Решение логарифмических уравнений
.docxРешение логарифмических уравнений-1
Логарифмическим уравнением называется уравнение, в котором неизвестное содержится под знаком логарифма ( в частности, в основании логарифма).
Простейшее логарифмическое уравение имеет вид:
Решение любого логарифмического уравнения предполагает переход от логарифмов к выражениям, стоящим под знаком логарифмов. Однако это действие расширяет область допустимых значений уравнения и может привести к появлению посторонних корней. Чтобы избежать появления посторонних корней, можно поступить одним из трех способов:
1. Сделать равносильный переход от исходного уравнения к системе, включающей область допустимых значений уравнения:
или
,
в зависимости от того, какое неравенство или проще.
Если уравнение содержит неизвестное в основании логарифма:
,
то мы переходим к системе:
2. Отдельно найти область допустимых значений уравнения, затем решить уравнение и проверить, удовлетворяют ли найденные решения ОДЗ уравнения.
3. Решить уравнение, и потом сделать проверку: подставить найденные решения в исходное уравнение, и проверить, получим ли мы верное равенство.
Логарифмическое уравнение любого уровня сложности в конечном итоге всегда сводится к простейшему логарифмическому уравнению.
Все логарифмические уравнения можно условно разделить на четыре типа:
1. Уравнения, которые содержат логарифмы только в первой степени. Они с помощью преобразований и использования свойств логарифмов приводятся к виду
или
Пример. Решим уравнение:
Решение.
Выпишем ОДЗ уравнения:
Внимание! Мы всегда ищем ОДЗ исходного уравнения, а не того, которое получится в процессе преобразований. То есть ОДЗ записываем перед тем, как переходим к решению уравнения.
Для упрощения вычислений давайте перенесем логарифмы с отрицательными коэффициентами в противоположную часть уравнения – из соображений, что умножать проще, чем делить:
Представим число 2 в виде логарифма по основанию 4:
Получим уравнение:
Воспользуемся свойствами логарифмов:
Приравняем выражения, стоящие под знаком логарифма:
Проверим, удовлетворяет ли наш корень ОДЗ уравнения:
Да, удовлетворяет.
Ответ: х=5
2. Уравнения, которые содержат логарифмы в степени, отличной от 1 (в частности, в знаменателе дроби). Такие уравнения решаются с помощью введения замены переменной.
Пример. Решим уравнение:
Решение.
Найдем ОДЗ уравнения:
Уравнение содержит логарифмы в квадрате, поэтому решается с помощью замены переменной.
Важно! Прежде чем вводить замену, нужно «растащить» логарифмы, входящие в состав уравнения на «кирпичики», используя свойства логарифмов.
При «растаскивании» логарифмов важно очень аккуратно применять свойства логарифмов:
Кроме того, здесь есть еще одно тонкое место, и, чтобы избежать распространенной ошибки, воспользуемся промежуточным равенством: запишем степень логарифма в таком виде:
Аналогично,
.
Подставим полученные выражения в исходное уравнение. Получим:
Теперь мы видим, что неизвестное содержится в уравнении в составе . Введем замену: . Так как может принимать любое действительное значение, на переменную мы никаких ограничений не накладываем.
Получили уравнение:
Раскроем скобки, приведем подобные члены и решим квадратное уравнение:
,
Вернемся к исходной переменной:
,
Отсюда:
,
Ответ: ,