Vse_bomby_s_dokazatelstvami

25. Положительно определенные квадратичные формы. Определение. Квадратичную форму k будем называть положительно определенной на подпространстве L'пространства L, если k(x) > 0 для любого ненулевого вектора x из L'.

Если говорят, что квадратичная форма положительно определена без уточнения подпространтсва, то она обладает таким свойством на всем L. Теорема. Для положительной определенности квадратичной формы необходимо и достаточно, чтобы миноры её матрицы удовлетворяли

неравенствам Миноры вида (13) называются главными минорами матрицы.

Доказательство. Для доказательства вспомним преобразования матрицы квадратичной формы, примененные при доказательстве теоремы 1.

1.Необходимость. Если квадратичная форма k положительно определена, то диагональные элементы её матрицы в любом базисе удовлетворяет условиюβii = k(ei) > 0,и, следовательно, при приведении матрицы к диагональному виду особый случай не встретиться. В основном случае к любой строке может быть прибавлена только лежащая выше, а к любому столбцу - только расположенный левее. При таких преобразованиях главные миноры матрицы не изменяться. Но у диагональной матрицы для положительно определенной квадратичной формы главные миноры положительны. Поэтому они положительны и у исходной матрицы.

2.Достаточность. Пусть все главные миноры матрицы B положительны. В частности, M1 = β11 > 0, и первый шаг преобразования приводит матрицу к виду (10) с . Допустим, что после k шагов мы получили матрицу Bk с положительными , причем не возникало особого случая. Тогда для

левого верхнего элемента матрицы Ck имеем, так как главные миноры не менялись. Поэтому , на очередном шаге преобразования имеет место основной случай и полученная матрица имеет положительные элементы . Рассуждая так для всех k, мы придем к доказательству утверждения.

26.Когда правая часть являетсяквазимногочленом.Рассмотрим уравнение ,гдеμ - заданное комплексное число, Pm(x) - заданный многочлен степени m.

Определение. Если число μ является корнем характеристического уравнения L(λ) = 0, то говорят, что в уравнении (1) имеет место резонансный случай.

Теорема. Для уравнения (1) существует и единственно решение вида где Qm(x) - многочлен одинаковой с Pm(x) степени m, а число k равно кратности корня μ характеристического уравнения L(λ) = 0 в резонансном случае и k = 0 в нерезонансном.

Доказательство. Если , то заменой в уравнении (1) всегда можно избавиться от eμxв правой части.

Отсюда .Таким образом доказательство теоремы осталось провести для уравнения вида

a) Нерезонансный случай: . Пусть , .

Подставляя Pm,Qm в уравнениие (2) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x, получаем линейную алгебраическую систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов q0,...,qm

Матрица этой системы треугольная с числами по диагонали,поэтомукоэффициентыQm(x) определяются однозначно.

б) Резонансный случай:

Следовательно

В случае k < n замена Dky = z в уравнении (1) приводит к уравнению

Поскольку , то для этого уравнения имеет место нерезонансный случай. Следовательно существует, единственное решение этого уравнения z = Rm(x).

27. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами, методы их решения.

Рассмотрим нормальную линейную однородную систему где , A - квадратная комплексная матрица порядка n, x(t) - неизвестная вектор-функция с nкомпонентами. Лемма 1. Если x(1)(t),x(2)(t) решения системы (1), а C1,C2 - произвольные комплексные числа, то вектор-функция x(t) = C1x(1)(t) + C2x(2)(t) также решение системы (1).

Лемма 2. Для того, чтобы вектор-функция x(t) = eλth была нетривиальным решением системы (1), необходимо и достаточно, чтобы λ было собcтвенным значением, а h - соответствующим ему собственным вектором преобразования A.

Доказательство. Будем искать решение (1) в виде x(t) = eλth, где - числовой n - мерный вектор. Подставляя x(t) в систему (1),

получим λeλth = Aeλth или Ah = λh.

Теорема. Пусть существует базис из собственных

векторов h1,...,hn линейного преобразования A и пусть λ1,...,λn - соответствующие им собственные значения.Тогда:

а) Вектор-функция x(t) вида

где C1,...,Cm произвольные комплексные постоянные, является решением системы (1).

б)Если x(t) - какое-либо решение системы (1), то найдутся такие значения постоянных C1,...,C2, при которыхx(t) задается формулой (2). Доказательство.а)Утверждение теоремы следует из лемм 1 и 2.

б)Пусть x(t) - какое-либо решение (1). Так как h1,....,hn - базис в , то для x(t) = ζ1(t)h1 + ... + ζn(t)hn.

Подставим x(t) в систему (1). Имеем . Так как h1,...,hn - линейно независимые вектора, то отсюда

Из этих уравнений находим, что.

28. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения с переменными коэффициентами.

Рассмотрим линейную неоднородную систему где - заданная непрерывная на [α,β] квадратная матрица

порядка n, f(x) - заданная непрерывная на [α,β] вектор-функция

с n компонентами.Непосредственно проверяется следующее предложение, называемое принципом суперпозиции для системы (1).

Лемма. Если , y1(x) - решение системы (1) при условии иy2(x) - решение системы (1) при усоловии, то y(x) = y1(x) + y2(x) - решение системы (1).Если известно какое-либо частное решение (1), то интегрирование линейной неоднородной системы

(1) сводится к интегрированию соответствующей (1) линейной однородной системы

Теорема 1. Пусть y0(x) - некоторое частное решение (1), и Φ(x) - фундаментальная матрица (2). Тогда все решение системы (1) задаются формулой,где c - произвольный n-мерный вектор. Доказательство. В системе (1) сделаем замену. Тогда получаем, что z(x) удовлетворяет системе (2). Общее решение системы (2), как установлено в 2, имеет вид

где c - произвольный числовой n-мерный вектор. Из замены следует утверждение теоремы.

Теорема 2. Если Φ(x) - фундоментальная матрица линейной однородной системы (2), то общее решение линейной неоднородной системы (1) при

всех задается формулой где и d - произвольный числовой n - мерный вектор.

Доказательство. Согласно Лагранжу ищем решение (1) в таком же виде (3), что и решение однородной системы (2), но считаем c не постоянным, а непрерывно дифференцируемым вектором c(x), :

При таком переходе от y(x) к c(x) потери решений (1) не происходит, так как . Ниже будет видно, что такая замена неоднозначна. Функцию c(x) находим подстановкой y(x) в систему (1). Используя формулу производной произведения матрицы и вектор-функции, получаем, что

Φ'(x)c(x) + Φ(x)c'(x) = A(x)Φ(x)c(x) + f(x). Поскольку,то.

Так как матрица Φ(x) невырожденная на [α,β], то отсюда Это уравнение можно интегрировать, поскольку - непрерывная вектор-функция на [α,β]. Проинтегрировав последнее уравнение, получаем утверждение теоремы.

Фундаментальная система решений.

Определение. Матрица Φ(x) у которой столбцы образуют фундаметальную систему решений (1) называется фундоментальной матрицей системы (1).

Таким образом,

Очевидно, что Φ(x) - непрерывно дифференцируемая матрица на [α,β]. Из теоремы 2 следует, что для (1) существует бесконечно много фундометальных матриц. Из определения фундоментальной системы решений получаем, что Φ(x) - невырожденная матрица на [α,β]. Из теоремы 3 получаем самое важное свойство Φ(x). Именно, если Φ(x) - фундоментальная матрица (1), то общее решение системы (1) записывается в простом виде,где c-произв числовой n-мерный вектор.

Определитель Вронского. Формула Лиувилля-Остроградского.

Пусть - система вектор-функций с n компонентами на [α,β]. Определение. Определителем Вронского системыназ. .

Теорема. Пусть W(x) - вронскиан решений системы (1) и пусть . Тогда для имеет место формула Лиувилля-

Остроградского,где называется следом матрицы A(ζ).

Доказательство. Покажем, что W(x) удовлетворяет дифференциальному уравнению.

Пусть компоненты решения . Тогда W(x) является функцией всех этих компонент:

По формуле производной сложной функции получаем, что

.Если Wpr(x) - алгебраическое дополнение ypr(x) в W(x), то разложение W(x) по p-й строке дает

.Отсюда находим, что. Каждая вектор-функция yq(x) удовлетворяет системе (1), т.е. .Отсюда находим, что

,где apr(x) - элементы матрицы A(x). Подставляя найденные выражения и y'pq(x) в формулу W'(x), получаем, что

.

Но из курса алгебры известно, что, где δrp - символ Кронекера. Тогда

.

Интегрирование этого линейного однородного уравнения первого порядка и дает требуемую формулу (6).

33. Дифф-сть ф-ии комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Определение. Говорят, что функция дифференцируема в точке , если справедливо представление

где A не зависит от Δz, а функция α(Δz) является o(Δz).

Лемма 1. Функция дифференцируема в точке z0 тогда и только тогда, когда существует производная , причем в формуле число .

Доказательство. Распишем определение 1 через действительные и мнимые компоненты чисел и получим утверждение леммы 1. Теорема 1. Для того, чтобы функция была дифференцируема в точке , н. и д., чтобы

1)функция u(x,y) и v(x,y) были дифференцируемы в точке .

2)в точке (x0,y0) были выполнены условия Коши-Римана

При этом Доказательство. Пусть существует производная f'(z0), т.е. справедливы

выражения где .Обозначим и распишем (5) через равенства действительных и мнимых частей, т.е.

Δu = aΔx − bΔy + α1(Δx,Δy),Δv = bΔx + aΔy + α2(Δx,Δy), Из выражения (4) и того, что и , т.е.

Откуда равенства (8) означают дифференцируемость по определению функции u(x,y) и v(x,y) в точке , причем

,

убеждаемся в выполнении условий Коши-Римана. Достаточность. Пусть функции u(x0,y0),v(x0,y0) дифференцируемы в точке (x0,y0) и выполнены условия Коши - Римана.