mathlecnew

уравнений (8.4) неявно определяется из соотношений

где, как и выше, u(0; x) начальное значение поля.

Отметим, что методом характеристик можно решить и более общее уравнение

которое отличается от уравнения Хопфа (8.3) дополнительным членом в правой части, накачкой f, ко-

торая может быть произвольной функцией времени t и пространственной координаты x. Тогда вместо системы (8.4) надо решать уравнения

Хопфа, обычно приводит к возникновению особенностей в поле u. Это следует из уравнения на

производную s = @u=@x, которое получается из уравнения Хопфа (8.3) после дифференцирования:

@s@t + u@x@s = s2:

Таким образом, мы должны решать вдоль характеристики уравнение ds=dt = s2, решение которого име-

åò âèä s = (s0 + t) 1, ãäå s0 значение производной s ïðè t = 0. Åñëè s0 < 0, то значение s обращается в бесконечность при t = s0. Таким образом, ес- ли в начальном профиле s(0; x) имеются участки с

отрицательными значениями s, то за конечное вре-

мя производная обращается в бесконечность. Быстрее всего это происходит для наибольшего по абсолютной величине значения s, которое определяется условием

@s=@x = @2u=@x2 = 0. Именно на характеристике, ко-

торая стартует из этой точки, которую мы обозначим y0, впервые обращается в бесконечность s.

Проанализируем поведение решения уравнения Хопфа вблизи характеристики, стартующей из точ- ки y0. Раскладывая функцию u(0; y) в ряд Тейлора

вблизи точки y0, мы находим

u(0; y) c1(y y0) + c2(y y0)3;

ãäå c1 è c2 положительные константы. Положительность c1 означает отрицательность s вблизи точки y0, а положительность c2 означает, что значение s максимально по абсолютной величине в точке y0. Далее, решая уравнения (8.5), мы находим

u = u0 c1(x ut x0 +u0=c1)+c2(x ut x0 +u0=c1)3;

где мы ввели обозначение x0 = y0 + u0=c1. Â ýòîì случае в момент времени t = 1=c1, который и является моментом, когда s обращается в бесконечность в точке x0, приведенное соотношение сводится к

c2(u u0)3 = c41(x x0);

21

где мы опустили линейное по x x0 слагаемое в члене

с третьей степенью, как дающее малые поправки при малых x x0. Таким образом, мы приходим к профилю u u0, который пропорционален (x x0)1=3, òî åñòü

является сингулярным в точке x = x0. Эта сингуляр- ность и является формальной причиной, по которой s

обращается в бесконечность.

При приближении к особенности уравнение Хопфа становится неприменимым, так как растет вторая производная от u, и потому для анализа поведения

поля u мы должны вернуться к исходному уравне-

нию Бюргерса (8.1). После некоторого переходного процесса вблизи точки x0 формируется специальное решение, которое двигается со скоростью u0, òî åñòü @u=@t = u0@u=@x. Подставляя это соотношение в

уравнение Бюргерса (8.1), мы находим затем его первый интеграл (u u0)2 2@u=@x = const. Решение

этого уравнения имеет вид

которое называют шоком. Это решение соответствует тому, что в области ширины a 1 поле u испытывает

скачок 4a. Решение (8.8) дает универсальную форму шоков, которые формируются при условии UL 1, тогда a U. Заметим, что стационарность этого ре-

шения не противоречит сделанному выше утверждению о стремлении u к нулю на больших временах, по-

скольку последнее справедливо только для решений, стремящихся к нулю при x ! 1, в то время как

выражение (8.8) этому условию не удовлетворяет ни при каких значениях параметров.

Уравнение Бюргерса (8.1) является в некотором смысле точно решаемым. А именно, преобразование Коула-Хопфа

приводит его к чисто диффузионному уравнению

Решение уравнения (8.10) может быть выражено в виде интеграла от начального значения

Выражение (8.11) может быть использовано для получения ряда точных решений уравнения Бюргерса. Рассмотрим в качестве примера начальное условие(0; x) = cosh(ax), которое соответствует выражению

(8.8) ñ u0 = x0 = 0. В этом можно убедиться, производя обратное по отношению к (8.9) преобразование

Подставляя выражение (0; x) = cosh (ax) в уравне-

ние (8.11) и вычисляя интеграл по y, мы находим(t; x) = cosh(ax + a2t). Подставляя это выражение

в соотношение (8.12), мы находим то же выражение u = 2a tanh(ax), поскольку дополнительный времен-

ной множитель выпадает из ответа. Таким образом, мы другим способом убедились в том, что выражение (8.8) дает стационарное решение уравнения Бюргерса.

A.Метод характеристик

Метод характеристик позволяет свести решение определенного класса уравнений в частных производных к решению обыкновенных дифференциальных уравнений. А именно, он применим к уравнениям, которые содержат только первые производные и линейным по этим производным. Такое уравнение можно записать в виде

где g искомая функция, зависящая от времени t и координат x пространства произвольной размерности. Скорость V и накачка f являются некоторыми функциями t; x; g. Тогда решение уравнения (8.13)

может быть построено следующим образом. Надо найти решения уравнений

Траектории, описываемые уравнением (8.15), называются характеристиками системы. Чтобы найти значе- ние функции g в момент времени t и в точке x, необ-

ходимо взять характеристику, которая заканчивается в момент времени t в точке x. После этого надо

решить уравнение (8.14) вдоль этой характеристики, используя в качестве начального условия g(t0; x0), ãäå t0 начальное время, при котором задается начальное условие на функцию g, а x0 точка, в которой находится решение уравнения (8.15) в начальный момент времени t0.

B.Задачи

Решение уравнения Хопфа (8.3) с начальными условиями u = c1x + c2x3, полученное с помо-

щью метода характеристик, можно формально продолжить и на времена t > c1 1, что приводит

êнеоднозначному решению u(x). Найти область

существования этой неоднозначности и значения функции u в этой области.

Найти решение уравнения Хопфа (8.3) с начальными условиями u = c1x + c2x2.

Найти решение уравнения (8.6) с нулевыми на-

чальными условиями и накачкой, которая является константой f0 на интервале x0 < x < x0

22

èравна нулю вне этого интервала. Как зависит ответ от знака f0?

Найти решение уравнения (8.6) с нулевыми на-

чальными условиями и накачкой, которая равна h0x на интервале x0 < x < x0 и равна нулю вне этого интервала. Как зависит ответ от знака h0?

Найти решение уравнения (8.10) с начальным условием (0; x) = cosh(ax)+B cosh(bx). Вычислить соответствующее поле u. Проследить, как большой шок поедает маленький, считая b > a

èB 1.

Найти решение уравнения (8.10) с начальным условием (0; x) = 1 A exp( x2). Вычислить соответствующее поле u.

9.УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА-ДЕ-ФРИЗА

Как мы уже отмечали, в общем случае решение уравнения Хопфа (8.3) приводит к формированию особенности в поле u за конечное время, и на больших

временах эволюция поля u в рамках уравнения Хопфа

исследована быть не может. В то же время уравнение Бюргерса (8.1) дает решение эволюционной зада- чи для поля u на всех временах. Это связано с при-

сутствием в уравнении Бюргерса дополнительного (по сравнению с уравнением Хопфа) члена со второй производной, наличие которого приводит к устранению особенности в поле u (к которой приводит уравнение

Хопфа). Для одномерной слабо нелинейной звуковой волны член со второй производной представляет диссипацию. В то же время в ряде задач более существенным оказывается другой эффект, связанный с дисперсией скорости звука, то есть с ее зависимостью от волнового вектора k. Этот эффект является бездиссипа-

тивным.

Будем считать, что диссипацией можно пренебречь, а дисперсия скорости звука существенна. В общем

случае скорость звука является некоторой функцией k2, при достаточно малых k первая зависящая от k

поправка к скорости звука пропорциональна k2. Ýòî

означает, что к уравнению Хопфа (8.3) следует добавить член с третьей производной. В результате полу- чается так называемое уравнение Кортевега - де Фриза (Korteweg de Vries), каноническая форма которого записывается, как

Это уравнение сводится к уравнению Хопфа (8.3) в пренебрежение третьей производной и после перемасштабирования поля 6u ! u.

Уравнение КдФ (Кортевега - де Фриза) имеет, в частности, локализованное решение солитонного ти-

ïà

где произвольный параметр. Периодические реше-

ния уравнения КдФ являются так называемыми кноидальными волнами, описываемыми интегральными соотношениями:

Z

x ct x0 = du 2E + cu2 2u3 1=2 (9.3)

где c, E параметры волны, определяющие е¼ ампли-

туду и период.

Уравнение КдФ может быть записано в Гамильтоновой форме

@u@t = fH; ug ;

Оно также может быть записано в Лагранжевом виде с действием

Уравнение Кортевега - де Фриза имеет интегралы движения вида

Z

In = dx Pn (u; @u=@x; : : : ) ; (9.7)

ãäå Pn (u; @u=@x) полиномы n-ой степени от функции u и е¼ пространственных производных, в частности:

P3 = 12 h5u2 + 5u@u=@x + @2u=@x2 2i:

Поскольку число интегралов движения In бесконеч-

но, можно сказать, что уравнение КдФ (9.1) является интегрируемым.

A.Скобки Пуассона B. Задачи

Найти P4.

23

10. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ ШР ДИНГЕРА

Нелинейное уравнение Шредингера относится к универсальным волновым уравнениям и имеет в слу- чае одного пространственного измерения вид:

да изучаемого поля, t и x играют роль времени и

расстояния, выраженные в естественных единицах. Это уравнение возникает при описании динамики широких квази-монохроматических волновых пакетов и учитывает эффекты слабой нелинейности и дисперсии, то есть, расплывания этих пакетов, возникающего из-за зависимости групповой скорости от волнового вектора.

Более конкретно, рассмотрим однородную среду, в которой частота плоских волн зависит от волнового вектора и слабо зависит от амплитуды. Пусть в такой среде создан волновой пакет, представляющий собой медленно промодулированную плоскую волну

(t; x) exp (ik0x i!0t). Медленность модуляции озна- чает, что l 1=k0. Время эволюции огибающей (t; x) при этом много больше периода колебаний 1=!0. Ñî- отношение l 1=k0 эквивалентно тому, что пространственный Фурье-образ волнового пакета содержит волновые вектора, отличающиеся от k0 íà âåëè- ÷èíó K 1=l k0. Иными словами, в эволюции участвует узкая область k пространства вблизи k0. Â

этом случае и с учетом слабой нелинейности соотношение между частотой, волновым вектором и амплитудой можно записать в явном виде:

! = !0 + u0 (k k0) + (k k0)2 + j j2: (10.2)

Параметр можно считать не зависящим от k, по-

скольку учет этой зависимости даст лишь малые по-

правки. Возможность пренебречь высшими степенями (k k0) è j j2 требует обоснования в каждой физиче-

ской ситуации, однако так можно желать при изуче- нии очень широкого круга волновых явлений. Переходя от (10.2) к пространственно-временному описанию, мы заменяем ! ! i@t; k ! i@x, что дает уравнение

эволюции:

Исключение экспоненты exp (ik0x i!0t) и переход в

систему отсчета, движущуюся с групповой скоростью u0: x ! x + u0t; @t ! @t u0@x приведет уравнение

(10.3) ê âèäó (10.26).

Нелинейное уравнение Шредингера (НУШ) описывает в области своей применимости эволюцию возмущений на поверхности воды, в плазме и других средах. В последние десятилетия оно приобрело вполне

прикладное значение для оптоволоконных линий связи. Там (t; x) пропорциональна огибающей электри-

ческого поля в линейно поляризованном оптическом импульсе:

+ (t; x) exp ( ik0x + i!0t) :

Частота, как физическая наблюдаемая, может зависеть, разумеется, только от плотности энергии физи- ческого поля E. Однако временные интервалы, на ко-

торых изменяется огибающая (t; x), много больше,

÷åì 1=!0, и в уравнение эволюции входит по существу величина hE2(t; x)i = 2j j2, усредненная по многим

осцилляциям.

Если распространение пакета не одномерное, а волновые векторы имеют небольшие поперечные компоненты, то возникает также расплывание волнового пакета в поперечном направлении, которое учитыва-

ется добавлением в правую часть (10.26) слагаемого / @y2 + @z2 . Выбирая подходящий масштаб по

временным и пространственным координатам, можно произвольно менять соотношения между коэффициентами при нелинейном и дисперсионном слагаемых, сохраняя, однако, их относительный знак. Поэтому в разных физических ситуациях НУШ может быть приведено к двум каноническим типам:

Мы видим, что оба этих уравнения имеют вид кван-

товомеханического уравнения Шредингера с потенциалом, пропорциональным 2j j2 в случае (10.4) и

+2j j2 для (10.5). Поскольку знак 2j j2 соответству-

ет притягивающему потенциалу, то этот случай называется `НУШ с притяжением', и, соответственно, (10.5) `НУШ с отталкиванием'. Как мы знаем из квантовой механики, волновые функции в притягивающих и отталкивающих потенциалах имеют каче- ственно разные свойства. Поэтому и решения уравнений (10.4) и (10.5) отличаются радикальным образом. Самые интересные эффекты возникают в притягивающем случае (10.4), который, к тому же, обычно реализуется в оптических приложениях. Поэтому сосредоточимся именно на нем.

Прежде всего, заметим, что `число частиц' N и `энергия' H,

являются интегралами движения при произвольном числе измерений для локализованных в пространстве

Проверим соотношения (10.8). Для (10.4) комплексно-

Умножение 10.4) на и (10.9) на и сложение

получившихся соотношений после интегрирования по пространству и учета эрмитовости лапласиана приведет к закону сохранению dN=dt = 0. Для доказатель-

ства сохранения величины H, играющей роль энер-

гии, подействуем оператором градиента r на обе ча- сти уравнения (10.4) и умножим результат на r .

Проведем аналогичное преобразование с сопряженным уравнением (10.9) и вычтем второе соотношение из первого. После интегрирования по пространству мы получим равенство:

венство из первого и проинтегрируем по пространству. Результатом будет соотношение:

Вычитание полученных соотношений приводит к закону сохранения энергии H.

Для нелинейного уравнения Шредингера имеется замечательное соотношение теорема Таланова, позволяющее сделать качественные выводы о поведении решений для широкого класса начальных условий. Для вывода теоремы Таланова рассмотрим функционал

Z

I = dr r2j j2; (10.10)

имеющий смысл характерного размера пакета с центром в точке r = 0. Вычислим сначала первую произ-

водную по времени:

Здесь D размерность пространства. Продифференцируем (10.11) еще раз по времени, учитывая, что N

интеграл движения и при этом повторном дифференцировании вклада не дает:

Выражение в квадратных скобках во втором слагаемом есть ни что иное, как (rr)j j4=2, òàê ÷òî ýòî

Перебрасывание лапласиана в первом слагаемом в

В двух измерениях в правой части (10.15) возникает интеграл движения:

Поскольку H = const, то общее решение уравнения (10.16) легко выписывается:

где константы C и H определяются начальными условиями. Пусть они таковы, что H < 0. Тогда при лю-

бых конечных I(0) и C наступит такой момент времени t , ÷òî I(t ) = 0. Из явного вида I(t) следует, что волновой пакет в момент t = t cожмется в точку.

Сохранение числа частиц N влечет за собой сингулярность в этот момент: j j2(r ! 0; t ! t ) ! 1.

Таким образом, в двух измерениях при H < 0 проис-

ходит коллапс явление, в нелинейной оптике называемое самофокусировкой светового пучка. Коллапс может произойти и при H > 0, однако при H < 0

он неизбежен. Физическая сингулярность может произойти в точке, отличной от r = 0, в момент времени более ранний, чем t = t . То, что мы сейчас показали, означает, что на временном интервале t t коллапс

при H < 0 в какой-нибудь точке пространства обяза-

тельно произойдет.

В трех измерениях уравнение (10.15) для I(t) можно переписать в виде:

Равенство (10.17) превращается в неравенство:

означающее по-прежнему неизбежность коллапса при

H < 0.

Ситуация отличается качественно в одномерном случае D = 1, реализующимся в оптоволоконных ли-

ниях связи. При D = 1 соотношение (10.15) принимает вид:

25

что означает невозможность коллапса. Действительно, если характерный размер пакета l(t) уменьшается,

то сохранение числа частиц N требует, чтобы квадрат модуля амплитуды пакета рос как j j2 l 1(t). Ïðè

этом положительная добавка в правой части в (10.20) также растет:

Z

drjr j2 l 2

и неизбежно становится по абсолютной величине больше отрицательного, но постоянного H. После

остановки коллапса при достаточно большой амплитуде начального возмущения возникнут локализованные, стационарные по форме, решения, называемые солитонами.

Построение семейства односолитонных решений мы начнем с простейшего случая покоящегося солитона. Будем искать локализованное в пространстве решение уравнения (10.4) в виде

Уравнение на функцию g(x): g00 + 2g3 2g = 0, имеет

вид уравнения Ньютона в стационарном потенциале и поэтому умножением на g0 и интегрированием по x

его порядок понижается до первого:

Здесь x0 константа интегрирования, знак минус для корня выбран для убывания решения с ростом jxj.

Первообразная в (10.22) с помощью замены g = =y

приводится к табличной и мы получает трехпараметрическое семейство решений:

Теперь заметим, что уравнение (10.4) инвариантно относительно преобразования Галилея. Именно, если

(t; x) решение (10.4), то и

также будет решением НУШ. Применяя это преобразование к (10.23), мы получим семейство односолитонных решений, зависящее от четырех параметров t0; x0; ; . Ïðè x0 = t0 = 0 это решение имеет вид

Зависимость действительной части решения (10.25) от x при t = 0 приведено на рисунке 4.

A.Нетеровские интегралы движения для НУШ

(иначе называемая редукцией), будучи наложен-

ной на начальные условия, сохраняется эволюцией. Если мы рассмотрим не произвольные вариации по-

лей, а неким образом ограниченные, то вместо полных локальных уравнений движения вариационный принцип выдаст частные следствия этих уравнений. Законы сохранения получаются, если эти вариации представляют собой формальные преобразования симметрии действия, только с параметрами преобразований, произвольно зависящими от времени (если бы эти параметры не зависели от времени, то вариация действия была бы тождественно равна нулю).

Соответствующая вариация действия имеет вид:

Приравнивая е¼ к нулю при произвольной (t) полу-

Вариация вида (t; x) ! (x; t+ (t)) при малом (t) произведет закон сохранения энергии:

Вариация вида (t; x) ! (x+ (t); t) при малом (t) произведет закон сохранения импульса:

B.Задачи

Упражнение 1

Вычислить значения интегралов движения N, H P в одном измерении для движущегося солитона:

Упражнение 2

Рассмотрим функционал:

Z

Ia(t) = dr (r a)2 j j2: (10.34)

Вычислить d2 Ia(t).

dt2

Решение:

Непосредственным дифференцированием с использованием уравнения эволюции получим:

Поскольку импульс P является интегралом движения, то мы приходим к равенству

è äëÿ Ia(t) при H < 0 и d = 2; 3 также справедливо

утверждение об обращении в ноль в некоторый момент времени, то есть, о коллапсе. Здесь необходимо

уточнение: разумеется, коллапс не может происходить во всех точках пространства. Наша конструкция подразумевает, что уравнение эволюции работает до об-

ращения Ia(t) в ноль. Однако на самом деле оно не продолжимо за первую сингулярность. Момент же ta

обращения Ia(t) в ноль при данных начальных условиях зависит от a. Место и момент коллапса будут

определяться таким a, при котором ta будет наимень- шим. Поэтому мы фактически показали, что такая точка пространства и момент времени, где решение становится сингулярным, существуют.

Упражнение 3

Показать, что в одном измерении d = 1 функционал

является интегралом движения. Он уже не связан с пространственно-временными симметриями действия, его сохранение следует из интегрируемости НУШ.

11.РЕЗОЛЬВЕНТА

A. Преобразование Лапласа

Âзадачах, в которых исследуется решение линейных дифференциальных уравнений с начальными условиями, бывает полезным преобразование Лапласа, которое определяется для функций, заданных на

положительных временах t. При этом подразумевает-

ся, что начальное условие для этой функции задано при t = 0. Преобразование Фурье функции (t) опре-

деляется, как

Z 1

~

(p) = dt exp( pt) (t): (11.1)

0

Мы предполагаем, что функция (t) растет со временем t не быстрее, чем некоторая экспонента от t.

Тогда интеграл (11.1) сходится при достаточно больших p. Если же выйти в комплексную плоскость по

p, то можно сказать, что интеграл сходится при достаточно больших значениях Re p. Другими словами,

функция ~

(p) заведомо является аналитической в области Re p > C, где C некоторая константа.

Преобразование, обратное к преобразованию Лапласа, имеет следующий вид

Z

c+i1 dp

~

(t) = c i1 2 i exp(pt) (p); (11.2)

где интегрирование идет вдоль прямой, параллельной мнимой оси, в области аналитичности функции ~

(p). Обратим внимание на то, что при отрицательных t интеграл (11.2) равен нулю, так как в этом случае оба со-

~

множителя, exp(pt) и (p), стремятся к нулю при увеличении Re p. Поэтому, сдвигая контур интегрирования в большие Re p (в области аналитичности), мы получим ноль. Это соответствует физическому смыслу

27

рассматриваемой задачи, когда мы исследуем функцию, определенную только при положительных t.

12.ГАММА-ФУНКЦИЯ ЭЙЛЕРА

Довольно часто возникают случаи, когда требуется взять интеграл, содержащий комбинацию экспоненциальной и степенной функций. Такого сорта интегралы сводятся к так называемой Гамма-функции (x),

которая была введена Эйлером. Гамма-функция определяется следующим интегралом

Z 1

(z) = dt tz 1e t: (12.1)

0

Интеграл (12.1) сходится при любом положительном z, или, если речь идет о функции комплексной пере-

менной, при любом z с положительной действитель-

ной частью. Интеграл (12.1) легко вычисляется путем многократного интегрирования по частям при целом положительном z = n. В этом случае получа-

ется (n) = (n 1)!. Поэтому можно сказать, что

Гамма-функция является обобщением факториала на

случай произвольного n. Отметим также значение p

(1=2) = , которое может быть получено из (12.1), p

если перейти к интегрированию по t. Однократное интегрирование по частям в выражении (12.1) дает соотношение

которое также является обобщением соответствующего свойства факториала.

При z ! 0 значение интеграла (12.1) неограниченно возрастает. Это означает, что при z = 0 функция(z) имеет особенность. Чтобы установить характер

этой особенности и, более общо, продолжить аналити- чески (z) на z с отрицательной действительной ча-

стью, можно использовать модификацию интеграла (12.1)

Здесь предполагается, что tz задано ветвью с разре-

зом вдоль действительной оси, причем на верхнем береге разреза аргумент tz равен нулю (то есть tz äåé-

ствительно), а контур C обходит этот разрез, приходя из +1 снизу разреза и уходя в +1 сверху разреза. Если Re z > 0, то контурный интеграл (12.3) может быть

сведен к сумме интегралов по верхнему и нижнему берегам разреза, причем интеграл по верхнему берегу разреза совпадает с интегралом (12.1), а интеграл по верхнему берегу разреза отличается от интеграла (12.1) множителем exp(2 iz). Отсюда и получается

выражение (12.3).

Правая часть соотношения (12.3) определена и для z с отрицательной действительной частью, то есть

Рис. 5: Гамма-функция Эйлера.

осуществляет аналитическое продолжение (z) на эту область переменной z. Контурный интеграл в (12.3) не имеет особенностей в плоскости z. Следовательно, особенности функции (z) определяются разностью 1 exp(2 iz), которая обращается в ноль при целых (как положительных, так и отрицательных) z. При положительных целых z в ноль обращается также и

контурный интеграл, то есть мы приходим к неопределенности, которая должна раскрываться по правилу Лопиталя. В любом случае, (z) не имеет особен-

ностей при целых положительных z, в соответствии

с приведенным выше анализом. При целых отрицательных z контурный интеграл в ноль не обращается,

и мы приходим к выводу, что в этих точках (z) име-

ет простые полюса. Найдем вычеты в этих полюсах. При z = n (n целое неотрицательное) контурный

интеграл в (12.3) сводится к вычету в нуле, поскольку значения подынтегральной функции на берегах разреза совпадают между собой. Вычисляя этот вычет, находим

Z

dt t n 1e t = 2 i( 1)n(n!) 1:

C

Таким образом

График зависимости Гамма-функции от своего (действительного) аргумента приведен на рисунке 5. В полюсных точках функция имеет особенности, то есть стремится к бесконечности.

Можно найти асимптотическое выражение Гаммафункции (z) при больших положительных значе-

ниях z, воспользовавшись асимптотическим методом

Лапласа (смотри ниже). Для этого в интеграле (12.1) произведем замену t ! tz, которая приводит его к

âèäó

(z) = zz Z 1 dt exp[z(ln t t)];

0 t

то есть к виду (12.8). Стоящая в экспоненте функция ln t t достигает максимума в точке t = 1. Используя

28

теперь приближение (12.9), находим

r

(z) 2z zz exp( z): (12.5)

Это соотношение дает приближенное (работающее

при больших n) выражение для факториала n! p

га. Отметим, что асимптотика (12.5) справедлива и для комплексных z при условии большого положи-

тельного значения действительной части z.

Через Гамма-функции выражается так называемый интеграл Эйлера первого рода:

где действительные части и предполагаются поло-

жительными. Для доказательства соотношения (12.6) рассмотрим немного более общий интеграл

Z s

s + 1B( ; ) = dx x 1(s x) 1:

0

Интегрируя обе части этого соотношения по s с весом e s, мы получаем

Z 1 Z s

( + )B( ; ) = ds e s dx x 1(s x) 1:

00

Замена переменных s = x + y сводит правую часть

êпроизведению интегралов по x по y, которые дают произведение ( ) ( ). Таким образом, мы приходим

êсоотношению (12.6).

Докажем соотношение

Для этого запишем левую часть (12.7), как произведение интегралов

Z 1 Z 1

(1 z) (z) = dt t ze t ds sz 1e s:

00

Произведя здесь замену s = t и взяв интеграл по t, мы находим

справедливы для 0 < Re z < 1. Однако принцип

аналитического продолжения позволяет распространить его на произвольные z. В частности, соотноше-

ние (12.7) позволяет легко воспроизвести выражение для вычетов (12.4).

A.Асимптотика Лапласа

Рассмотрим интеграл вида

Z b

a

где (действительная) функция f(x) достигает на интервале (a; b) абсолютного максимума в некоторой промежуточной точке c. Тогда при больших положительных основной вклад в интеграл (12.8) определя-

ется узкой окрестностью этого максимума. Раскладывая функцию f(x) в ряд Тейлора вблизи точки x = c, мы находим f f(c) + (1=2)f00(c)(x c)2. Òàê êàê

точка x = c соответствует максимуму функции f, то f00(c) < 0. Подставляя это разложение в (12.8) и за-

меняя в нем (x) на (c), мы приходим к Гауссовому интегралу. При больших значениях интегрирование по x в этом интеграле можно распространить от 1 до +1. Вычисляя получившийся Гауссов интеграл, находим асимптотическое выражение

29

раскрытие неопределенности по правилу Лопиталя в выражении (12.3) дает (n) = (n 1)!.

Найти интеграл

Z =2

d' cosa ' sinb ':

0

Доказать, что

Указание: переписать интеграл, как контурный, где контур идет по берегам разреза функции z,

а затем деформировать контур интегрирования,посадив интеграл на вычет в точке = 1.

Получить интегральное представление для1(z). Указание: воспользоваться соотноше-

которое справедливо при 1.

Отметим, что если функция f(x) достигает абсолютного максимума на одном из краев интервала ( a или b), то именно окрестность этой точки определя-

ет основной вклад в интеграл (12.8) при больших положительных . Этот случай может быть исследован

аналогично, в рамках разложения функции f(x) вблизи a или b. Тогда можно ограничиться линейным членом разложения функции f(x) по x a или x b (ес-

ли только этот член разложения не равен нулю), что упрощает анализ.

B.Задачи

Проверить, что при целых положительных z

нием (12.7) и интегральным представлением (12.3).

Вычислить интеграл

Z 1

dz ln (z):

0

Доказать соотношение

p

(z) (z + 1=2) = 22z 1 (2z):

Найти j (1=2 + ix)j, где x действительное число.