Иванова. Построение графиков функции

Построение графиков функций

1.План исследования функции при построении графика

1.Найти область определения функции. Часто полезно учесть множество значений функции. Исследовать специальные свойства функции: четность, нечетность; периодичность, свойства симметрии.

2.Исследовать асимптоты графика функции: вертикальные, наклонные. Проанализировать взаимное расположение графика функции и его наклонных (горизонтальных) асимптот.

3.Построить эскиз графика.

4.Найти участки монотонности функции: возрастание и убывание. Найти экстремумы функции: минимумы и максимумы.

Найти односторонние производные в точках разрыва производной функции и в граничных точках области определения функции (если односторонние производные существуют).

5.Найти промежутки выпуклости функции и точки перегиба.

2.Основные понятия и этапы исследования функции

1. Область определения функции Df и множество значе-

ний функции E f . Специальные свойства функции

Указать область определения функции, на оси абсцисс отметить ее граничными точками и выколотыми точками, указать абсциссы этих точек. Нахождение области определения функции приводить не обязательно.

Множество значений функции находить не обязательно. Легко исследуемые свойства множества значений: неотрицательность, ограниченность снизу или сверху и т.п., используются для построения эскиза графика, контроля результатов исследования и правильности построения графика.

5

График четной функции симметричен относительно оси ординат Oy . График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Четные и нечетные функции исследуют на положительной половине области определения.

Периодическую функцию исследуют на одном периоде, а

2.3. Методы исследования невертикальных асимптот Исследование асимптот при x и при

правило проводят отдельно.

1Символ мы будем использовать, подразумевая выполнение одного случая, либо

, либо .

6

В некоторых частных случаях возможно совместное исследование асимптот при x и при x , например, для

1)рациональных функций;

2)четных и нечетных функций, для графиков которых исследование можно проводить на части области определения.

Метод выделения главной части. Для нахождения асимптоты выделяем главную часть функции при x . Аналогично при x .

Главную часть дробно рациональной функции удобно находить, выделяя целую часть дроби:

Пример 1. Найти наклонные асимптоты графика функции

2

f x 2x 3x 2 . x 1

мая y 2x 5 является искомой асимптотой. ◄

Главную часть иррациональной функции при решении практических примеров удобно находить используя методы представления функции формулой Тейлора при x .

Пример 2. Найти наклонную асимптоту графика функции

дить соответственно методом выделения полного квадрата или полного куба подкоренного выражения.

7

Пример 3. Найти наклонные асимптоты графика функции f x x2 6x 14 при x и x .

►В подкоренном выражении выделим полный квадрат

Для нахождения асимптот можно использовать метод выделения главной части.

Пример 4. Найти асимптоты графика функции f x 4x2 x 2 .

►Так как

Замечание 1. При исследовании асимптот иррациональных, трансцендентных функций, а также функций, аналитическое выражение которых содержит модуль, целесообразно рассматривать два случая: x и x . Совместное исследование асимптот при x и при x может привести к ошибкам в исследовании. При нахождении пределов или главной части при x необходимо выполнить замену переменной x t .

8

Пример 6. Определить взаимное расположение графика

x следует, что график функции лежит ниже асимптоты y x 4. ◄

Пример 7. Определить взаимное расположение графика функции f x x2 6x 14 и его асимптот.

5

► Так как f x x 3 (см. пример 3), то

x 3 2 5 x 3

график функции лежит выше асимптоты y x 3 при x и при x . ◄

Пример 8. Определить взаимное расположение графика

Поэтому при x график функции лежит ниже асимптоты y x 2, а при x — выше асимптоты y x 2.◄

10

Метод вычисления пределов для исследования асимптот не позволяет оценить взаимное расположение графика функции и его асимптоты.

3. Построение эскиза графика функции Для построения эскиза графика отмечаются вертикальные и

наклонные асимптоты, точки пересечения графика функции с осями. Учитывая взаимное расположение графика функции и асимптот, строится эскиз графика. Если график функции лежит выше (ниже) асимптоты при x , то, предполагая, что суще-

ствует такая точка x0 , что среди точек x x0 нет точек перегиба,

получаем, что функция выпукла вниз(вверх), то есть к асимптоте. Аналогично можно прогнозировать направление выпуклости к асимптоте для вертикальных асимптот и для асимптоты при x . Однако, как показывает приведенный выше пример

функции y x sin2 x , такие предположения могут быть не x

верны.

4. Участки возрастания и убывания функции. Точки минимума и максимума

Дифференцируемая на интервале a,b функция f x воз-

растает (убывает) на интервале a,b , тогда и только тогда, когда

Определение 4. Точка x0 называется точкой строгого ло-

кального максимума (минимума) функции f x , если:

1) функция определена в некоторой окрестности точки x0 ;

11

2) существует окрестность U x0 Df , такая что для лю-

( f x f x0 ).

Точки минимума и максимума называются точками экстре-

а) если ее производная меняет знак минус на плюс при пере-

функции f x .

Модельными примерами могут служить y x (рис. 2.1) и

y x (рис.2.2).

12