Иванова. Построение графиков функции

Построение кривых1

В данном параграфе мы рассматриваем параметрически заданные кривые вида x x t ,y y t .

1.План исследования и построения кривых

1.Исследование функций x x t и y y t .

2.Исследование асимптот кривой.

3.Анализ полученных результатов и построение эскиза кривой.

4.Исследование кривой с помощью первой производной, нахождение точек экстремума и точек возврата.

5.Исследование кривой с помощью второй производной, нахождение точек перегиба.

6.Построение кривой.

Основные требования к результатам исследования и построению кривой в целом такие же, как к исследованию и построению графиков функций.

2.Основные понятия и этапы исследования кривой

1.Исследование функций x x t и y y t

Для построения кривой определяются промежутки изменения параметра t, на которых функции x x t и y y t монотонны.

На промежутке монотонности функции x x t y y t кри-

вую можно анализировать как функцию y y x x x y , соответственно. Поэтому для построения кривой важно исследовать:

—участки возрастания (убывания) функций x x t и y y t ;

—вертикальные асимптоты;

Наклонные асимптоты графиков функций x x t и y y t исследуются, только если используются их эскизы. Исследование

1 В данной теме мы приводим сведения, необходимые для практического исследования и построения кривых. Полнота теоретического материала не предполагается.

44

функций x x t и y y t с помощью второй производной проводить не нужно.

Результаты исследования функций x x t и y y t могут быть описаны, приведены в виде таблицы или отражены на эскизах графиков этих функций.

2. Использование результатов исследования x x t 2.1. Вертикальные асимптоты кривой

стремится к некоторому конечному значениюx0 при соответст-

вующем изменении параметра t. Направление изменения (убывание или возрастание) функции x x t определяет, с какой стороны кривая приближается к асимптоте.

2.2. Наклонные (горизонтальные) асимптоты кривой Прямая y kx b является (невертикальной) асимптотой

lim y t kx t b 0. Аналогично рассматриваются случаи

t t0 0

асимптоты при t t0 0, t , t .

b lim y t kx t . Вычисляя соответствующие пределы, по-

t t0 0

45

лучаем уравнение асимптоты y kx b. Другие случаи рассматриваются аналогично.

Взаимное расположение асимптоты и кривой можно проанализировать, во-первых, оценивая знак выражения y t kx t b , во-вторых, по направлению выпуклости кривой, аналогично функции (см. п.1). Взаимное расположение асимптоты и кривой можно определить, анализируя промежутки изменения функцийx t и y t при приближении к асимптоте.

3. Анализ результатов и построение эскиза графика функции Полученные на данном этапе результаты исследования позволяют построить эскиз кривой, указывающий основные моменты поведения и приблизительно предположить взаимное расположение особых точек кривой. Такой анализ необходим для проверки дальнейших результатов исследования кривой с помощью

производной.

Построение эскиза и самой кривой начинается с изображения на координатной плоскости вертикальных и наклонных (горизонтальных) асимптот кривой. Если известны точки пересечения кривой с осями, полезно отметить их на координатной плоскости для уточнения ее поведения.

Соотношение участков возрастания и убывания функций x x t и y y t используем при построении эскиза кривой и для определения значений параметра t, при которых возможно стремление к асимптоте.

4. Участки возрастания и убывания кривой. Точки миниму-

ма и максимума функций x x y и y y x , точки возврата кривой

Участки возрастания и убывания кривой исследуются на интервалах параметра t, на которых определена функция y y x

по знаку производной yx аналогично исследованию функций.

Приведем в таблице зависимость монотонности кривой от монотонности функций x x t и y y t на интервале t1;t2 и

знаков производной yx .

46

Точка x t0 ;y t0 называется точкой минимума (максиму-

ма) кривой, если в окрестности точки t0 определена функция y y x и точка x t0 является ее точкой минимума (максиму-

ма). Исследование точек минимума (максимума) осуществляется аналогично исследованию функций. Производная yx или соот-

ветствующие односторонние производные, вычисляются по формуле дифференцирования функции, заданной параметрически.

Точка x t0 ;y t0 называется точкой минимума (максиму-

ма) функции x x y , если в окрестности точки t0 определена функция x x y и точка y t0 является ее точкой минимума

(максимума). Исследование точек минимума (максимума) функции x x y осуществляется, как правило, исходя из определе-

ния при исследовании функций x t и y t . При этом y t явля-

ется монотонной функций, а функция x t имеет минимум (максимум).

Точка x t0 ;y t0 называется точкой возврата кривой, если в окрестности точки t0 определены функции x x t и y y t ,

точка t0 является точкой экстремума обеих функций и совпадают

5. Выпуклость функции вверх и вниз. Точки перегиба

47

Направление выпуклости кривой определяется на участках существования функции y y x аналогично случаю исследования функций по знаку второй производной, вычисляемой по формуле дифференцирования функции, заданной параметриче-

ски: yxx t yxt . xt

Точки перегиба кривой определяются на участках параметра t, где существует функция y y x и исследуется аналогично случаю функции.

48