Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский государственный физико-технический университет (МФТИ)

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Иванова. Построение графиков функции

.pdf

Скачиваний:

253

Добавлен:

03.06.2015

Размер:

2.08 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

2;
	0	вертикальная
		асимптота x 0

Кривая изображена на рис. 14.2.

Пример 8.	Исследовать и построить кривую x	8t 1	,
		2t 1 2

y 2t 1 t 2 .

► Предварительное исследование и построение эскиза. Найдем производные функций x t и y t :

x t	8 2t 1 2 2 8t 1	16t 12		y t	25 4t 3
			;			.
	2t 1 3	2t 1 3			2t 1 2 t 2 2

Зная производные, заполним таблицу изменения значений функций x t и y t в зависимости от t:

t										x t		y t
		;						1	0 0			0 0


								2
			1		0
			1

		2
			1		0
			1

		2
		1				3
						;
						;
		2					4
	3									5		8
4									4
		3
				;2
				;2
4
2 0										3	0
2 0										3
									5
									5
2 0										3	0
2 0										3
									5
									5

2;
		0 0					0 0
Исследуем асимптоты кривой.
Если	t 2 0, то		x	3	0,	y соответственно.
Если	t 2 0, то		x		0,	y соответственно.
			5

Значит прямая x 3 является вертикальной асимптотой кривой.

Если

то

x ,

y ,

k lim

y t

lim

25 2t 1

t 2 8t 1

x t

b lim

y t lim

. Асимптота не существует.

2t 1 t 2

Эскиз кривой изображен на рис. 15. 1.

Исследование кривой с помощью производных и построение кривой.

yx t

25 2t 1

t 25

2 t 2 2 2t 1

25 t 3

, y

4 t 2 2

4 t 2 3

2 t 2 3

yxx t

yxt t

25 t 3 2t 1 3

xt t

8 t 2 3 4t 3

x t

y t

yx t

yxx

t выводы

0 0

минимум y x с

односторонней

горизонтальной

касательной

; 3

точка перегиба

		1		0						асимптоты нет

		2								y ~C x
		2								y ~C x
		1		0						асимптоты нет
		1
		2								y ~ C x
		2								y ~ C x
		1			3
					;
					;
		2				4
3							5	8	10	точка возврата
										tg	2
4							4				2
4							4
										5
	3
			;2
			;2
4

2 0	3		0			вертикальная
						асимптота
	5					асимптота
	5
2 0		3	0			вертикальная
2 0		3				асимптота
	5					асимптота
	5
2;

	0 0			0 0	0	минимум y x с
						односторонней
						горизонтальной
						касательной

Кривая изображена на рис. 15.2.

Пример 9.		Исследовать и построить кривую x t t3 3t ,
t 1		2
y t	.

►Предварительное исследование и построение эскиза.

Заметим, что y t неотрицательная функция. Следовательно, кривая лежит в верхней полуплоскости.

Найдем

производные

функций

x t

y t :

x t 3t t 1 t

1 ,

y t

2 t 1

и рассмотрим

промежутки

монотонности функций x t

и y t .

x t

y t

1 0

; 1

1;0

0 0

0;1

1 0

Если t , то

y 1 0.

Найдем асимптоту

кривой: k lim

y t

lim

t 1 2

t x t

t t3 t2 3

	t 1		2
b lim y t lim				1. Прямая	y 1 является асимптотой
b lim y t lim		t		1. Прямая	y 1 является асимптотой
t	t	t

кривой. Из таблицы видно, что кривая лежит выше асимптоты, следовательно, выпукла вниз (к асимптоте).

Если t , то x , y 1 0. Найдем асимптоту


кривой:	k lim	y t	lim			t 1 2	0	,

	t x t			t t3 t2 3
		t 1 2
b lim y t lim					1. Прямая			y 1 является асимптотой
			t
t	t

кривой. Из таблицы видно, что кривая лежит ниже асимптоты. Можно предположить, что кривая выпукла вверх (к асимптоте).

Если t 1, то x 2, y 4, точка максимума функции x x y .

Если	t 0 0,		то x 0		0, y .	При	t 0 0
x 0 0, y . Значит,				x 0	— вертикальная асимптота.
Если	t 1,	то	x 2,	y 0, t 1 —		точка	минимума
функций x t и		y t .

Строим эскиз (рис. 16.1).

Координаты точки самопересечения кривой указывать и исследовать не обязательно.

Исследование с помощью производных и построение графика.

y t

, y t

2 3 t 1 t

2 4t 3

3t3

t 1

3t4 t 1 2

yxx t

2 4t 3

9t4 t 1 3 t 1

x t

y t

yxx

выводы

1 0

горизонтальная

асимптота

; 1

1 0

точка

максимума

функции x y с

1 0

вертикальной

касательной

	3		7		7		512	0	точка перегиба
4		4		3		81

	3
		;0
	4	;0
	4
0 0			0 0				вертикальная
0 0			0 0				асимптота
0;1
1			2	0		1	точка возврата
					3
1;
				1 0			горизонтальная
							асимптота

Кривая изображена на рис. 16.2.

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 86 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
03.06.201581.11 Кб8задачи.pdf
#
03.06.2015103.27 Кб39Занимательная биология.pdf
#
20.09.2019218.8 Кб2записка-пояснительная Иноземцев.docx
#
03.06.20151.17 Mб40Золотое сечение.pdf
#
03.06.20152.95 Mб28Иванов Матан.pdf
#
03.06.20152.08 Mб253Иванова. Построение графиков функции.pdf
#
03.06.201580.38 Кб12Из диалогов Платона - Диалектика Сократа.doc
#
03.06.20151.9 Mб8Изоспин.pdf
#
03.06.2015756.54 Кб23Инерциальная навигация.pdf
#
03.06.2015827.15 Кб28информатика теория.pdf
#
15.11.2019286.21 Кб6Информатика ФОПФ основная.doc

t										x t		y t
		;						1	0 0			0 0


								2
			1		0
			1

		2
			1		0
			1

		2
		1				3
						;
						;
		2					4
	3									5		8
4									4
		3
				;2
				;2
4
2 0										3	0
2 0										3
									5
									5
2 0										3	0
2 0										3
									5
									5

t										x t		y t
		;						1	0 0			0 0


								2
			1		0
			1

		2
			1		0
			1

		2
		1				3
						;
						;
		2					4
	3									5		8
4									4
		3
				;2
				;2
4
2 0										3	0
2 0										3
									5
									5
2 0										3	0
2 0										3
									5
									5

t										x t		y t
		;						1	0 0			0 0


								2
			1		0
			1

		2
			1		0
			1

		2
		1				3
						;
						;
		2					4
	3									5		8
4									4
		3
				;2
				;2
4
2 0										3	0
2 0										3
									5
									5
2 0										3	0
2 0										3
									5
									5