2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения

= 3481 −3360 =121 =112 ,

x =

59 ±11

,

x

=

70

= 5 ,

112

1

112

8

48

3

2

5

3

x2 =

=

, следовательно,

56x

−59x +15 =

56 x

−

8

x −

7

.

112

7

Получаем:

5

2

2

24x2 + x −10

24 x −

x +

3 x

+

3x

+ 2

3

3

=

8

=

=

.

56x2 −59x

+15

5

3

3

7x −3

56 x −

x −

7 x

−

7

7

8

x + x

2

= −b ,

1

a

(−b + D )(−b − D )

x x =

=

b2 − D

=

b2 −b2 + 4ac

=

c

.

4a2

4a2

4a2

1 2

a

Имеем: x12 + x22 = x12

+ x22 + 2x1x2 −2x1x2

= (x1 + x2 )2 −2x1x2.

Отсюда следует, что x

2

2

=

−

b

2

−

2c

=

b2

−2ac

.

+ x

a

a

a2

1

2

Уравнение x2 + px + q = 0

называется

приведённым квадратным

x =

− p ± p2

−4q

p

p 2

или x = −

±

−q.

2

2

2

если x

и

x

– корни квадратного уравнения

x2 + px + q = 0,

то спра-

1

2

ведливы формулы x1 + x2

= −p, x1 x2

= q.

x1

x2

Обратная теорема Виета: если

числа

и

таковы, что

x1 + x2

= −p,

а x1 x2 = q, то эти числа

x1

и

x2

являются корнями

квадратного уравнения x2 + px + q = 0.

Для доказательства подставим в уравнение

x2 + px + q = 0 вместо

p выражение −(x1 + x2 ),

а вместо q выражение x1x2 ,

тогда получаем

x2 −(x + x )x + x x

2

= x2

− x x − x x + x x

=

(x − x )(x − x

),

откуда

1

2

1

1

2

1

2

1

2

следует, что числа x

и x

– корни уравнения x2 + px + q = 0.

1

2

2

1

3

1

3

2

13

3

x

−

+

x +

= 0,

т. е. уравнения x

−

x +

= 0.

7

2

7

14

14

2

Заметим, что данные числа являются и корнями квадратного урав-

нения 14x2 −13x +3 = 0,

которое получается из предыдущего умно-

жением обеих частей уравнения на 14.

Пример 3. Корни

x

и

x

квадратного уравнения

x2 +6x + q = 0

1

2

удовлетворяют условию x2

= 2x1. Найдите q, x1, x2.

Из теоремы Виета следует,

что

x1 + x2

= 3x1 = −6,

т. е.

x1 = −2 и

x2 = 2x1 = −4. Тогда q = x1x2

=8.

Пример

4.

Не

решая

уравнение

2x2 −3x −9 =0,

найдите

x2

+

x1

,

где x

и x

– его корни.

1 + x1

1 + x2

1

2

Преобразуем выражение:

x2

+

x1

=

(x1

+ x2 )+ x22 + x12

=

(x2 + x1 )+(x1 + x2 )2 −

2x1x2

.

1 + x

1 + x

1 +

(x + x

2

)+ x x

2

1 +(x + x

)+ x x

2

1

2

1

1

1

2

1

По теореме Виета x + x

2

=

3 и x x

2

= −9 . Поэтому имеем:

1

2

1

2

3 2

3

9

3

9

+

−2

−

2

2

2

=

2 + 4 +9

= −

51.

3

9

−2

8

1 +

−

2

2

Пример

5.

Пусть

x1

и

x2

–

корни квадратного

уравнения

x2 +13x −17 = 0. Составьте квадратное уравнение,

корнями которого

являлись бы числа 2 − x1

и 2 − x2.

По теореме Виета x1 + x2 = −13 и x1x2

= −17. Сумма чисел 2 − x1 и

2 − x2 равна 4 −(x1

+ x2 )= 4 +13 =17, а произведение этих чисел рав-

но

(2 − x1 )(2 − x2 )= 4 −2(x1 + x2 )+ x1x2

= 4 −2(−13)−17 =13. Ис-

пользуя

обратную

теорему

Виета,

получим квадратное

уравнение

x2 −17x +13 = 0, корнями которого являются заданные числа.

ся к квадратному уравнению au2 +bu +c = 0.

Пример 1. Решите биквадратное уравнение

а) 2x4 −3x2 +1 = 0; б) 5x4 −7x2 −6 = 0; в) 7x4 +9x2 + 2 = 0.

а) Сделаем замену u = x2 ,

получим квадратное уравнение

2u2 −3u +1 = 0.

По формуле корней квадратного уравнения находим

u = 3 ± 9 −8 = 3 ±1, т. е. u =1, u

2

= 1 .

4

4

1

2

Отсюда следует, что x2 =1 и x2 = 1

,

и поэтому данное уравнение

2

1

1

имеет четыре решения: x =1,

x

= −1,

x

=

, x

= −

.

1

2

3

2

4

2

б) После замены u = x2

получаем уравнение 5u2 −7u −6 = 0. На-

ходим корни квадратного уравнения:

u = 7 ± 49 + 4 5 6 =

7 ±13 , т.е. u = 2, u

2

= −3.

10

10

1

5

Уравнение

x2 = 2 имеет два корня:

x

=

2

и

x = −

2. Уравне-

ние x2 = −3

1

2

не имеет решений.

Следовательно, данное биквадратное

5

2

и −

2.

уравнение имеет два решения:

в) Уравнение не имеет решений, т. к.

7x4 +9x2 + 2 ≥ 2

для любого

x .

Пример 2. Решите уравнение

2x +1

+

x +1

=

5x + 4

x −1

.

2x +1

(x −1)(2x +1)

Общий знаменатель дробей, входящих в данное уравнение, равен

(x −1)(2x +1). Умноживобечастиуравненияна (x −1)(2x +1), получим

(2x +1)2 +(x +1)(x −1)=5x +4, 4x2 +4x +1+ x2 −1 =5x +4,

5x2 − x −4 = 0.

Найдём корни полученного квадратного уравнения

x = 1 ± 1 +80 =

1 ±9 , т.е. x =1,

x = −4 .

10

10

1

2

5

При x =1 не определены обе части уравнения,

следовательно, это

число не является корнем уравнения. При x = −

4

общий знаменатель

5

Так как

x2 + 4x = x2 + 4x + 4 −4, то x2 + 4x = t −4, и для нахож-

дения

t

получаем уравнение

t +

24

=18. Умножив обе части урав-

t −4

нения

на

t −4, получим:

t2 −4t + 24 =18t −72, t2 −22t +96 = 0.

и x2 = −6.

Теперь решаем уравнение (x + 2)2 = 6, откуда следует, что

x3 = −2 + 6 и x4 = −2 − 6.

Пример 5. Решите уравнение

3x

−

4x

=

7 .

3x2 −5x +

6 3x2 + x +6

20

вой части уравнения на x,

тогда получаем:

3

−

4

=

7

.

3x −

6

3x +1

6

20

5 +

+

Обозначим 3x + 6

x

x

= y,

тогда получаем уравнение для нахождения

y :

x

, 20(3y +3 −4 y +20)= 7(y2 −4 y −5),

3

−

4

=

7

y −5

y +1

20

−20 y + 460 = 7 y2 −28y −35, 7 y2 −8y −495 = 0,

D =16 +7 495 = 3481 = 592 , y =

4 ±59

, y = 9, y

2

= −55 .

1

7

1

7

Теперь решаем уравнение 3x + 6

= 9,

3x2 −9x +6 = 0,

x

3 ±1

x2 −3x + 2 = 0, x =

, x = 2, x =1.

2

1

2

Решаем уравнение 3x + 6 = −55

,

x

7