Иванов Матан

для любого xУсловие2 o (x

)Æзначение2 (0; Æ0 âf(x)ðìóопределено(1) обеспечивает. Åñëè D =òî,R

чтовместо Ж 2 (0; Ж

UÆ 0

(1) можно писать Ж > 0.

f

îðìó

.

Òî,0 êàê

определена ли вообще) унк-

ц яЗамечаниеf точк x0

íå

влияетопределенаlim f(иx).

В частности, если A 2 R, x

x!x0

0

2 R, а ункция f определена на всей

числовой прямой, то

()

jf(x) Aj < ");

1)

x0

A

2

+1 ()0 < jx x

j < Æ) ,! (f(x) > 1 );

3

lim f(x) = A

()

jxj > Æ) ,!0

(jf(x) Aj < ");

"

4)

lim

f(x) = 1

()

()

x! 1

8" > 0 9Æ > 0 : 8x : (x < 1 ) ,! (jf(x)j > 1 ).

Æ

"

.

ределение в других случаяõ ра писать самосто

Опpеделение.

Последовательточк x 2 R Síîf1gñòü

fxng называетсятельнопоследова-

тельностью ейне

, åñëè

lim xn = x0

è

0

n!1

8n 2 N.

1)2 xn

=6 x0

предела по ейне. Пусть задàна ункция f :

X !ОпределениеR заданы элементы A 2

R Sf1g, x0

2 R Sf1g, причем

9Æ0 > 0 :

o

(x0) X. Тогда пишут: A = lim

f(x), åñëè äëÿ ëþ-

UÆ0

бой последова

éíå fx

x!x0

n

g X предел

ff(x

)g сущесòельностивуетрав

A.

n

. Определения предела по Кошипоследовательностиейне эквива-

Òåîpåìà

лентны.

Доказательство. Пусть задана ункция f : X ! R, пусть

x

; A 2 R

S

o

(x

) X.

f1g è U

Æ0

0

0

8" > 0 9Æ 2 (0; Æ

:

8x 2

o

(x

) ,! f(x) 2 U

(A):

(2)

Пусть fx

0

UÆ

0

"

n

g X про звольная

ейне в точке

x

=6 x

имеем

0

. Тогда по определенèю пределапоследовательностьи силу условия x

n

0

8Æ > 0 9N : 8n N ,! x

n

2

o

Æ

(x

):

(3)

Применим (3) к Ж из (2), тогда

U

0

8" > 0 9N : 8n N ,! f(x

n

) 2 U

(A);

ò. å.

lim f(xn) = A. Значит, A =

lim f(x) ïî åéíå.

n!1

x!x0

2) Методом от

кажем, что из определения предела

A =

lim

f(x) по противногоейне, не ïî

Êîøè.

по ейне следует определение редела по Коши. Предположим, что

x!x0

9" > 0 : 8Æ 2 (0; Æ

9x 2 o

(x

) : f(x) 62U

(A):

Тогда

Æ

"

Следовательно,

0

o

U

0

9" > 0 : 8n 2 N 9xn 2oU

Æ0=n(x0) : f(xn) 62U"(A):

xn = x0 è

Из условия 8n 2 N ! xn

2 UÆ0

=n(x0) следует, что

lim

ейне fx g X акую, что f(x ) 6!A при n ! 1 противоречие.

x

=6 x

n!1

n

0

8n 2 N. Таким образом, мы получили последовательность

Свойства пределов ункций

Ÿ 2.

n

. Åñëè

n

9

lim jf(x)j = jAj.

Òåîpåìà

lim f(x) = A 2 R,

x!x0

x!x0

åéíå â òî÷-

Доказательство. Пусть fxng последто

1 èìå

limf1gj (xn)j = jAj. Пользуясь определениемвательностьйне,

получаем

ê

x0

2 R S

, тогда

lim f(xn) = A. Согласно теор ме 2 Ÿ 4 г

âû

требу

ое утверждение.

Òåîpåìà

2. Åñëè

n!1

lim g(x) = B 2 R, òî

lim f(x) = A 2 R,

n!1

x!x0

44

x!x0

2

9 xlim!x0(f(x) +gg(x(x))))==AA B+,B

íà

31) åñëè

o

B =6 0 то ункция f(x)=g(x) опред

в нек торойдополнительноU (x ) 9 lim (f(x)=g(x)) = A=B.

теорем

пределе

ò ëüñ î.

x!x0

1, 2 следуют

Докажем

пункт

3. ТакПунктыак lim g(x) = B =6 0, топоследовательтеореме 1

Æ0

0

произведения

-

суммы последова ельностей, пределе

ностей и определения предела ункции по ейне.

имеем

lim

x!x0

jBj, òîã

9Æ

> 0 :

8x

jg(x)j = jBj > 0. Возьмем "

2

U

(x ) ,! g(x) =6 0

ó êö ÿ f(0x)=g(x) î

åíà â U

(x ).

Пользуясь

опредеëåíèåì

åéíå, èç

î пределе

частного по-

следовательностей получаем требу мое

ждениовательно,.

o

Æ0

!x0

,!

jg(x)j

2 U"(jBj) =

; 2jBj). Ñëå

0

8

2

(

0)

o

o

Æ0

0

(О предельном перехтеоðåóдемытвернеравенствах.)

Æ0

0

Ò îp ì 3.

Åñëè

ь омт льст оперех де в неравенствах для последовательностей и оïðå-

lim

f(x) = A 2 R,

lim

g(x) = B 2 R è 9Æ > 0 :

o

(x0) ,!

8x 2 UÆ

x

x0

x!x0

,! f(x)

g(x), òî A B.

непосредственно из теоремы

î

Äîê

следует

äåëåíия предела ункции по ейне.

Åñëè lim f(x) =

lim h(x) =

Т оp м 4. (О трех ункциях.)

= A 2 R è 9Æ > 0 : 8x 2

o

x!x0

x!x0

UÆ(x0) ,! f(x) g(x) h(x), òî

9 lim

g(x) = A.

x!x0

епосредственно из теоремы о трех по-

Док т льст о следу т

следовательностях

определения предела ункции по ейне.

Ÿ 3.

Критерий Коши существования прåäåëà

ункции

2 R Sf1g

è

Л мм 1. Пусть задана ункция f : X ! R. Пусть x0

8 ïîñë. åéíå fx

n

g X в точке x

0

9 lim f(x

n

) = A 2 R:

45

n!1

Тогда этот предел не зависит от

òî÷ê

x0

åéíå:

9A 2 R: 8 ïîñë. åéíå fxng X

,! A = nlim!1f(xn):

Док т льст о. Пусть имеются две

=

x ,

вательности ейне в точке x :

последовательностиf g fy произвольныеg, . . lim x

lim y

= x

è 8n 2 N ,!

x

0

=6 x

;

y

=6 x .

Составим изпоследоних -

n

n

n!1

n

0

n!1

n

0

g:

0

n

0

следовательность fz

= x

;

1;

kzk

fz g

y

;

å

k = 2n:

òüþ

åéíå,

àê êàê

n

является

=6 x0

. П эвательноому,

lim zk

= x0, 8k 2 N ,!

zk

ó

овия леммы, 9 lim

f(z ).

àêæÒ êàê

òè ff(x ñèëó)g

ff(y )g являются подпоследовательностпоследовательноями х дящейñя последова-

Последовательностьсостоит том, что

k

k!1

k

n

k!1

определена

f

â

некоторой

Опp л ни . Пусть ункция

n

lim f(xn) =

lim f(yn).

ьности ff(zk)g, то

o

n!1

n!1

(x

). У ловие Коши существования предела ункции в точке x

U

Æ0

0

0

:

8x

; x

2

o

(x

) ,! jf(x

) f(x

j < ":

8" > 0 9Æ 2 (0; Æ

2

2

(1)

0

1

UÆ

0

1

выпол-

Т оp м 1. (Критерий Коши.) 9 lim

f(x) 2 R ()

x!x0

нено условие Коши существования предела ункции f в точке x0.

Док т льст о. 1) Пусть 9 lim

f(x) = A 2 R, тогда

8" > 0 9Æ 2 (0; Æ

: 8x 2

ox!

UÆ

(x ) ,! jf(x) Aj < "=2:

Следовательно,

0

0

; x

2

o

(x

) ,!

jf(x

)

8" > 0 9Æ 2 (0; Æ

0

:

8x

1

2

f(x

)j jf(x

) Aj + jf(x

UÆ

0

", ò. å.

1

) Aj < "=2 + "=2

выпол-

2

1

2

íåíî ó

Êîøè (1).

Коши (1). Возьмем произвольную

2) Пусловие

выполнено у

последоваòельность

ейнесловиеточке

x0

: xn

! x0

, xn

=6 x0

, тогда

(2)

8Æ 2 (0; Æ

9N :

8n N ,! x

n

2 o

(x

):

0

46

UÆ

0

Используя условие (2) для Ж из (1), получаем

-

. . выполнено8" > 0 9Nó :

8n е КошиN 8k существованияN ,! jf(xn) f(xk)j < ";

ельности ff(x )g.словВ èëó êðè

Коши для последовательностей

существуåò

lim f(xn) = A 2 R.

в пределаточк x

9A

=

Èòàê, 8 n!1

ват льносòерияейне fx g

=

n

тогда по лемме 1

n

0

lim f(xn) 2 R,

f(xn):

9A 2 R:

8послед. ейне fxng X в точке x0

,! A = lim

n!1

n!1

Пользуясь определением предела ункции

ïî åéíå,

получаем

9 lim f(x) = A 2 R.

x!x0

З ч 1. Пусть

8" > 0 9A 2 R 9Æ > 0 : 0 < jx x0j < Æ ,! jf(x) Aj < ":

Верно ли, что 9 lim

f(x) 2 R?

Ÿ 4.

x!x0

Ïð ë ïî ìíî ñò ó

Ýë ìåíò x

2 R [ f1g называется предельн

множестваОпp Xл ниR, если x 20 X

9Æ > 0 :

o

(x

) \ X = ;.

.

Точк x 2 R называется

лир ванной точкой

точкой множ

à X R,

0

g X последова-

.

если существует f

n

тельность ейестâ òî÷êå x

0

жества X Rизолюбой точки x0 2 R

Л мм 1. Для любого м

следующиевы 1) x являетснесловияется

изолированной точкой множества X.

(1)2 x

0

UÆ

0

ó

предельнойчк прикосновения множества X (см. Ÿ 11 гла

эквивале тны:

множества X;

0

òî÷ê

предельная точкà ì

Äîêò ëüñò î. (1) ) (2). Ïó òü x

0

lim xn = x0, òî

силу критерия точки прикосíî-

точкестваx0. Так кдак

æ

X. Тог существует fx

0

n

g X последовательность ейне в

2 X, ò. å.

вения (теорема 1 Ÿ 11 главы 1) справедливо включение x0

n!1

47

>x0 0 9n : xn 2точкUo Ж(x0)прикосновениято 8Ж > 0 Uo Ж

(x0) \ X =6 ;. Следовательно,. Поскольку 8Ж >

(2) ) (1). Пусть x

X.

X è

0

а прик сновения множ

x

íå являетс

֐

точкой множества X. Покажем, что

0

предельная

ìíîæ

X.

естваприк

àññì òðèì

ê ãäà x

62X. Òàê êàê x

множестваизолированнойслучай,X то силу теоремы 1 Ÿ

1 главы 1 существуетосноп -

fxng Xестваакая, что

lim xn

= x0

. Ò

êàê x0 62X

венияx 2 X, то

=6 x

0

n!1

0

8n 2 N. Поэтому fx g

следовательностьПу теперь x

2 X. Òàê êàê x

не являетсяпоследовательностьизолир ванной

n

òî÷ê

x

n

è,

0

x

n

åéíå

предельная точк множества

точкой множества Xследовательно,то 8Ж > 0 !

UÆ(x0) \ X =6 ;. Следовательно,

X.

0

0

o

0

o 0

o

8n 2 N ,!

(x

2

(x ) \ X.

1=n

) \ X =6 ;. Поэтому 8n 2 N 9x

n

U

0

fx g X является

U1=n

0

åéíå

Последовательностьточк x .

x