Бесов

z C, z 6= 0, существует обратное комплексное число, определены разность двух комплексных чисел и частное двух комплексных чисел (если делитель не равен нулю).

Разность z2 − z1 двух комплексных чисел z2 = x2 + iy2 и z1 = x1 + iy1 вычисляется по правилу

z2 − z1 = x2 − x1 + i(y2 − y1).

Частное z B z1 двух комплексных чисел z1 и z2 (z26=0) z2

определяется как решение уравнения zz2 = z1 относительно z = x + iy. Практический прием нахождения частного состоит в почленном умножении последнего равенства на число z¯2, сопряженное числу z2 и нахождения z = x + iy из уравнения z|z2||2 = z1z¯2, где |z2| — модуль z2, |z2| > 0:

Для вычисления частного двух комплексных чисел удобно представить каждое из этих чисел в тригонометрической форме, с которой мы познакомимся позднее.

Для геометрического изображения комплексных чисел пользуются прямоугольной системой координат. При этом комплексное число z = x + iy изображается точкой с координатами (x, y) или радиусом-вектором этой точки. Сложение и вычитание комплексных чисел сводится к сложению и вычитанию соответствующих векторов. Сопряженные комплексные числа z и z¯ изображаются точками, симметричными относительно оси Ox (вещественной оси).

Нам понадобятся следующие свойства сопряженных чисел:

z¯ = z, z1 + z2 = z¯1 + z¯1, z1 − z2 = z¯1 − z¯2, z1z2 = z¯1z¯2, zz¯ = |z|2.

Эти свойства устанавливаются непосредственной проверкой.

132Глава 9. Неопределенный интеграл

§9.4. Разложение многочлена на множители

Многочленом степени n N0 называется функция

Корнем многочлена Pn(z) называется комплексное число z0 такое, что Pn(z0) = 0.

Многочлен Pn(z) можно разделить на одночлен (z − z0), т. е. представить Pn(z) в виде

Pn(z) = (z − z0)Qn−1(z) + r,

где частное Qn−1 — многочлен степени n −1, а остаток r

C.

Теорема 1 (Безу). Число z0 является корнем многочлена тогда и только тогда, когда Pn(z) делится без остатка на z − z0.

Д о к а з а т е л ь с т в о очевидно.

Если многочлен Pn при некотором k N, k 6 n представим´ в виде

Pn(z) = (z − z0)kQn−k(z)

и не представим´ в виде

Pn(z) = (z − z0)k+1Qn−k−1(z),

где Qn−k, Qn−k−1 — многочлены, то z0 называют корнем многочлена Pn кратности k. При k = 1 z0 называют про-

стым корнем.

В курсе теории функций комплексного переменного будет доказано, что всякий многочлен имеет хотя бы один корень в C. Отсюда сразу следует разложение на множители многочлена Pn

где z1, z2, . . . , zr — корни многочлена Pn, кратности которых соответственно равны k1, k2, . . . , kr.

В дальнейшем будем рассматривать многочлены Pn лишь с действительными коэффициентами.

Лемма 1.Пусть Pn — многочлен с действительными коэффициентами и z0 = a + ib, b 6= 0, его корень кратности k. Тогда z¯0 = a − ib также является его корнем кратности k.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем

Pn(x) = (z − z0)kQn−k(z).

Переходя в этом равенстве к сопряженным значениям в его левой и правой частях, имеем

Pn(z) = (z − z0)kQn−k(z).

Отсюда на основании свойств сопряженных чисел имеем

Pn(¯z) = (¯z − z¯0)kQn−k(¯z),

где коэффициенты многочлены Qn−k являются сопряженными к соответствующим коэффициентам многочлена

Qn−k.

Заменив в последнем равенстве z¯ на z, получаем, что

Pn(z) = (z − z¯0)kQn−k(z).

Отсюда следует, что z¯0 — корень многочлена Pn, причем кратность z¯0 не меньше кратности z0.

Аналогично показывается, что если z¯0 — корень многочлена Pn кратности k, то z¯0 = z0 является корнем Pn кратности не меньше k. Отсюда следует, что кратности z0 и z¯0 совпадают.

З а м е ч а н и е. При z0 = a + ib

(z − z0)(z − z¯0) = z2 + pz + q,

p2

где p, q — действительные, 4 − q < 0.

134 Глава 9. Неопределенный интеграл

В самом деле,

(z − a − bi)(z − a + bi) = (z − a)2 + b2 = z2 − 2az + a2 + b2,

p2 − q = a2 − (a2 + b2) = −b2 < 0.

4

Учитывая лемму и последнее замечание, приходим к выводу, что для многочлена Pn с действительными коэффициентами справедливо следующее разложение на множители

Pn, αi N — их кратности,

x2 + pjx + qj = (x − zj)(x − z¯j), Im zj 6= 0,

zj, z¯j — комплексные корни Pn (Im zj 6= 0), βj N — их кратности.

§ 9.5. Разложение правильных рациональных дробей на простейшие

Рациональная дробь (т. е. частное двух многочленов)

P (x) называется правильной, если степень многочлена P

Q(x)

меньше степени многочлена Q. Неправильную рациональную дробь (деля числитель на знаменатель по правилу деления многочленов) можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби (второе слагаемое отсутствует, если деление произошло без остатка).

Все многочлены в этом параграфе имеют лишь действительные коэффициенты.

Лемма 1. Пусть P (x) — правильная рациональная

Q(x)

дробь и a — действительный корень кратности α > 1 многочлена Q, т. е.

− α ˜ ˜ 6

Q(x) = (x a) Q(x), Q(a) = 0.

где правая часть — правильная рациональная дробь. Выберем A из условия, чтобы a было корнем числителя

P (x) − AQ(x) = (x − a)P (x).

Сократив правую часть (1) на x −a, приходим к утверждению леммы.

Лемма 2. Пусть — правильная рациональная

дробь, z0 = a + ib, b 6= 0 — корень кратности β > 1 много-

136 Глава 9. Неопределенный интеграл

где правая часть — правильная рациональная дробь. Достаточно, очевидно, выбрать M, N так, чтобы числитель правой части (2) делился на x2 + px + q, т. е. чтобы a + ib являлся его корнем. Имеем

Из лемм 1, 2 следует

Теорема 1. Пусть P , Q — многочлены с действитель-

ными коэффициентами, P (x) — правильная рациональная

Q(x)

дробь,

Q(x) = (x−a1)α.1. . (x−ar)αr (x2+ p1x+ q1)β.1. . (x2+ psx+ qs)β,s

где a1, . . . , ar — попарно различные действительные корни

Q, x2 + pjx + qj = (x − zj)(x − z¯j), Im zj > 0, z1, . . . , zs —

попарно различные комплексные корни Q. Тогда

где Aik, Mjm, Njm — некоторые действительные числа.

Д о к а з а т е л ь с т в о состоит в последовательном многократном применении лемм 1, 2. Именно, применяем

сначала лемму 1 по отношению к корню a1 α1 раз, затем лемму 1 по отношению к корню a2 α2 раз и т.д.

дробями.

При нахождении коэффициентов Aik, Mjm, Njm в разложении (3) правильной рациональной дроби на простейшие в случае конкретной дроби QP обычно применяют ме-

тод неопределенных коэффициентов. Он состоит в том, что записывают разложение (3) с неопределенными коэффициентами Aik, Mjm, Njm, приводят все дроби к общему знаменателю и отбрасывают его. Из полученного равенства многочленов находят все нужные коэффициенты, сравнивая, например, коэффициенты при одинаковых степенях x или значения многочленов в некоторых точках.

§ 9.6. Интегрирование рациональных дробей

Всякую рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, которую в свою очередь можно разложить на сумму простейших.

Поэтому вопрос интегрирования рациональных дробей сводится к вопросу интегрирования простейших дробей, т. е. дробей вида (9.5.4).

Z

A

Интеграл (x − a)n dx с помощью подстановки t = x−

− a сводится к табличному интегралу.

138 Глава 9. Неопределенный интеграл

З а м е ч а н и е. Во всех интегралах этой цепочки, зависящих от t, после их вычисления вместо t следует подставить t = x + p2 . Ради краткости записи мы не отмечаем

Первый из интегралов правой части сводится подста-

§ 9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций 139

новкой к табличному. Остается вычислить интеграл

Отсюда получаем рекуррентную формулу

2n − 3 t

Jn = 2a2(n − 1) Jn−1 + 2a2(n − 1)(t2 + a2)n−1 + C3.

мы уже можем по этой формуле найти последовательно J2,

J3, . . .

§ 9.7. Интегрирование некоторых иррациональных функций

Функции вида

X

ak1, ..., kn uk11 . . . uknn ,

k1+ ...+kn6k

называются многочленами от переменных u1, . . . , un.

где r1, . . . , rs — рациональные числа.

Запишем ri в виде ri = mpi , где m N, pi — целые числа

(i = 1, 2, . . . , s).

где под знаком интеграла стоит рациональная функция от t, интеграл от которой мы умеем находить.