
12.3. Дискретное преобразование хартли
Формулы преобразования.Как обычно, для представления функций с равномерной дискретизацией примем обозначение s(nt), или s(n)snпри Приt = 1. Количество отсчетов функции равно N, интервал задания [0, N-1]. Прямое и обратное преобразование Хартли:
Sh(mf)
= (1/N)s(nt)cas(2mfnt),n= 0…N-1,
(12.3.1)
s(nt)
=Sh(mt)
cas(2mf
nt), m = 0…M-1.
(12.3.2)
Здесь: М – количество отсчетов спектральной функции с шагом дискретизации по частоте f.Дискретизация сигнала вызывает периодизацию частотных функций. Частота Найквиста для главного частотного диапазона fN= 1/2t, главный частотный диапазон вычислений от 0 до 2fN, оптимальный и достаточный шаг частотной дискретизации для сохранения всей сигнальной информации и восстановления сигнала при обратном преобразовании без погрешностиf = 1/N. Пример преобразования приведен на рис. 12.3.1.
Рис.
12.3.1. Дискретное преобразование Хартли.
Sh(m) =
(1/N)s(n)
cas(2m
n/N), (12.3.1')
s(n) =Sh(m)
cas(2m n/N).
(12.3.2')
Спектр сигналов является непрерывной функцией. Оптимальная дискретизация спектра при малом количестве данных может существенно искажать форму спектра, и для визуального просмотра шаг дискретизации может быть уменьшен, как это показано на рис. 12.3.1 для спектра Sh1. Однако при этом следует учитывать, что при уменьшении шага спектра в k-раз для восстановления сигнала из спектра требуется выполнять расчет с увеличением в k раз количества точек спектра М.
Рис.
12.3.2.
Свойства дискретного преобразованияпо своей сущности аналогичны свойствам непрерывного преобразования. С учетом смещения расчетного главного диапазона спектра в область положительных индексов на половину периода, значениям Sh(-m) соответствуют значения Sh(M-m) и, соответственно, несколько изменяются формулы свойств преобразования. Из чисто практических соображений построения алгоритмов расчетов заметим, что при m=0 значениям Sh(M-m) должно соответствовать значение Sh(0). Для сохранения общности алгоритмов это выполняется расчетом спектров в формулах (12.3.1) не до индекса M-1 (при M=N), а до индекса М (с сохранением предела суммирования М-1 в формулах обратного преобразования).
Вычисление четной и нечетной составляющих:
Shsym(m) = [Sh(m)+Sh(M-m)]/2, (12.3.3)
Shasym(m) = [Sh(m) - Sh(M-m)]/2. (12.3.4)
Связь с преобразованием Фурье:
S(m) = Shsym(m) – j Shasym(M-m), (12.3.5)
Энергетический и фазовый спектры:
Wh(m) = [Sh2(m)+Sh2(M-n)]/2. (12.3.6)
(m) = argtg(-[Sh(m) - Sh(M-n)] / [Sh(m)+Sh(M-n)]). (12.3.7)
Сдвиг сигнала. Смещение на полпериода нумерации отсчетов вызывает изменение знака синусного члена [32]:
s(n-no)= cos(2mno/N) Sh(m) -
sin(2mno/N) Sh(M-m).
(12.3.8)
Преобразование производной:
s'(n) = (2m/N)
Sh(M-m). (12.3.9)
Функция корреляции:
Bs(k)
= s(n),
s(n+k)
0.5 [Sh2(m)
+ Sh2(M-m)]
= Whs(m).
(12.3.10)
Преобразование свертки:
s(n)*u(n)
0.5N[Sh(m)Uh(m)-Sh(M-m)Uh(M-m)+Sh(m)Uh(M-m)+Sh(M-m)Uh(m)].
(12.3.11)
Цифровая фильтрация методом свертки.Выполнение свертки через преобразование Хартли полностью аналогично циклической свертке через преобразование Фурье:
s(n) = x(n)*y(n)
Xh(n)Yh(n) = Sh(n)
s(n). (12.3.12)
Рис.
12.4.1. Свертка функций во временной и
спектральной области.
Двумерная дискретная фильтрация.Спектр Хартли функции s(k, n), представленной в виде матрицы размера К x N (k=kx, n=ny), имеет вид вещественной матрицы Sh(m, p) также размером K x N, при этом прямые и обратные преобразования матриц записываются в виде:
Sh(m, p) =
(1/KN)s(k,
n) cas(2kn/K+2kn/N),
(12.3.13)
s(k, n) = (1/KN)Sh(m,
h) cas(2kn/K+2kn/N).
(12.3.14)