2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения |
|
|
|
|
|||||||
ставляет |
x % от веса всего раствора, поэтому вес второго раствора со- |
||||||||||
ставляет |
20 100. После смешения двух растворов получили 200 г но- |
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вого раствора. Для определения x получаем уравнение: |
|
|
|||||||||
|
|
48 |
100 + 20 100 = 200, |
|
24 |
|
+10 |
=1, |
|
||
|
|
x +15 |
|
x +15 |
|
||||||
|
|
x |
|
x |
|
|
|||||
|
24x +10x +150 = x2 +15x, x2 −19x −150 = 0, |
|
|||||||||
D =192 +600 = 361 +600 = 961 = 312 , |
x = |
19 ±31 |
, |
x = 25, |
x < 0. |
||||||
|
|||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
1 |
2 |
|||
|
|
|
25 +15 = 40. |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: концентрация первого раствора 40%, концентрация второго раствора 25%.
Контрольные вопросы
1(2). Решите неполное квадратное уравнение:
а) 100x2 = 0; |
б) 25x2 = 64; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 4x2 − 17x = 0; г) 5x2 +2 19 = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2(3). Решите квадратное уравнение: |
1 x2 |
|
|
7 |
|
|
5 |
|
||
а) x2 +5x −84 = 0; |
б) x2 +9x +35 = 0; в) |
+ |
x − |
= 0. |
||||||
18 |
18 |
|||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|||||
3(2). Решите квадратное уравнение, используя формулу корней с D1 (см. формулу (8) на стр. 8 в данном Задании):
а) 3x2 +10x −8 = 0; |
б) 5x2 −12x −4 = 0. |
|
||
4(2). Сократите дробь |
14x2 −5x −1 |
, если 10x2 |
−13x +4 ≠ 0. |
|
10x2 −13x +4 |
||||
|
|
|
||
5(4). Выясните, какие из ниже приведённых уравнений являются
равносильными:
а) (7x −3)(5x +1)= 0 и 35x2 −8x −3 = 0;
б) x −5 = 3 и x2 −10x +16 = 0;
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
26
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
в) x2 −17x +72 = 0 и x2 −5x −24 = 0;
в) x2 −11x +40 = 0 и x2 +13x +50 = 0.
6(1). Составьте приведённое квадратное уравнение, корнями которо-
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
го являются числа |
|
и −2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
||
7 |
3 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
7(4). Решите уравнение: |
|
|
|
2 |
|
|
1 |
|
||||
а) 16x4 −73x2 +36 = 0; |
б) x4 − |
x2 |
+ |
= 0; |
||||||||
3 |
9 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
в) x4 −2x2 +10 = 0; |
г) x6 −9x4 −16x2 +144 = 0. |
|||||||||||
8(2). Решите уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) x −3 x −4 = 0; б) 3x −5 = 2x −8.
9(4). Решите уравнение:
а) x2 −2x −4 =1; б) x2 −2x −3 = 2x2 +3x −17 .
10(3). Докажите, что уравнение (x2 −10x +28)(x2 +8x +18)= 6 не
имеет решений.
11(4). Решите уравнение при всех допустимых значениях параметра
a :
а) (a +3)x2 = a2 +a −6; б) ax2 +(2a −1)x +(a +2)=0.
12(3). Не решая квадратное уравнение x2 −7x −6 = 0, найти значе-
ние выражения x2 |
+ x2 , |
если x и |
x −корни данного уравнения. |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
2 |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Задачи |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решите уравнение (1 – 6): |
|||
1(2). |
|
|
2 |
|
+ |
|
x −4 |
= |
1 |
. |
||
|
x2 |
−4 |
x2 +2x |
x2 −2x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
2(2). (x2 − x)2 −18 |
(x2 − x −2)+36 = 0. |
|||||||||||
3(3). |
|
2 |
+ |
25 |
−3 |
|
|
5 |
|
|||
x |
|
x |
2 |
|
x − |
=14. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
||
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
27
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
4(4). |
|
12x |
− |
|
8x |
=3. |
|
x2 −2x +4 |
x2 |
+3x +4 |
|||
|
|
|
|
|||
5(2). |
|
2x2 −x −6 = −x. |
|
|||
6(3). |
(3x2 −7x +2) |
2x2 −5x −3 = 0. |
||||
7(3). Задано двузначное число. Если сумму квадратов цифр этого числа разделить на сумму цифр этого числа, то в частном получается 7 и в остатке 6. Число единиц этого числа на 5 больше числа десятков. Найти это число.
8(3). Первый кран разгрузит баржу за 3 часа, второй кран разгрузит сухогруз за 8 часов. Во сколько раз производительность первого крана больше производительности второго, если первый кран разгрузит сухогруз на 10 часов быстрее, чем второй кран баржу?
9(3). Поезд вышел со станции A в направлении станции B. Пройдя 420 км, что составляло 60% всего пути AB, поезд остановился из-за снежного заноса. Через полчаса путь был расчищен, и машинист, увеличив скорость поезда на 10 км
ч, привёл его на станцию B без опо-
здания. Найдите начальную скорость поезда.
10(3). Сплав золота с серебром, содержащий 80 г золота, сплавили с 100 г чистого золота. В результате содержание золота в сплаве повысилось по сравнению с первоначальным на 20%. Сколько серебра в сплаве?
11(3). Решите систему уравнений:
2x |
+ |
3y |
=5, |
|
|
||
|
y |
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
|
|
2 |
−8xy +6 y |
2 |
=3. |
||
3x |
|
|
|||||
12(4). Решите систему уравнений для всех допустимых значений параметра a :
2ax +(3 −a)y =3a −1,
(4 −3a)x + y = 2a −1.
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
28