Экзамен 1 семестр

Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

4. а)n y = e6(−6x + 13x2 − 14x3) + o(x3); б) y = −9 + 18(x − 3) +

+ k=2(−1)k2k 4(k

(x − 3)k + o((x − 3)n).

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

449.45 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Ответ: Расходится.

сверху и

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.

что абсурдно.

Следовательно, последовательность {xn} неограничена

lim xn = +∞, {xn} расходится.

n→∞

Вариант И

Вычислить интегралы

sin x

а) 3

e−2x arcctg e2x dx;

б) 4

dx.

sin x + cos x

lim

cos(x√

) + ln(1 + x + x2) − arcsin x − 1

2.5 Найти

1 + x

x→0

etg x − ch x − x

Построить графики функций

а) 4 y =

(2 − x)5

;

б) 5 y = 3

x2(6

x )

(x − 1)4

− | |

Разложить по формуле Тейлора функцию

y =

+ x √1 − 3x

а) 2 в окрестности x0 = 0 до o(x3);

б) 4 в окрестности x0 = −1 до o((x + 1)n);

5.4 Указать все точки непрерывности и точки разрыва, установить тип разрывов функции f(x), определенной на (−π; 2π), при этом

f(x) =

(π + 2x)2|π − 2x|

cos x

при x (−π; 2π),

x 6= k +

π,

k = 0, ± 1;

3π

f −

= 0, f

= f

= 4π2.

6.4 Найти в точке (−1; 2)

значение

радиуса кривизны графика

y + y

функции y(x), заданной уравнением

= 15 + x .

+ln3 x .

7.5

Найти

lim

ex ctg x

x→+0

−

8.7

Построить кривую x =

y =

(t − 1)2

t(t + 1)

9.3 Установить, сходится или расходится последовательность

32 Рациональные методы решения задач по матанализу

{xn}, xn > 0, n = 1, 2, . . . , если nlim

n+1

→∞

Ответы к варианту И

а) −

e−2x arcctg e2x +

ln(1+e−4x)+C =

−

e−2x arcctg e2x +

ln(1 + e4x) − x + C;

б)

−

ln |1 + tg x|−

| cos x|+

x + C = −

ln | cos x + sin x|+

+ C.

√

−

; cos(x

1 + x) = 1 −

−

+ o(x );

etg x = 1 + x +

+ o(x3); ln(1 + x + x2) = x +

−

x3 +

+ o(x3);

числитель: −

x3 + o(x3); знаменатель:

+ o(x3).

а)

Асимптоты:4x = 1, y = −x + 6;

. 7;

график на рис

y0 =

−

(x − 2) (x + 3)

, y00 =

−

(x − 2)

(x − 1)6

(x − 1)5

x − 4

б)

Функция четная. При x > 0: y0

, y00 =

−x1/3(x − 6)2/3

;

x4/3(x − 6)5/3

Асимптоты: y = −x + 2 (x → +∞), y = x + 2 (x → −∞);

график на рис. 8.

	y						y
						A0	y			A
y	A					A0				A
=	A
−
	x
	+6
					B0		0				B
							0				x
			B							y
			B							=
	0			x	+2					−
					+2						x
		x=1			x						+2
					=						+2
					y

A −3;		55	, B(2; 0).		O(0; 0),	A(4; 2	√3 4), A	(	4; 2	√3 4),	B(6; 0),
A −3;		44	, B(2; 0).		B0(−6; 0).		0		−
		Рис. 7					Рис. 8

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.

а) y = x − x2 −

x3 + o(x3); б)

y = −1 +

(x + 1)+

+ k=2(−1)k 4k

9 C1k/−22 − C1k/2 (x + 1)k + o((x + 1)n).

3π

x =

— точка разрыва 1-го рода, x =

— точка разрыва

2-го рода; остальные точки интервала (−π; 2π) — точки непре-

рывности.

5√

R =

(y0 = 1, y00 = −

e1/30

; ex ctg x−1

= 1 −

+ o(x4).

→ ±∞

−

Асимптоты

: y = −4 (t → −1 ±

0), x = 0 (t

), y = x

→ ±

0); x0

−

2(t + 1/2)

, y0 =

t − 1

, y0 =

−

(t + 1) (t − 1)

(t + 1)2t2

2(t + 1/2)

6t4(t + 1)4

y00

, кривая на рис. 9.

(2t + 1)3

t→+∞

→

−

t→−1+0

y = −4

→

−0

−→t

t→−1−0

∞

; 0 (t = 1),

t = −

A 2

B −4; −2

В точке B касательная вертикальна.

Рис. 9

Расходится.

34 Рациональные методы решения задач по матанализу

Вариант О

Вычислить интегралы

а) 3

Z cos x ln(2 − cos2 x) dx;

б) 4

dx.

−

x3)3/2

x→0

√3

2 arctg x

5 Найти lim

1 + 3x − x2

+ arcsin(tg x) − 1 + 34 x2

x sh x

Построить графики функций

(x + 2)3

а) 4 y = 1 −

;

б) 5 y = 3 (x + 1)2(8x − 4).

Разложить по формуле Тейлора

функцию

y = (x2 − 6x)e6−2x

а) 2

в окрестности x0 = 0 до o(x3);

);

б) 4

в окрестности x0 = 3 до o((x −

5.4 Указать все точки непрерывности и точки разрыва, устано-

вить тип разрывов функции f(x), определенной на −	π	;	3π	,
	2		2

при этом

|x| ctg x f(x) = 2 1 + 2 2x−π

3π

kπ

при x −

;

x 6=

k = 0, 1, 2;

f(0) = f

= f(π) = 0.

6.4

Найти в точке (2; −1) значение

радиуса кривизны графика

функции y(x), заданной уравнением

+ 3x y + y + 5 = 0.

x→+∞ "

x + 4 −

x − sin √x

· ln ch x# .

Найти

lim

√

8.7 Построить кривую

x = t +

y = 2t +

t + 1

9.3 Установить, сходится или расходится

последовательность

{xn}, xn > 0, n = 1, 2, . . . ,

n→∞

если lim

xn+1

	§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.								35
		Ответы к варианту О
1. а)	sin x · ln(1			+	sin2 x) −		2 sin x + 2 arctg(sin x) +		C;
	2		4			2
б)		+		(1	− x3)1/2 −			(1 − x3)3/2 + C.
б)	3(1 − x3)1/2	+	3	(1	− x3)1/2 −		9	(1 − x3)3/2 + C.

2.e7/4 ; p3 1 + 3x − x2 = 1 + x − 43 x2 + 73 x3 + o(x3).

3.а) Асимптоты: x = 0, y = −x − 5; график на рис. 10;

y0	=	−	(x + 2)2(x − 4)		, y00	=	−24(x + 2) .
		−		x3				x4
	б)		Асимптота: y = 2x + 1; y0 =
				1				(x + 1)1/3
y00	= −			1				, график на рис.

				(x + 1)4/3(x − 1/2)5/3
				y					y
				y
				B

y			C		0
y
=
−
x
−
5
A				+1	A
A			x
		=2	x
	y	=2
	y

(x − 1/2)2/3 , 11.

A 4;	−2	, B(−2; 1)	A(0; −22/3), B	2 ; 0 ,
	25			1
			C(−1; 0)
	Рис.	10	Рис. 11

5.x = 0 — точка разрыва 1-го рода, x = π — точка разрыва

2-го рода; остальные точки интервала −						π	;	3π		— точки не-
2-го рода; остальные точки интервала −						2	;		2	— точки не-
прерывности.
5				2
6. R =		(y0 = 0, y00	= −		).
6. R =	2	(y0 = 0, y00	= −	5	).

Рациональные методы решения задач по матанализу

; √x + 4 −

√x = √x

− x3/2 + o x3/2 .

Асимптоты

y =

28 (t → ±0), x = −2 (t → −1 ±

0), y =

→ ±∞

); x0

= t

− 1 , y0 =

2(t − 1)(t + 3)

, y0 =

2(t + 3)t

(t + 1)2

(t + 1)3

yxx00 =

12t3

, кривая на рис. 12.

(t + 1)5(t − 1)

→−1+0

∞

→

y=8

t→−0t

→

x=−2

; −10 (t = −3);

A − 3

∞

→t

−

1−

→

0−

Рис. 12

Сходится.

§ 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г.

§ 2. Экзаменационная работа по математическому анализу 1-го семестра 1996/1997 уч.г. для студентов 1-го курса

Вариант 71

1. Вычислить интегралы

а) 3

cos x ln(1 + cos x) dx;

б) 4

(1 + x4) 23

dx.

2.5

Найти предел функции

lim

sin(x cos x) − arctg x

3.4

x→0 etg x − √3 1 + 3x + 3 ln cos x

Построить график функции

y = 3

4.4

x2(9 − 8x)

x = −1

2n+1

Тейлора в окрестности точки

Разложить по формуле p

до o((x + 1)

) функцию

y = (√

−

+ 2x

−

3x2.

3) 1

5.4

Найти в точке ( 2; 1) кривизну графика функции y = y(x),

заданной неявно уравнением

6.4

y5 + y − x2 = 0.

Найти предел функции

1 +ln2 x

lim

1 +

sin x − arcsin x

7.7

x→+0

Построить кривую

x(t) =

t − t2 − 4

, y(t) =

(t − 1)2

8.4

Доказать, что последовательность {xn} имеет предел, и

найти его, если

x1 = 1, xn+1

+ 1.

38 Рациональные методы решения задач по матанализу

											Ответы к варианту 71
1.		а) sin x ln(1 + cos x) + x − sin x + C.
	б)			1		(1 + x4) 23 +					1	(1 + x4) 21				+		1	ln	√	1 + x4					− 1 + C.
	б)			6		(1 + x4) 23 +				2		(1 + x4) 21				+			ln	√	1 + x4					− 1 + C.
				6						2						4				√1 + x4 + 1
		2												2																x2
2.					; sin(x cos x) = x −										x3 + o(x4); ln cos x =													−				+ o(x3);
2.			7		; sin(x cos x) = x −									3	x3 + o(x4); ln cos x =													−			2	+ o(x3);
								x3															7
	числитель: −									+ o(x3), знаменатель: −															x3 + o(x3).
	числитель: −							3		+ o(x3), знаменатель: −														6	x3 + o(x3).
3.		Асимптота y = −2x +											3	;
3.		Асимптота y = −2x +											4	;
						y0 =	−		2			x − 43					, y00 =					9			1				;
						y0 =			2					2			, y00 =								x −		9	5	;
										1			9	3						16			4				9	3
										x3 x −			8										x3				8

4 ;

√3 2 , x = 4 — точка

максимума y,

O(0; 0), x = 0 — точка минимума y,

; 0

, x =

— точка перегиба

−

с вертикальной касательной.

Рис. 13

1)k−1 3k−1

4. y =

−

8 +

(

−

Ck1−1 + 3Ck1

(x + 1)2k + o((x +

k=1

22k−3

+ 1)2n+1).

√2

, y00 = −

5. K = √11

(y0 = 3

27 ).

e3 .

sin x

− arcsin x

+ o(x2).

Асимптоты: y = −

−

→ ±0), y = −x − 1 (t → ±∞).

§ 2. Экзаменационная работа 1996/1997 уч. г.

4 − t2 =

−

(t + 2)(t − 2)

, y0

= t2 − 1

= (t + 1)(t − 1)

= t2 − 1

, y00

6t3

−6t3

4 − t2

− t2)3

(t + 2)3(t − 2)3

→

∞

t→+0

y
=− x	− 7
4	− 7
	4

y = − x − 1

t→−0

			t
			→
			−
A(−4; 0) (t = 1), B	−3; 2	(t = 2), C	∞	(t = −2);
A(−4; 0) (t = 1), B	−3; 2	(t = 2), C	5; −2	(t = −2);
	1		9

в точках B и C касательные вертикальны;

D(6; −4) (t = −1).

Рис. 14

8. lim xn = 2.

n→∞

40 Рациональные методы решения задач по матанализу

		Вариант 72
1. Вычислить интегралы
	Z		Z	tg5 x
а) 3		x5 arctg x dx, б) 4			dx.
				1 + cos2 x

2.5 Найти предел функции

lim

esin x +

arcsin 2x

x ln ch x

x − 2

x→0

3.5 Построить график функции

4.4

y =

(2 − x)|x + 2|

− x.

x = −3

2n+1

формуле Тейлора в окрестности точки

Разложить по

до o((x + 3)

) функцию

y =

+ 2x − 1 cos(2x + 6).

5.4	Найти в точке (1; 1) кривизну графика функции y = y(x),
заданной неявно уравнением
6.4		y3 + y − 2x3 = 0.
	Найти предел функции
	lim	x(√				− x) + (cos x) ln x					.
				x2 + x

	x→+∞				ln(1 + ch x)
7.7	Построить кривую		t2				t2 + 3

	x =				+ t, y =				.
			2
								t − 1
8.4	Доказать, что последовательность {xn} имеет предел, и
найти его, если
	x1 = 0, xn+1 =						1 + xn			.

							2 + xn

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.2015834 Кб93часть 5 Окислительно восстановительные реакции.pdf
#
20.11.20197.42 Mб45Чичерин Б. Н. Курс государственной науки. Тома...doc
#
25.04.2019302.08 Кб17шень_программирование.docx
#
03.06.20153.1 Mб226шпоры к первому вопросу одним файлом.pdf
#
28.08.2019311.3 Кб14Эволюция вселенной.doc
#
03.06.2015449.45 Кб40Экзамен 1 семестр.pdf
#
27.03.2016565.52 Кб39Электродинамика. Программа. 2 семестр.pdf
#
30.11.2018360.96 Кб89Электростатика.doc
#
03.06.201558.89 Кб31—— (Иисус Христос).docx