12.2. Свойства преобразования

Линейность. Преобразование Хартли относится к числу линейных интегральных операций, т.е. спектр суммы сигналов равен сумме спектров этих сигналов.

a_ns_n(t) a_nSh_n(). (12.2.1)

Пример суммирования сигналов и его отображения в суммирования спектров приведен на рис. 12.2.1:

Рис. 12.2.1. Сигналы и их спектры. s0(t)=s1(t)+s2(t)  S1h(f)+S2h(f) = S0h(f).

Четность и нечетность спектральных функций. Свойства четности преобразования Фурье распространяются и на преобразование Хартли. Для четных сигналов равен нулю интеграл (12.1.5) и в спектре Хартли отсутствует нечетная составляющая (функция Sh(f) – четная). Для нечетных сигналов равен нулю интеграл (12.1.4) и спектральная функция нечетная. Это можно наглядно видеть на рис. 12.2.2.

Рис. 12.2.2. Преобразование Хартли четных и нечетных функций.

Энергетические и фазовые частотные спектры, как и для преобразования Фурье, также являются четными и нечетными соответственно.

Изменение аргумента функции (сжатие или расширение сигнала) приводит к обратному изменению аргумента ее хартли-образа и обратно пропорциональному изменению его модуля (рис. 12.2.3). Действительно, если s(t) Sh(f), то при изменении длительности сигнала с сохранением его формы (растяжении сигнала по временной оси), для сигнала с новым аргументом s(x) = s(at) при x=at, получаем:

s(at) s(at) cas(2ft) dt = (1/a) s(x) cas(2fx/a) dx

s(at) (1/a) Sh(f/a). (12.2.2')

Выражение (12.2.2') действительно при а>0. При а<0 происходит зеркальный поворот сигнала относительно вертикальной оси, а замена переменной t=x/a вызывает перестановку пределов интегрирования и, соответственно, изменение знака спектра:

s(at) -(1/a) Sh(f/a). (12.2.2'')

Обобщенная формула изменения аргумента:

s(at) (1/|a|) Sh(f/a), a ≠ 0 (12.2.2)

Если под аргументом функции и ее спектра понимать определенные физические единицы, например, время - частота, то отсюда следует: чем короче по своей длительности сигнал, тем шире по частоте его спектр, и наоборот, что полностью аналогично преобразованию Фурье.

Рис. 12.2.3.

Теорема запаздывания. Применяя замену переменной t-t_o = x, после тригонометрических преобразований (выполнить самостоятельно) получаем (рис. 12.2.4):

s(t-t_o) s(t-t_o) cas(2ft) dt = cos(2ft_o) Sh(f) + sin(2ft_o) Sh(-f). (12.2.3)

Рис. 12.2.4. Изменение спектра сигнала при сдвиге.

Рис. 12.2.5. Фазовая функция спектра.

Очевидно, что амплитуды гармоник сигнала (модуль спектра) при его сдвиге изменяться не должны. Запаздывание (смещение) сигнала по аргументу функции на интервал t_o, как и для преобразования Фурье, приводит к изменению фазово-частотной функции спектра (фазового угла всех гармоник) на величину -2ft_o. Если известна фазовая характеристика (f) спектра сигнала, то для определения фазовой функции сдвинутого сигнала достаточно выполнить вычисление (f, t_o) = (f) – 2ft_o (рис. 12.2.5).

Преобразование производной (дифференцирование сигнала):

s'(t) = d[s(t)]/dt = d[ Sh(f) cas(2ft) dfdt = Sh(f) [d(cas(2ft))/dt] df

 - 2f Sh(-f) cas(2ft) df -2f Sh(-f). (12.2.4)

Рис. 12.2.6. Спектры сигнала и его производной

Таким образом, дифференцирование сигнала отображается в спектральной области простым умножением зеркального изображения спектра сигнала на оператор дифференцирования сигнала в частотной области -2f. Умножение на 2f приводит к обогащению спектра производной сигнала высокочастотными составляющими (по сравнению с исходным сигналом) и уничтожает составляющие с нулевой частотой.

Пример сигнала, его производной и соответствующих им спектров приведен на рис. 12.2.6. По изменению аргумента спектра можно видеть, что для всех гармоник спектра появляется сдвиг фаз на /2 (90⁰) для положительных частот, и на -/2 (-90⁰) для отрицательных частот.

Аналогично могут быть получены выражения для производных более высокого порядка. В частности, для второй производной:

d²[s(t)]/dt² = -(2f² Sh(f).

Преобразование интеграла сигнала в частотной области при известном спектре сигнала может быть получено из следующих соображений. Если имеет место y(t) = d[s(t)]/dt -2f Sh(-f) = Yh(f), то должна выполняться и обратная операция:

s(t) = y(t)dt (1/2f) Yh(-f). (12.2.5)

Рис. 12.2.7. Спектры сигнала и его интеграла

На рис. 12.2.7 выполнено интегрирование сигнала s2(t) = d[s(t)]/dt, дифференцирование которого показано на рис. 12.2.6, т.е. восстановление сигнала s(t). Как и в преобразовании Фурье, оператор интегрирования (1/2f) в частотной области f>1 ослабляет гармоники высоких частот, а при f<1 усиливает низкие частоты. Фазовый спектр сигнала смещается на -90⁰ для положительных частот и на 90⁰ для отрицательных. При f=0 в выражении (12.2.5) имеется особая точка (деление на ноль), вычисление значения в которой должно выполняться путем предельного перехода (f0).

Преобразование свертки и произведения сигналов у Хартли в общем случае выглядит сложнее, чем в преобразовании Фурье. Для свертки сигналов имеем:

s(t) _* u(t) 0.5 [Sh(f)Uh(f) - Sh(-f)Uh(-f) + Sh(f)Uh(-f) + Sh(-f)Uh(f)]. (12.2.6)

Для произведения сигналов:

s(t) u(t) 0.5 [Sh(f)_*Uh(f) - Sh(-f)_*Uh(-f) + Sh(f)_*Uh(-f) + Sh(-f)_*Uh(f)]. (12.2.7)

Однако это не более чем видимость, т.к. выполняя свертку через преобразование Фурье s(t)_*u(t) S(f)U(f) мы производим перемножение двух комплексных функций A(f)-jB(f) с соответствующим суммированием также произведений четырех членов.

С позиций обработки и фильтрации данных, существенное значение имеет тот фактор, что если хотя бы одна из функций, входящих в формулу свертки, является либо четной, либо нечетной, то формулы прямых преобразований Хартли и Фурье для свертки полностью совпадают. Как правило, операторы фильтров для исключения сдвига фазы обрабатываемых данных выполняют симметричными, при этом преобразование Хартли имеет вид:

h(t) _* s(t) Hh(f) Sh(f). (12.2.6')

Если оператор фильтра асимметричный (нечетный), то формула приобретает вид:

h(t) _* s(t) Hh(f) Sh(-f). (12.2.6'')

Преобразование функции корреляции. В частотной области преобразование Хартли автокорреляционной функции, как и преобразование Фурье, представляет собой спектральную плотность мощности сигнала:

B_s() = s(t), s(t+) 0.5 [Sh²(f) + Sh²(-f)] = Wh_s(f). (12.2.8)

Учитывая четность автокорреляционной функции и спектра мощности, оно практически ничем не отличается от преобразования Фурье, за исключением алгоритма вычислений. На рис. 12.2.8 приведен пример вычисления автокорреляционной функции сигнала с использованием преобразования Хартли.

Рис. 12.2.8. Вычисление корреляционной функции сигнала.

Двумерное преобразование Хартли. Для двумерной функции s(x, y) двумерное преобразование Хартли задается выражениями:

Sh(u, v) = s(x, y) cas[2(ux+vy)] dxdy, (12.2.9)

s(x, y) = Sh(u, v) cas[2(ux+vy)] dudv, (12.2.10)

Связь двумерного преобразования Хартли с преобразованием Фурье легко устанавливается аналогично одномерному преобразованию:

Sh(u, v) = Re(S(u, v)) – Im(S(u, v)). (12.2.11)

Соответственно, для двумерного ПХ сохраняются свойства четности и нечетности одномерного преобразования. Если функция s(x, y) обладает свойством круговой симметрии, то ее двумерное преобразование Хартли совпадает с двумерным преобразованием Фурье.

Основные свойства двумерного преобразования:

Подобие:

s(ax, by) (1/|ab|) Sh(u/a, v/b). (12.2.12)

Сдвиг:

s(x-a, y-b) cos(2(au+bv)) Sh(u, v)+sin(2(au+bv)) Sh(-u, -v). (12.2.13)

Модуляция:

s(x, y) cos(2(u_ox+v_oy)) 0.5 [Sh(u-u_o, v-v_o) + Sh(u+u_o, v+v_o)]. (12.2.14)

Корреляция:

B(_x, _y) T [Sh²(u, v) + Sh²(-u, -v)]. (12.2.15)

Произведение при разделении переменных:

s(x) h(x) 0.5 [Sh(u, v)Hh(u, v) - Sh(-u, -v)Hh(-u, -v) +

+ Sh(u, v)Hh(-u, -v)+ Sh(-u, -v)Hh(u, v)]. (12.2.16)

Свертка:

s(x, y)_*h(x, y) 0.5T [Sh(u, v)Hh(u, v) - Sh(-u, -v)Hh(-u, -v) +

+ Sh(u, v)Hh(-u, -v)+ Sh(-u, -v)Hh(u, v)]. (12.2.17)