 x sin 2 x dx .

2x 3

x 1

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1.

; 2.2.

ln(2x 1) dx ; 2.3.

x5 dx .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:


3		2	dx
			dx
				.
2			x2 8	.
			x2 8
	2

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y 3cos 2x, y 1 12 , x 6 , x 6 .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

y x3 , y 4x .

Вариант № 10.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1. (7 2x)

dx ; 1.2.

4x 2 dx

; 1.3.

5xdx

; 1.4.

(2 ln 2 x) dx

; 1.5.

3x 2 dx

;

x 4

1.6.

; 1.7.

x2 sin x dx ;

1.8.

;

1.9.

dx ; 1.10. cos3 x sin5 x dx .

sin

2x 4

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

2.1.

; 2.2. ln x 2 dx ; 2.3. 7

x5 dx .

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

3		dx

			.
	x2	2x 3
1

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

x 1 y 2 , x 0 .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями:

y x3 , y x .

Вариант № 11.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1.

; 1.2.

xdx

; 1.3.

; 1.4.

; 1.5.

xdx

;

1 7x

3 4x

x ln x

2 3x

; 1.7. ln 2 xdx ; 1.8.

1.6.

; 1.9.

sin 3 2xdx ; 1.10. cos5 x3 sin 2 xdx .

2x 4

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

1/ 2

2.1.

	dx			e	2
	dx			; 2.2. ln x dx ; 2.3.	3 x5 dx .


1 x		2
1 x			1		0

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

2		dx
		dx			.


	3	(x	1)	2
0	3	(x	1)

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y 1x , y x, x 3 .

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y 2 x, y 2x .

Вариант № 12.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1.

; 1.2.

xdx

; 1.3.

; 1.4.

dx ; 1.5.

2xdx

;

1 4x

1 x

; 1.7. x ln 2 xdx ; 1.8.

1.6.

; 1.9. sin 4

2xdx ; 1.10. cos3 x3 sin 2 xdx .

x x

Задание 2. Вычислить определённые интегралы:

1/ 2

2.1.

; 2.2. x ln x dx ; 2.3. 3

x7 dx .

1 x

1/ 2

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

2 dx

1 x ln x .

Задание 4. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

y x2 6x 8, x 1.

Задание 5. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

y x, y x .

Вариант № 13.

Задание 1. Найти неопределённые интегралы:

1.1.			dx		; 1.2.			2xdx	; 1.3.		dx				; 1.4.				arctgx dx			;	1.5.		x 2 dx			;
		3x 7						x 5		6	2x			2					1	x	2
														2							2			1		2x	3
																								1		2x
				dx											dx
1.6.				dx			; 1.7. x ln x ; 1.8.								dx			; 1.9. cos 4					2xdx ; 1.10. cos x 3 sin 2 xdx .

			2
			2													2
		x		x	2							x 2x					1
Задание 2. Вычислить определённые интегралы:
											1
1/	3			dx				e			1
2.1.				dx		; 2.2. ln x 2 dx ; 2.3.					7		x5 dx .
2.1.			1 x		2	; 2.2. ln x 2 dx ; 2.3.					7		x5 dx .
	0		1 x					1			0
	0							1			0

Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

2		dx
		dx		.
	x	3	2	.
1	x	x
1

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
26.04.2019141.82 Кб9Testy_s_klyuchami_GP_20011_87_sht.doc
#
27.11.2019215.04 Кб7test_po_informatike.doc
#
03.06.201517.23 Кб23The Past Continuous Tense.docx
#
03.06.201566.05 Кб10The Past Indefinite Tense.doc
#
10.11.2018137.16 Кб3TO BE !!!!!.docx
#
03.06.2015355.97 Кб11TP_Integrirovanie_funktsii_odnoy_peremennoy.pdf
#
03.06.2015631.81 Кб7tr-1_dannye.doc
#
27.03.2016140.29 Кб4ustav-ooo-neskolko (1).doc Ч Д.doc
#
02.12.2018354.3 Кб6VED теория бублик кексик.doc
#
25.11.201923.94 Кб1vfp_bil_2.docx
#
03.12.2018165.38 Кб2VFP_lektsii.doc