Экзамен 1 семестр

3

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

§ 1. Экзаменационная работа по математическому анализу 1-го

семестра 2002/2003 уч.г. для студентов 1-го курса . . . . . .

5

Вариант А . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

Ответы к варианту А . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

Методические указания к решению задач.

Решение задач варианта А . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

Вариант Е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

Ответы к варианту Е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

Решение задач варианта Е . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

Вариант И . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

Ответы к варианту И . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

Вариант О . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

Ответы к варианту О . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

§ 2. Экзаменационная работа по математическому анализу 1-го

семестра 1996/1997 уч.г. для студентов 1-го курса . . . . . .

37

Вариант 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

37

Ответы к варианту 71 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38

Вариант 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

Ответы к варианту 72 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

Решения задач №7 и №8 варианта 72 . . . . . . . . . . . . .

42

Вариант 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

Ответы к варианту 73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

Вариант 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Ответы к варианту 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.

5

Вариант А

1.

Вычислить интегралы

б) 4

Z

1 + sin 2x dx.

а) 3 Z

x

dx;

(arccos ln x)2

1 + tg3 x

√3

x

1 + 3x + x

2

− ln(1 + sin x) − cos

√

5 Найти

lim

3

tg(ex − 1) − sh x − x22

2.

x→0

.

3.

Построить графики функций

x3

б) 5 y = p3 |x|(x + 3)2.

а) 4 y =

;

4.

2(x − 2)2

Разложить по формуле Тейлора функцию

x2

y =

− x

2 + 4x − 2x2

2

p

3

а) 2 в окрестности x0 = 0 до o(x

);

2n+1

).

б) 4 в окрестности x0 = 1 до o((x − 1)

π

5π

вить тип разрывов функции f(x), определенной на −

3

;

,

2

2

при этом f(x) =

x (π2 − x2)

при

x

3π

;

5π

, x = kπ,

− 2

| |

sin x

2

6

k = 0, ±1, 2; f(0) = f(2π) = π2, f(π) = 2π2,

f(−π) = −2π2.

6.4 Найти в точке (1; 1) значение

радиуса кривизны графика

x

4

2

4

−x13

+ln4 x

функции

y(x),

заданной уравнением

+ y

2xy = 0.

x→+0

ln(1 + x) − sh

2 −

12

.

7.5 Найти

lim

x

x

x

x =

(t + 1)3

y =

(t + 1)(2t + 1)

8.7 Построить кривую

,

.

t2

t2

9.3 Установить, сходится или

расходится последовательность

xn

{xn}, xn

> 0, n = 1, 2, . . . , если nlim

= 5.

x

n+1

→∞

Ответы к варианту А

1.б

)

1

2

−

p

−

а

2

−

ln2 x arccos ln x

2 ln x + C;

(arccos ln x)2 ln x

1

)

tg x − 2 tg x + 3 ln |1 + tg x| + C.

2

2

; p

x3

−

3

1 + 3x + xx2

2.

5

3

2

= 1 + x

2

x2 + x3 + o(x3),

ln(1 + sin x) = x −

+

+ o(x3),

2

6

x2

x3

tg(ex

− 1) = x +

+

+ o(x3);

2

2

5

x3

числитель:

x3 + o(x3); знаменатель:

+ o(x3).

6

3

3. а)

Асимптоты: x = 2, y =

x

+ 2, график на рис. 1;

2

x2(x − 6)

12x

y0

=

, y00

=

. б) Асимптоты: y = x + 2 (x

→

2(x − 2)3

(x − 2)4

(x + 1) sgn x

→

+

∞

), y =

−

x

−

2 (x

→ −∞

); y0 =

, x = 0;

x2/3(x + 3)1/3

6

y00

=

−2 sgn x

, x = 0, график на рис. 2.

x5/3(x + 3)4/3

6

y

y

y

=

2

A

−

A

x

=

−

2

2

x

x +

=

2

B

0

x

y

+

2

x

0

=

x

y

4

B(−3; 0)

A

6; 27

; O(0; 0)

A(

1; √3

4);

O(0; 0),

Рис. 1

−

Рис. 2

4. а) y = −√2x − √2 +

√2 x3

+ o(x3); б) y = (t2 − 1)r1 − t2

,

x2

3

2

t = x − 1,

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.

7

y = 1 +

n

(−1)k−1

(Ck

+ 2Ck−1)(x 1)2k + o((x 1)2n+1).

−

X

−

−

k=1

2k

1/2

1/2

5.

x = 0 — точка разрыва 1-го рода,

x = 2π — точка разрыва 2-го рода; остальные точки интервала

π

5π

−

3

;

— точки непрерывности.

2

2

√

6.

R =

2

(y0 = 1, y00 =

−

14).

7

−

x2

x3

x

x

7.

e1/48

;

= 1 +

−

+

+ o(x3).

ln(1 + x)

2

12

24

8.

2: y = 2 (t = ±∞), y = x − 1 (t → ±0);

Асимптоты

x0 =

(t + 1) (t − 2)

, y0 =

−3(t + 2/3)

, y0 =

−

3

t + 2/3

,

(t + 1)2(t − 2)

t

t3

5

t

t3

x

yxx00 =

6t

, кривая на рис. 3.

(t + 1)5(t − 2)3

y

0

→

−

t

+0

→

B

t

t → −∞

t → +∞

1

0A

x

−

x

=

y

A

, B

, O(0; 0)

1

; −

1

27

;

15

12

4

4

4

Рис. 3

9.

Сходится.

1. а) Вычислить интеграл Z

(arccos ln x)2

dx.

x

Р е ш е н и е. Заменив переменную, положив t = ln x, полу-

чим

(arccos ln x)2

J = Z

dx = Z (arccos t)2 dt.

x

Далее интегрируем два раза по частям

J = t(arccos t)2 + 2 Z

t√1 − t2

dt =

arccos t

б) Вычислить интеграл Z

1 + tg3 x

dx.

1 + sin 2x

§ 1. Экзаменационная работа 2002/2003 уч. г.

9

1

= 1 + tg2 x,

получим

cos2 x

Z

1 + tg3 x

dx =

1 + t3

dt =

1 − t + t2

dt =

1 + sin 2x

1 + t

Z 1 + 2t + t2

Z

3

t2

= Z t − 2 +

dt =

− 2t + 3 ln |t + 1| + C,

где

t = tg x.

t + 1

2

1

tg2 x − 2 tg x + 3 ln |1 + tg x| + C.

Ответ:

2

Для вычисления предела частного двух функций нужно рас-

крыть неопределённость вида

0

. Для этого разлагаем функции

0

по формуле Маклорена в окрестности точки x = 0 и выделяем

главные части степенного вида числителя и знаменателя. При

этом особое внимание следует обращать на учёт всех членов

нужного порядка малости.

2.

Найти

√3

x

2

1 + 3x + x − ln(1 + sin x) − cos √

lim

3

.

tg(ex −

2

x→0

1) − sh x − x2

0

Р е ш е н и е. Имеем неопределённость вида

. В состав зна-

0

менателя отношения двух функций, данного в условии, входит

лишь одна сложная функция. Поэтому рассмотрим вначале

знаменатель.

Используя разложение для sh x, можно получить предста-

вление

x2

x2

sh x +

= x +

+ o(x2).

2

2

Тогда2сложную функцию tg(ex −1) надо будет разлагать тоже

до o(x ). Будем иметь

x2

x2

x3

sh x +

= x +

+

+ o(x4),

2

2

6

x2

x3

u = ex − 1 = x +

+

+ o(x3).

2

6

Так как u x при x → 0, то tg u надо разлагать до o(u3).

u3

tg(ex − 1) = tg u = u +

+ o(u3) =

3

x2

x3

1

x2

x3

3

= x +

+

+ o(x3) +

x +

+

+ o(x3) .

2

6

3

2

6

Приводим подобные члены, при этом выписываем лишь

слагаемые со степенями x не выше третьей. Имеем

x2

x3

tg(ex − 1) = x +

+

+ o(x3).

2

2

+ v)

1

,

где

2

.

Так как

v

3x

при

x → 0,

то разлагаем

3

1

v = 3x+ x

(1 + v) 3

до o(v3). Используя биномиальное разложение, полу-

1

1

1

5

чаем (1 + v) 3 = 1 +

v −

v2

+

v3 + o(v3), откуда (1 + 3x +

3

9

81

1

2

+ x2) 3

= 1 + x −

x2 + x3 + o(x3).

3

Аналогично получаем разложение ln(1 + sin x) = ln(1 + w),

где w = sin x = x −

x3

+ o(x3). Имеем

6

w2

w3

ln(1 + w) = w −

+

+ o(w3),

2

3

x3

1

x3

2

ln(1 + sin x) = x −

+ o(x3) −

x −