Иванов Матан

Î ë ë íè

Пре исловие

Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ëàâà 1.

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

1

ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Аксиомы

чисел

2

Точные гранидействительныхмнож

. .

. . . .

3

8

Свойствапределовпоследовательностей,П нцип влож едовательностиых отрезк

4

связанные

ари метическими

действиями

5

åõ

ê

ó

нераве ствах

6

Монотонные

число e

7

Íåðàâå ñòâî Á óëëè

9.

×àñ

предел

последовательности

0

Êðèтерий

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . .

Ÿ 12. Счетныеичныйнесчетíутыемножества

1

ОткрытыеКошизамк

числовые множества

ëàâà 2.

Ï ÅÄÅË

È

НЕП Е ЫВНОСТЬ

1

ФУНКЦИИ

предела ункции

4

ОпределениеП по множеству . .

2

Свойства пределов ункций

предела ункции

3

Ê èò ðèé Êîøè

5

Односторонние пределы . . . . .

6

существованияточке . . . .

. . . . . . . . .

Ÿ 7.

Непрерывность ункции

на множестве

3

9810.

ВОбратТ орепенигîйометрическиеàÿзамечательныйая, показательнаяункция ункциипределлогари мическая ункции 6920

2

2. Ñравнение

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

авила

ÿ

759

ëàâà 3.

ПPОИЗВОДНАЯ И ЕЕ ПPИЛОЖЕНИЯ

1

Определен ункцийгеометрический

смысл производной

6

è

ди еренциала . . . . . . .

азложениди основныхеренцированэлементарных ункций по ор-

4

3

Ïðоизводные

ди еренциалы

высших порядков

8

4

Теоремы

среднем для ди еренцируемых ункций

2

5

ла Т йлора

8

ФормуТейлора . . . .

97

Исследование

ункций с помощью производных

05

7

Правило Лопиталя . . . . . . . . . . . . . . . . .

ëàâà 4.

НЕОПPЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕ PАЛ

1

Элементарные методы интегрирования

8

2

Комплексные числа .

множители

3

мног члена

0

4

азложение правильной рациональной др би в сумму

114

5

элементарныx

дробей . . . . . . .

дробей

6

Ÿ 6.

Интегрированиеских гиперболическ

тригонометриче-

28

1

ункций . . . . . . . . . . . .

евклидовоиpрациональных,нормированное пространства

ëàâà 5.

ВЕКТОP-ФУНКЦИИ

1315

4

Линейное,Дл на кривой . . . . . . . .

2

åäåë

производная векторункции

5

Ïåðâ

асательная)

7

3

Ê

âûå . . . .

ие кривой

0

6

Â

48

8

Îòêрытыеприближзамкнутые

множества â

4

Ÿ 9.

Ñîïõ димость â R . . . . .4. .

. . . . . . . . . . . . . . . . 157

7

вождающий трехгранни(к кри ой

2

ëàâà21

6Ïðåä.

л ПЕPЕМЕННЫХФУНКЦИИункции несколькихнесколькихпеременныхпеременныхНЕСКОЛЬКИХточке1615

3

авномер ая

ункции

нескольких

69

4

ть ункции на множестве

5

Непрерывностьпорядк . . . . .

ункции

несколькихпеременных

2

åíöèðó ìîñ ü

7

íà ìíîæ

ñòâå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

непрерывноомеòрический

смысл

градиента

2

6

Дии ере циала . . . . . . . . . . . . . . .

ременных

ó

÷àñò ûå

уемости. Произ-

4

7

водные по

направлению

производные

Íåîá

димыеч

условия

уемости

8

9.

Ча ные производныеди еренциди еренциалы высших

5

8

0

Операторы ди еренцирования

Äи ере цирование сложной векторункции

79

1. Ôîð

ëà

ейлора

88

ëàâà 7.

ИНТЕ PАЛ ИМАНА

1

óììû Äàpáó . . . . . . . . .

1918

2

Äîñò

î÷

уммы имана . . .

4

условия интегрируемости

0

5

5

ИнтегральныеОпределе ный

как ункция верхнего предела

0

3

Ñвойс ва опр деленн го интеграла . . .

6

еометрические приложения определенного интеграла

7

Криволинейныеинтегралы . . . . . . . .

. . . . . . . . . 217

ëàâà 8.

НЕСОБСТВЕННЫЙ ИНТЕ PАЛ

1

Определение и некоторые свойства несобственного

2

интеграла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

îò

опостоян

3

Несобственные интегралы

отзнакопеременных ункций2235

ëàâà 9.

ЧИСЛОВЫЕ PЯДЫ

ÿäîâ

1

Определение

оторые свойства

9

3

ÿäû ñ

знакопернекмеííûìè

. . . . . . . . . . .

Ÿ 4.

Перестановки слагаемых в рядахчленамиперемножение рядов24352

2

åîòðèöàò ëü

5

ëàâà 10.

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ

È PßÄÛ

1

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ.

260

2

ñõ

рядов

Ÿ 3.

Свойства равномернодимостьх дящихсяункциональныхпоследовательно-

4

4

тельностейавномернаяè ÿäîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Тейлора . . . . . . . . . . .

2798

ëàâà 11.

СТЕПЕННЫЕ PЯДЫ

1

Обобщ нный

Коши сходимости числового ряда

0

2

Компл ксныепризнакяды

3

Степенныеè

ÿäû

ских ункций

ÿä

5

Тейлора

для показательной, гиперболических

295

Ÿ 6.

скойигонометричдругих

. . . . . . . . . . . . . . . .

Остаточный

орму ы Тейлора в интегральной

1

орме. ядычленйлора для степенной, логари миче-

301

Теорема неяв ункций

äëÿ

дн го уравнения

ëàâà 12.

ÒÅÎ ÅÌÀ

О НЕЯВНОЙ ФУНКЦИИ

2

норма

матрицы.

Òåîð ìà

Лагранжа

4

3

Принцип Банах

сжимающ х отображ ний

Ÿ 5.

ОператорнаяТеорема б обратном

отображении

1

4

неявной ункции для

системы уравнений

06

среднем . . . . . . . . . . . . . . .

2

Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

315

6

авторомНастоящеестуд нтамчебноепервПрбиекурсислописаноМоск вски госновеизик -технчèческоготаемых

институт (государственного

à).

граммелекций,

âûñ

Содерж íèå ма ериала соответству

А тор выражает искр ннюю пр знательность коллегам и студен

òàì,

ысказавшим ценные замечанияуниверситетпредложения, аатакжедрыобна-

øåé

математики МФТИ ( У).

ружившим опечатки в лекциях.

 íè

Будем использовать следующие ло ич ски оп р ции:

: (íå),

èëè,

) следует),

,

(равносильно),

. .

которые

ÿ ê ó

применения указ

Значенприменяютсу

пол ченных в резувыражль

ных операций(истина)к х дным

óсловиям,определяетсениям,следпринимающимт б-

значения И

èëè Ë (ëîæü).

óсловий.

лицам истинностисловий,

от значений исхподных

B

A

: A

AзависимостиB A B

A èëè B

A ) B

A ,

È

È

Ë

È

Ë

È

È

Ë

Ë

È

Ë

Ë

È

Ë

Ë

È

Будем акже использовать к нторы

9 (существует)

8

для любого),

è ëî è÷ ñêè ñ ÿ êè

,! (выполняется),

: (такой (ая, ое), что).

Ïðè

новых множеств часто

ìåòîопределенииналож

условия:

1

2

n

перечисления:X = fx выполняется некотороеиспользуютсловие для xg:

X = fx

; x ; :::; x

; :::g

8

множестваЗапись xXY2".

YПоследнююозначает""множествоxзаписьявля тсяможноэлементомявляопр тсяделитьмножестваподмножследующиествомX".

образом:

X Y

,

8x ,! (x 2 X

) x 2 Y )

или в более короткой орме записи 8x :

x 2 X ,! x 2 Y èëè, åùå

короче, 8x 2 X ,! x 2 Y .

пересечения, объединения и

дополнения

Определим

SY = fx :операцииx 2 X ëè x 2 Y g;

множеств:

x 2 Y g;

T

XnY = fx 2 X : x 62Y g.

символ означает отрицание к соот

Здесь и далее

Ïðè

скрытииперечеркнутыйотрицания

выраж ни

, содержащему логиче-

ветствующему условию,

пример, x 62Y

, :(x 2 Y ).

Ïðè ðàñê ûòèè

легкслучаипроверитью, содержащему квантор, сле

ñêèå îïåðàции, полезно использовать сл дуþщие свойства

:(A

:(:A

A;

ëè

B);

(

:A

èëè

B)

:B);

:(A

)

, (A

:B):

квантора

этих свойств

по таблицам

к которойотрицаотносится. Пусловийòü A(xистинно) нек -

Справедливостьторое услови налагаемое на

переменную x. Тогда

A

B.

сти, рассмот ев все возможные

з ачений

дует поменять

кваотрицаниятор,знак

èÿ

п стави

после

этого

:(8xременной,2 X !

()

9

: :A(x);

: 9x 2 X :

A(x))

8x 2 X

,! :A(x):

Например,

()

(9x 2 X : x 62Y ):

X 6 Y

() :(8x 2 X ,! x 2 Y )

Опp л ни . Декартовым

м множеств X

Y íà-

зывается множество X Y , состоящеепроизведениевсех пар (x; y) такèõ, ÷òî

x 2 X, y 2 Y .

9

Например,

åñëè X

=

f0; 1g,

Y

=

fy

; y

; y

g,

X Y =

= f(0; y

); (1; y

); (0; y

); (1; y

); (0; y

); (1; y

1

2

3

)g.

1

1

2

2

3

3

задано

f

Опp л ни . Будем го ор ть,

G

жду множествами X и

Y , åñëè

заданчто

X Y .

x 2 X при соответствии f,

ñëè (x; y) 2 G

f

. Множессоответствиевом опредеэлементу-

ния соответствия f называпоставленнымòñÿ

ствия f. Э

При этом множество G

назы ается гра икомно

ìåíò y 2 Y

называется

â

соответ

f

D

f

)g:

f

= fx 2 X : (9y 2 Y : (x; y) 2 G

f

Множеством значений соответствия f называется

E

f

= fy 2 Y : (9x 2 X : (x; y) 2 G

f

)g:

Соответствие f называется однозначным, если

,! y

= y

:

8x 2 X 8y

; y

2

2 Y : (x; y

) 2 G

è (x; y

2

) 2 G

f

1

1

1

f 1

2

è X

Îïp ë í .

f

между множествами Y

Y , åñëè ãðà èêè

этихСоответствиесоотве ствий удовлетворяют условию

называется обратным к

ветствию f между множествами X и

8x 2 X 8y 2 Y ,! (x; y) 2 G

f

, (y; x) 2 G

1

:

Опp л ни . Функцией f :

X ! Y называется однозначное

соответствие такое, что Df

= X. При этом если (x; y) 2 Gf , то пишут

y = f(x).

îáð

èëè

Опp л ни . Функция f : X ! Y называетс

инъективной, если соответствие, обратное к f,

являетсатимойднознач-

íûì.

E

Опp л ни . Обратимая у кция f : X ! Y , для которой

f

= Y , называется взаимно однозначным

соответствием или биек-

öèåé f : X ! Y .

10

ëàâà 1

Ÿ 1.

ДЕЙПОÑЛЕДОВАТЕЛТВИТЕЛ Н ХНОСТИЧИСЕЛ

Аксиомы

÷èñ ë

Опpеделение. Будем говорить,

что на множест X опр л -

н оп р ция сложения hумноженияi,

ли любым двум элементам

a; b 2 X поставлен в соответствиейст единит льныхтвенный элемент a + b 2 X

h a b 2 X i.

. Будем говорить, что на множестве X задано от

ш ни поря к , если для любых двух элементов a; b 2 X извест-

íî, верно или еверно неравенство a

b.

.

Ìíîæ

йст ит льных ( щ ст нных)

чисел R назыв етс

множеством,

а котором определены

перац

оженияОпpеделениеумножения и

отношение

порядка , у

яющие

ñëедующим 16 аксиомам, и которое состоит более чемдовлетвориз дного эле-

мента.

Аксиомы сложения

1)

2 R ,! a + b = b a;

2

90

; b; 2 R ,! (a + b)

+

= a + (b + );

3

2 R

: 8a 2 R ,!

a + 0 = a;

4

9 a 2 R :

a + ( a) = 0.

Аксиомы умножения

5)

2 R ,! a b = b a;

6

91

b; 2 R ,! ( b) = a (b );

7

: 8a 2 R ,! a 1 = a;

1

8

1

2 R n f0g 9a 2 R : a a = 1.

(3)

(4)

b + (

(2)

b + a) + ( a)

ïî óñëî èþ

(4) b = b + 0

+ ( a)) =

=

= aПример+ ( a =2.0Доказать,) b =0÷òî. 8a 2 R ,! a 0 = 0.

ешение.

0 + a = a

0 + a 1 = a (0 + 1) =

= a (1 + 0)

= a

1 = a

(7)

)

a 0 = 0.

(1)

(3)

(7)

Ïðèì ð 1.

(9)

Задача 1. Доказать, что 8a 2 R ,! a ( 1) = a.

Аксиомы отношения порядка

0)

2 R ,! a a;

b a;

1

,! a b

3

2 R

(a b

èëè b ) ,! a .

2

: (a b è b a) ,! a = b;

4)

a b ,! a + b + .

Связь отношения порядка и

сложения

умножения

5) 8a; b; 2 R :

(a b

è

0 ) ,! a b .

b, òî

16) Åñëè

; B R è

8a

2 A

8b

2 B

,! a

Аксиома непрерывности

B

9 2 R : 8a 2 A

8b 2 B ,!A a b.

Îïðå

им теперь

порядка

<;

; >

операции вычи-

тания и

äåëения на множестве действительных чисел:

<

( a bотношенияa =6 b );

=6

:(a = b);

>

,

b < a;

a

b

= a + ( b);

1

b

= a b

(b =6 0).

12

nÈíì +î1÷, ñòî îðn ÿ,éñò èò. Ìíîльнымстчисомл. íèòóð1,

льных1+1я, .1. . , люn = N1 +н: : ы: + 1и;тся: : :

ö ëûõ

÷èñ ë

Z

н ы тся ля тсмночисст ол чис л m т -

ê õ, ÷òî m 2 N èëè

m 2 Nчис, числомm = 0.

ñò î ÷èñ ë

Ìíî ñò îìн турционльнольных

÷èñ ë Q í û òñÿ ìíî

è Îïp, ëmíè2 Z, n 2 N.

числ у о л т оряют

Ç ÷

2. Äîê

òü, ÷òî

ñ ì

m

ит льныхрчисционл, льныкром ксиомы

-

ксиом м

n

Qéñò

÷òî

лян мнопр рыстно

ìíîÇ ñò A; B

ñòè.

÷ 3. Ïîê

ть, что ксиом

р цион льных чис

н ып лня тся,н пр. . рыприностисти прим р ух

ïðÿìîé,

éñò èò ëüíû ÷èñ ë

точк ми число ой прямой.

Ìíî

йст ит льных

R ó ì

ê

û òü ÷èñ-

8a 2 A 8b 2 B ,! a

êèõ,b íî í ñóù ñò ó ò 2 Q:

b.

ñøèð ííóþ ÷èñ

Í

ст очисло ой прямой

ны лишь отнош ния поря к : 8x 2 R ,! 1 < x < +

è, ñëëî óþ-

: R = R [

; +1g. Пропрэтомлимэл м нты

;

, +1 í ñî

лопрямуюойтся у

R, ëÿ íèõ

+1,

îï ð öèè

+;

; = îïð ë

ò ëüíî,

8x 2 R ,! f 1í x

1 < +1,

11 +1.

ëó÷è: [a; +1) = fx 2 R

îïð: a xëg,íû

Îïp

. Пусть

éñò èò ëüíû ÷èñë a; b, a < b.

Число ыми промни утк ми

þòñÿ

ñë óþùè

ìíî ñò :

луинтпо

ð ëû: [a; b) = fx 2 R : a x < bg,

(a; b) = fx 2 R : a < x < bg,

îòð îê [a; b = fx 2 R : a

x

bg,

b = fx 2 R : a < x bg,

a; +1

a

x

( 1; a)

= fx 2 R :: x < ag,,

òî÷ê fag;

число я прям я ( 1; +1) = R.

13

Ÿ 2.

Ò

ð íè ìíî

õR-

üþÎïpìíî ÿñòë

рниочныничA. ЧислоннымR слиM 28aR2,нAсли,ы! aтсяM. Мнот онстчнрхно яAй

íÿÿ ð íü ýòî î ìíî

ñò :

9M 2 R : 8a 2 A ,! a

M.

A

Число m 2 R

í û òñÿ êîí ÷íîé

íè í é

ð

üþ ìíî

R,

ñëè 8a 2 A

,!

a ðõóm.

m.

сущ стконAу чнойR

í û

ÿ

ìíîû ñòòñ: 9m 2 R :

8a 2 A ,! a

, ñëè A î ð íè÷ íî ñ ð

î ð

Ìíî

ñò î A í û òñÿ î ð

ííûì ñíè ó, ñëè

сущ ст у Мноткн чн я íè íÿÿ

ð íü ýòî î

õó íè÷î ð íè÷ íî ñíè ó.

ля ничлю оннымо, том ÷èñë è ëÿ í î ð -

2 R :

a

M

ìè. Í

.

К слинторыопр

л нииощ

ð íè÷ ííî

î ñ ðõó ìíîì

8

9

ëü ÿ ì íÿòü

ñò З пмрчстниить

к нторы,

то получитсяслучсло и

8a 2 A 9M 2

нич нно опримс хур, мно

ñò .

Опp л ни . Мо ул м числ a н ы тся число

ñïð ëè î a;

;

Ç

jaj =

a;

ëè a < 0:

÷ 1. Ïîê òü, ÷òî ìíî ñò î A î ð íè÷ íî òî è òîëü-

êî òî , êî

9M 2 R :

8a 2 A ,! jaj

M:

Îïp ë íè . ë ì íò

нной чи о ой прямой M 2 R

û

òñÿ ðõí é

íüþ ìíî ñò A

R,

8a 2 A ,! a

M

í û

òñÿ

íè í

é ð

ьюрмносширст

A, ñëè8a 2 A ,! a

M.

ëè ì

ïîñð

A

íî

è

ничопр но лс рху, то +1

ÿ ëÿ òñÿ èíñò ííîé

Í

ñò

íèé

ó ò, ÷òî +1 ÿ

ðõ

ðõ é

р нью нA,о рнислин A н о р нич но сни у, то 1 я ля тся

èíñò ííîé íè í é ð íüþ A. 14

ò ëÿA òñ R. Åñ-

í

ð íüþ,

1

é

р ньюслю о о мно

называетсRОпp(пишут:M являетслточнойMни=ÿ .supâåðверхнЭлемõíåéA), еслинтйграньюасширенноймножестваили супремумомA

множествапрямой M A2 R

1

не существует

меньшего, чем Mчисловой, являющегося верхнеé

a 2 A ,! a числа,M

гранью множества A

0

òî åñòü

0