matan theory

Пример 32. Пусть темп инфляции составляет 1% в день. Насколько уменьшится первоначальная сумма через полгода? Используем формулу сложных процентов (1)

Q=Q0(1-1/100)182,

или

Q=Q0((1-1/100)-100)-182/100≈ Q0e-1,82,

то есть инфляция уменьшит первоначальную сумму примерно в 6 раз.

Пусть в некоторый фонд вносится разовый взнос и лицо, которое произвело этот взнос получает определенные суммы денег через определенные промежутки времени. В такой ситуации наиболее распространенной формой выплаты является договор об аннуитете. Оценим стоимость аннуитета на момент заключения договора. Заметим, что данная задача является обратной для выше рассмотренной. Обозначим каждую выплату как S, процентную ставку как i%, а (1+i/100) = q, – процентный коэффициент, n – период действия аннуитета. По формуле (1) будем иметь текущую стоимость выплаты, произведенной в конце года n

Pn = S/qn.

Общая стоимость аннуитета V является суммой всех выплат:

V = S(1/q+1/q2+··· +1/qn) Тогда используя формулу для суммы геометрической прогрессии, получим

V = S(1/qn)((qn-1)/(q-1))

Пример 33. Определить текущую стоимость аннуитета при регулярных выплатах в размере 15000 рублей ежегодно в течение 5 лет и процентной ставке в размере 4% годовых.

Применяя формулу (3), получим

V = 15000((1,04)5-1)/(0,04· (1,04)5) = 66777

Для того, чтобы приобрести аннуитет, нужно заплатить один раз, и затем можно получать регулярные ежемесячные или ежегодные выплаты. В предыдущем примере текущая стоимость аннуитета равна 66777 рублей. Если Вам предлагают купить данный аннуитет за 60000 рублей, то данная стоимость его ниже текущей, и это выгодное предложение. Однако, если для получения ежегодных выплат в размере 15000 рублей Вам предлагают заплатить 73000 рублей, то следует проанализировать данное предложение.

Пример 34. Пусть стоимость аннуитета 73000 рублей, ежегодные выплаты равны 15000 рублей, процентная ставка 4% годовых. Сколько лет должны производиться выплаты, чтобы их стоимость превысила стоимость аннуитета?

Применяя формулу (3), получим

73000=15000(1/1,04n)((1,04n-1)/0,04)

или

1,04n = 1,2417219.

Отсюда

n≈ 6

Таким образом, аннуитет должен выплачиваться в течение не менее 6 лет, чтобы его стоимость превысила стоимость его приобретения.

Ипотечная ссуда также может рассматриваться с точки зрения аннуитета. Определенная сумма берется в долг, обычно для покупки дома или квартиры, и постепенно выплачивается на протяжении нескольких лет таким образом, что к концу срока возвращаются долг и проценты за него. Если сумма V берется в долг на срок n лет под i % годовых и q=(1+i/100), то ежегодная выплата будет определяться из формулы 3:

S=Vqn(q-1)/(qn-1).

Упражнение 2. Определить размер ежегодных выплат для ипотечной ссуды в 200000 рублей на срок 10 лет под 11% годовых.