P4_9_2012

2012-2013 уч. год, №4, 9 кл. Физика. Статика. Равновесие твѐрдых тел и жидкостей

по модулю силой шар давит на стену.

Уравнение равновесия для моментов сил относительно оси B даѐт уравнение, содержащее только вторую неизвестную силу T :

Глава 2 ГИДРОСТАТИКА

§ 10. Давление

Отличительной особенностью жидкостей и газов является их текучесть, что проявляется в способности принимать форму сосудов. В жидкости нет сил, препятствующих сдвигу с бесконечно малыми скоростями одних слоѐв жидкости относительно других. Этим объясняется текучесть и то, что одни слои жидкости могут действовать на неподвижные относительно них другие слои только перпендикулярно поверхности соприкосновения слоѐв, а также перпендикулярность действия сил давления со стороны жидкости на стенки и дно сосуда.

Характеристикой такого взаимодействия служит давление. Давлением называется величина, равная отношению модуля силы F , действующей по нормали к плоской поверхности, к площади этой поверхности: p F / S. При этом величина давления в данной точке жидкости не зави-

сит от ориентировки плоской поверхности, что следует из свойства текучести жидкости. Поэтому можно говорить о давлении в данной точке жидкости. Не следует смешивать давление и силу давления. Давление – величина скалярная по определению. Всѐ сказанное выше справедливо и для газов.

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

21

2012-2013 уч. год, №4, 9 кл. Физика. Статика. Равновесие твѐрдых тел и жидкостей

§ 11. Закон Паскаля. Сообщающиеся сосуды

Пусть жидкость (или газ) заключена в замкнутый сосуд (рис. 17). Дав-

ление, оказываемое на жидкость в каком-либо одном месте на еѐ границе, например, поршнем, передаѐтся без изменений во все точки жидкости

– закон Паскаля. Закон Паскаля справедлив и для газов. Этот закон можно вывести, рассматривая условия равновесия произвольных, мысленно выделенных в жидкости цилиндрических объѐмов (рис. 17) с учѐтом того, что жидкость давит на любую поверхность только перпендикулярно ей.

Используя этот же приѐм, можно показать, что из-за наличия однородного поля тяжести разность давлений на двух уровнях жидкости, отстоящих по высоте друг от друга на расстоянии H , даѐтся соотношениемp gH , где плотность жидкости. Отсюда следует закон сообща-

ющихся сосудов: в сообщающихся сосудах, заполненных однородной жидкостью, давление во всех точках жидкости, расположенных в одной горизонтальной плоскости, одинаково независимо от формы сосудов.

При этом поверхности жидкости в сообщающихся сосудах устанавливаются на одном уровне (рис. 18).

Давление, которое появляется в жидкости из-за поля тяжести, называется гидростатическим. В жидкости на глубине H , считая от поверхности жидкости, гидростатическое давление равно p gH . Полное давление в

жидкости складывается из давления на поверхности жидкости (обычно это атмосферное давление) и гидростатического.

§ 12. Закон Архимеда

На поверхность твѐрдого тела, опущенного в жидкость (газ), действуют силы давления. Эти силы увеличиваются с глубиной погружения, и на

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

22

2012-2013 уч. год, №4, 9 кл. Физика. Статика. Равновесие твѐрдых тел и жидкостей

нижнюю часть тела будет действовать со стороны жидкости большая сила, чем на верхнюю. Появляется так называемая выталкивающая сила, называемая ещѐ силой Архимеда.

Выталкивающая сила – это сумма всех сил, действующих на поверхность погружѐнного в жидкость тела, со стороны жидкости (рис. 19). Истинная причина появления выталкивающей силы – наличие различного гидростатического давления в разных точках жидкости.

Для нахождения силы Архимеда мысленно заменим тело жидкостью в объѐме тела (рис. 20). Ясно, что выделенный объѐм жидкости будет неподвижен относительно остальной жидкости. На него со стороны окружающей жидкости будет действовать такая же сила, как и на погружѐнное тело. Напомним, что эту силу мы назвали выталкивающей. По третьему закону Ньютона, выделенная в объѐме тела жидкость (вытесненная телом) будет действовать на окружающую жидкость с той же по модулю, но про-

Рис. 19 Рис. 20 Рис. 21

тивоположно направленной силой. Эта сила называется по определению весом вытесненного объѐма жидкости. Вспомним, что весом тела неподвижного в некоторой системе отсчѐта (не обязательно инерциальной) называется сила, с которой тело действует на подставку или тянет за подвес.

В нашем случае роль подставки (подвеса) для выделенного объѐма жидкости играет окружающая жидкость. Итак, выталкивающая сила,

действующая на тело, погружѐнное в жидкость, равна по модулю весу вытесненной жидкости и противоположно ему направлена. Это и есть

закон Архимеда. Заметим, что в формулировке закона говорится о весе вытесненной жидкости, а не о силе тяжести. И это весьма существенно, т. к. вес тела не всегда совпадает с силой тяжести, действующей на него. Например, ящик массы m в кабине поднимающегося вверх с ускорением a лифта давит на пол с силой m(g a) . Это значит, что вес ящика будет

Q m(g a) , в то время как сила тяжести, действующая на ящик, будет mg.

Теперь ясно, что выталкивающая сила появляется тогда, когда нет состояния невесомости, т. е. когда любое тело (в том числе и жидкость) имеет вес. Причиной возникновения веса в некоторой системе отсчѐта могут

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

23

2012-2013 уч. год, №4, 9 кл. Физика. Статика. Равновесие твѐрдых тел и жидкостей

быть поле тяжести или наличие ускорения у этой системы отсчѐта (по отношению к инерциальной системе отсчѐта). Если сосуд с жидкостью свободно падает, то жидкость находится в состоянии невесомости и на погружѐнное в неѐ тело сила Архимеда не действует. Не действует эта сила и в космическом корабле, двигатели которого не работают.

При доказательстве закона Архимеда мы считали, что тело полностью погружено в жидкость и вся поверхность тела соприкасается с жидкостью. Если часть поверхности тела плотно прилегает к стенке или дну сосуда так, что между ними нет прослойки жидкости, то закон Архимеда не применим.

Яркой иллюстрацией к сказанному служит опыт, когда ровную нижнюю поверхность деревянного кубика натирают парафином и плотно приставляют ко дну сосуда. Затем осторожно наливают воду. Брусок не всплывает, т. к. со стороны воды на него действует сила, прижимающая его ко дну, а не выталкивающая вверх (рис. 21). Известно, что это явление представляет опасность для подводной лодки, лѐгшей на грунт.

Приведѐнная формулировка закона Архимеда остаѐтся справедливой и в случае, когда тело плавает в жидкости или частично опущено в неѐ через свободную, т. е. не соприкасающуюся со стенками сосуда, поверхность жидкости. Доказательство аналогично случаю полностью погружѐнного в жидкость тела.

Нам осталось научиться находить вес вытесненной жидкости и линию действия выталкивающей силы. В общем случае это не так легко сделать, что видно на примере погружения тела в жидкость, вращающуюся вместе с сосудом.

Рассмотрим наиболее простой и часто встречающийся на практике случай. Пусть сосуд с жидкостью неподвижен в некоторой инерциальной системе отсчѐта и находится в однородном поле тяжести. Например, кастрюля с водой на столе, озеро в лесу и т. д. Тогда, как известно, вес любого неподвижного тела равен силе тяжести, действующей на тело. Поэтому, вес вытесненной жидкости равен силе тяжести, действующей на неѐ, а выталкивающая сила равна по модулю этой силе тяжести и противоположно ей направлена. Линия действия выталкивающей силы будет проходить через центр тяжести вытесненного объѐма жидкости.

Действительно, на этот объѐм жидкости действуют две силы – сила тяжести mg , приложенная в центре тяжести (ц. т.), и выталкивающая сила

F (рис. 22). Так как выделенный объѐм жидкости находится в равновесии, то сумма моментов этих двух сил относительно любой оси, проходящей через ц. т., должна быть равна нулю. Момент силы тяжести равен ну-

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

24

2012-2013 уч. год, №4, 9 кл. Физика. Статика. Равновесие твѐрдых тел и жидкостей

Контрольные вопросы

1.Что называется твѐрдым телом?

2.Чем отличается свободный вектор от силы?

3.Можно ли и как переносить точку приложения силы в твѐрдом теле?

4.В театре на вращающейся сцене сидит на стуле актѐр. Относительно какой системы отсчѐта актѐр находится в равновесии? Относительно какой системы отсчѐта актѐр не находится в равновесии?

5.Под каким углом должны действовать на материальную точку две

7. На прямоугольную пластину (рис. 25) в еѐ плоскости действуют силы F1 F2 20 Н , F3 202 Н . Покажите, что у такой системы сил нет

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

26

2012-2013 уч. год, №4, 9 кл. Физика. Статика. Равновесие твѐрдых тел и жидкостей

равнодействующей. Опишите качественно начальный характер движения пластины под действием этих сил из неподвижного состояния.

8.Однородный шар висит на нити, опираясь на гладкую наклонную стенку (рис. 26). Найдите ошибку в рисунке.

9.На тело действуют две параллельные силы F1 80 Н и F2 60 Н (рис. 27). Расстояние между точками приложения сил AB 140 см . Найти равнодействующую силу (модуль, направление, линию действия).

10. На тело действуют две антипараллельные силы F1 180 Н и F2 240 Н (рис. 28). Расстояние между точками приложения сил AB 20 см . Найти равнодействующую силу (модуль, направление, линию

действия).

11. На горизонтальной поверхности земли лежит однородное бревно постоянного сечения массой 100 кг . Какую наименьшую силу надо при-

ложить к бревну, чтобы приподнять его за один конец?

12. Мужчина и женщина переносят груз, подвешенный на легкой палке длиной 1,5 м , держа палку за концы. Где надо подвесить груз, чтобы нагрузка на мужчину была вдвое больше, чем на женщину?

13.Чем можно объяснить текучесть жидкостей и газов?

14.Выполняется или нет закон Паскаля в невесомости?

15.Чему равна сила Архимеда в невесомости?

16.Как зависит выталкивающая сила от глубины погружения несжимаемого тела в несжимаемую жидкость?

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

27

2012-2013 уч. год, №4, 9 кл. Физика. Статика. Равновесие твѐрдых тел и жидкостей

17. Алюминиевый шар с полостью внутри висит на нити (рис. 29). Повернѐтся или нет шар относительно нити, если его погрузить в воду?

Задачи

1. Стержень AC массой m закреплен шарнирно в точке A и опирается на гладкий шар так, что AB составляет 3 / 5 от длины стержня (рис. 30). Угол стержня с вертикалью 30 . Определить силу давления стержня на шар.

2. Доска опирается верхним концом о гладкую вертикальную стену, а нижний конец находится на полу. Коэффициент трения скольжения между доской и полом μ 0,5 . При каких углах наклона доски к горизонту

доска не упадет на пол?

3. В медном шаре радиусом R находится сферическая полость радиу-

сом 34 R , касающаяся поверхности шара. На каком расстоянии от центра

шара находится центр масс?

4. Кусок дерева плавает в воде, погрузившись на 0,8 своего объѐма. Найти плотность дерева.

5*. Кусок льда привязан нитью ко дну цилиндрического сосуда с водой (рис. 31). Над поверхностью воды находится некоторый объем льда. Нить натянута с силой T 1 Н . На сколько и как изменится уровень воды в со-

суде, если лед растает? Площадь дна сосуда S 400 см2 , плотность воды

1 г/см3 .

2012, ЗФТШ МФТИ, Чивилѐв Виктор Иванович

28