Экзамен 1 семестр

§ 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г.

41

Ответы к варианту 72

1.

а)

1

(x6 + 1) arctg x −

1

x5 +

1

x3

1

x + C;

−

1

6

30

18

6

б)

tg4 x

− tg2 x + 2 ln(tg2 x + 2) + C.

4

; esin x = 1 + x +

x2

+ o(x3);

2.

e−11/6

2

arcsin 2x

x2

11

= −x −

−

x3 + o(x3).

x − 2

2

12

3.

Область определения x 6 2.

Асимптота y = −2x при x → −∞.

y0 = −

x +

√

2(x2

− 2)

4 − x2

=

,

x < 2,

√4

x2

√4

x2(√4

x2

x)

| |

√x2−

4

−

−

−

x

−

−

,

x <

−

2;

√x2 − 4

4

y00 =

−

,

|x| < 2,

(4 − x2)3/2

4

,

x <

2.

2

3/2

−

−

(x − 4)

y

A(−2; 2),

B

x = −2 — точка минимума y(x),

B(−√

2; 2√

A

2),

√

x = −

2

— точка максимума y(x),

C

x = 2 — точка краевого

y

минимума y(x),

=

−

2

касательные в точках A и C

x

Рис. 15

вертикальные.

n

1

4

4. y = −4 + k=1(−1)k−122k

+

(x + 3)2k +

12(2k

−

2)!

(2k)!

X2n+1

).

+ o((x + 3)

3

3

3

5. K =

13√

(y0

=

, y00

= −

).

2

8

13

6.

2

; x(px2 + x − x) = x2

r

− 1!

=

2 + o(x) при x →

1 + x

1

1

x

xt0

= t + 1, yt0

=

(t + 1)(t − 3)

,

(t − 1)2

y0

=

t − 3

, y00

=

−

t − 5

.

(t + 1)(t − 1)3

x

(t − 1)2

xx

t

y

→

1+0

+∞

C

t→

B

3

0

2

x

A

1→t

t

→−∞

0−

1

; −2

(t = −1) — точка возврата, tg αкас = −1;

A −

2

B

2 ; 6

(t = 3); C

2 ; 7 (t = 5),

15

35

35

1

x =

— точка перегиба, tg αкас =

.

2

8

Рис. 16

1

√

8.

nlim xn =

(

5 − 1).

2

→∞

Решения задач №7 и №8 варианта 72

7.

Построить кривую

t2

t2 + 3

x =

+ t, y =

.

2

t − 1

x1 = 0, xn+1 =

1

+ xn

.

(1)

2

+ xn

1

Р е ш е н и е. Имеем x1 = 0, x2

=

> 0.

Пусть xn > 0.

2

Тогда xn+1

=

1

+ xn

> 0. По индукции доказано, что xn > 0,

n = 2, 3, . . .

2

+ xn

Докажем монотонность последовательности {xn}. Имеем

1

x2 − x1 =

> 0. Пусть xn − xn−1 > 0. Тогда

2

x

n+1 −

x

n

=

xn − xn−1

> 0.

(2 + xn)(2 + xn−1)

lim xn = C.

n→∞

Переходя к пределу в формуле (1), получаем

C =

1

+ C

,

2

+ C

1

√

1

√

откуда заключаем, что C =

( 5 − 1), а не −

(

5 + 1), так

2

2

как lim xn не может быть отрицательным.

n→∞

√

1

Ответ:

(

5 − 1).

2

§ 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г.

45

Вариант 73

1. Вычислить интегралы

√4

а)

3 sin x ln(1 + sin x) dx,

б)

4

x5

dx

.

Z

Z

(1 − √4 x3) 34

2.5 Найти предел функции

√

cos x

sh x

lim

1 + sin 2x

−

−

x

.

x→0 e

1−x

− ch x + 21 ln(1 − 2x)

3.5 Построить график функции

4.4

y = 3

x2(x − 6)

.

x = 2

2n+1

Тейлора в окрестности точки

Разложить по формуле p

до o((x − 2)

) функцию

x2

x2

y =

− x + 4 e2x−

.

2

4

5.4

Найти в точке (1; 1) кривизну графика функции y = y(x),

заданной неявно уравнением

6.4

y5 + y − 2x3 = 0.

Найти предел функции

sh x

1

+ln x

2

lim

x

arctg x

.

7.7

x→+0

Построить кривую

t2

t2 − 3

x =

, y =

.

t −

2

t − 2

8.4

Доказать, что последовательность {xn} имеет предел, и

найти его, если

x = 0, x

= x2

+

1

.

1

n+1

n

4

46

Рациональные методы решения задач по матанализу

Ответы к варианту 73

1.

а) − cos x ln(1 + sin x) + x + cos x + C.

б)

4

√4

x

3

− 1)

5/3

+

5 (

√4

3

− 1)

2/3

+ (1 −

4

+ 4(

x

√4 x3)1/3 + C.

2.

2

√

x2

−

x3

3

); e

1 xx

= 1 + x +

−5 ;

1 + sin 2x = 1 + x −

2

6

+ o(x

−

3

13

числитель: −

x3

+ 2 x2

+

6 x3 + o(x3);

3

+ o(x3), знаменатель:

5 x3 + o(x3).

6

3.

Асимптота: y = x − 2.

y0 =

x − 4

, y00

=

8

.

x1/3(x − 6)2/3

−x4/3(x − 6)5/3

y

2

−

x

=

y

0

B

x

A

O(0; 0), x = 0 — точка максимума y(x);

A(4; −2√3 4), x = 4 — точка минимума y(x);

B(6; 0), x = 6 — точка перегиба с вертикальной касательной.

Рис. 17

n

(−1)ke2

3

1

4. y = 3e2 +

(x

−

2)2k + o((x

−

2)2n+1).

k=1 2k(k

−

1)! k −

2

X

√2

4

5.

K =

3

(y0(1) = 1, y00

(1) = −3 ).

1

sh x

x2

+ o(x3).

6. e2 ;

= 1 +

arctg x

2

§ 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г.

47

7.

Асимптоты: y =

x

+ 3 (t

→ 2

± 0), y = x (t → ±∞).

4

xt0 =

t(t − 4)

,

yt0

= (t − 1)(t − 3) ,

(t − 2)2

(t − 2)2

y0

= (t − 1)(t − 3) ,

y00 =

6(t − 2)3 .

x

t(t − 4)

xx

−t3(t − 4)3

y

∞

→

+

2+0

t→

t

D

C

x+3

=

4

y

0